Golygon , или в более общем случае последовательных изогон 90 ° , является любым многоугольником со всеми прямыми углами (а прямолинейная многоугольника ), стороны которых являются последовательной целой длиной. Голигоны были изобретены и названы Ли Саллоусом и популяризированы А.К. Дьюдни в колонке Scientific American 1990 года (Смит). [1] Варианты определения голигонов включают возможность пересечения ребер, использование последовательностей длин ребер, отличных от последовательных целых чисел, и учет углов поворота, отличных от 90 °. [2]
Характеристики
В любом голигоне все горизонтальные ребра имеют одинаковую четность , как и все вертикальные ребра. Следовательно, количество сторон n должно позволять решение системы уравнений
Отсюда следует, что n должно быть кратно 8. Например, на рисунке мы имеем а также .
Количество голигонов для данного допустимого значения n может быть эффективно вычислено с использованием производящих функций (последовательность A007219 в OEIS ). Количество голигонов для допустимых значений n равно 4, 112, 8432, 909288 и т. Д. [3] Найти количество решений, соответствующих непересекающимся голигонам, кажется значительно более трудным.
Есть уникальный восьмиугольный голигон (показан на рисунке); он может мозаику плоскости с поворотом на 180 градусов, используя критерий Конвея .
Примеры
16-гранный голигон. Спиролатеральный 16 90 ° 1,3,6,8,11
32-сторонний голигон. Спиролатеральный 32 90 ° 1,3,5,7,11,12,14,17,19,21,23,26,29,31
Обобщения
Последовательные односторонние изогоны порядка п является замкнутым многоугольником с углом постоянная в каждой вершине и имеющий последовательные стороны длина 1, 2, ..., п единиц. Многоугольник может быть самопересекающимся. [4] Голигоны - это частный случай изогонов с последовательными сторонами. [5]
Spirolateral аналогична конструкции, notationally п θ I 1 , I 2 , ..., я K , какие последовательности длины 1,2,3, ..., п с внутренними углами & thetas ; с возможностью повторения , пока он не возвращается , чтобы закрыть с исходная вершина. Я 1 , я 2 , ..., я K список надстрочных края , которые следуют в противоположных направлениях поворота.
Последовательная изогона порядка 9, внутренний угол 60 °. [5]
Спиролатераль 60 ° 9 1,4,7 .Последовательная изогона порядка 11, внутренний угол 60 °. [5]
Спиролатераль 60 ° 11 4,5,7,8 .Последовательная изогона порядка 12, внутренний угол 120 °. [5]
Спиролатераль 120 ° 12 1,4,8 .Последовательная изогона порядка 5, внутренние углы 60 ° и 120 °. [5]
Голигедрон
Трехмерное обобщение голигона называется голигедром - замкнутой односвязной твердой фигурой, ограниченной гранями кубической решетки и имеющей площади граней в последовательности 1, 2, ..., n для некоторого целого n , впервые введен в вопросе MathOverflow. [6] [7]
Найдены голигедры со значениями n, равными 32, 15, 12 и 11 (минимально возможные). [8]
Рекомендации
- ^ Dewdney, AK (1990). «Странное путешествие по четным дорогам приведет к дому в Голигон-сити». Scientific American . 263 : 118–121.
- ^ Гарри Дж. Смит. "Что такое Голигон?" . Архивировано из оригинала на 2009-10-27.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Голигон» . MathWorld .
- ^ Саллоуз, Ли (1992). «Новые пути в последовательных изогонах». Математический интеллигент . 14 (2): 55–67. DOI : 10.1007 / BF03025216 .
- ^ а б в г д Саллоуз, Ли; Гарднер, Мартин ; Гай, Ричард К .; Кнут, Дональд (1991). «Серийные изогоны 90 градусов». Математический журнал . 64 (5): 315–324. DOI : 10.2307 / 2690648 . JSTOR 2690648 .
- ^ "Можем ли мы найти решетчатые многогранники с гранями площадью 1,2,3,…?"
- ^ Голигоны и голигедры
- ^ Обновление Golyhedron
Внешние ссылки
- Голигоны в Он-лайн энциклопедии целочисленных последовательностей