Горман полярная форма

Полярная форма Гормана - это функциональная форма для косвенных функций полезности в экономике .

Мотивация [ править ]

Стандартная потребительская теория разработана для одного потребителя. У потребителя есть функция полезности, по которой можно рассчитать его кривые спроса. Затем можно спрогнозировать поведение потребителя в определенных условиях, изменение цены или дохода. Но на самом деле существует множество разных потребителей, каждый со своей функцией полезности и кривой спроса. Как мы можем использовать теорию потребителей, чтобы предсказать поведение всего общества? Один из вариантов - представить все общество в виде единого «мега-потребителя», у которого есть функция совокупной полезности и совокупная кривая спроса. Но в каких случаях действительно возможно представить все общество как единого потребителя?

Формально: ^[1] рассмотрим экономику с потребителями, у каждого из которых есть функция спроса, которая зависит от его дохода и системы цен:${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle м ^ {я}}$

${\ Displaystyle х ^ {я} (п, м ^ {я})}$

Совокупный спрос общества, как правило, является функцией системы цен и всего распределения доходов:

${\ Displaystyle X (p, m ^ {1}, \ dots, m ^ {n}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x ^ {i} (p, m ^ {i}) }}$

Чтобы представить все общество как единого потребителя, совокупный спрос должен быть функцией только цен и общего дохода, независимо от его распределения:

${\ Displaystyle X (p, m ^ {1}, \ dots, m ^ {n}) = X (p, \ sum _ {i = 1} ^ {n} {m ^ {i}})}$

При каких условиях можно таким образом представить совокупный спрос?

Ранние результаты Антонелли (1886) и Натафа (1953) показали, что, если предположить, что все люди сталкиваются с одинаковыми ценами на рынке, их кривые дохода-потребления и их кривые Энгеля (расходы как функция дохода) должны быть параллельными прямыми линиями. Это означает, что мы можем рассчитать кривую дохода-потребления для всего общества, просто суммируя кривые потребителей. Другими словами, предположим, что всему обществу дан определенный доход. Этот доход каким-то образом распределяется между членами общества, затем каждый член выбирает свое потребление в соответствии со своей кривой дохода-потребления. Если все кривые представляют собой параллельные прямые линии, совокупный спрос общества не будет зависеть от распределения доходов между агентами .

Форма Гормана функции расходов [ править ]

В первой опубликованной в 1953 году статье Гормана эти идеи были развиты, чтобы ответить на вопрос о представлении общества отдельным человеком. В 1961 году Горман опубликовал короткую четырехстраничную статью в Metroeconomica, в которой было получено явное выражение для функциональной формы предпочтений, порождающих линейные кривые Энгеля. Функция расходов каждого потребителя (сумма денег, необходимая для достижения определенного уровня полезности в определенной системе цен) должна быть линейной по полезности:${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle e ^ {i} \ left (p, u ^ {i} \ right) = f ^ {i} (p) + g (p) \ cdot u ^ {i}}$,

где оба и являются однородны степенью один в ценах ( , вектор). Это условие однородности обеспечивает получение линейных кривых Энгеля.${\ Displaystyle е ^ {я} \ влево (п \ вправо)}$${\ Displaystyle г \ влево (п \ вправо)}$${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle е ^ {я} \ влево (п, и \ вправо)}$

${\ Displaystyle е ^ {я} \ влево (п \ вправо)}$и имеют приятные интерпретации: это расходы, необходимые для достижения нулевого эталонного уровня полезности для каждого человека ( ), а это индекс цен, который дефлирует избыточный денежный доход, необходимый для достижения определенного уровня полезности . Важно отметить, что это одинаково для каждого человека в обществе, поэтому кривые Энгеля для всех потребителей параллельны.${\ Displaystyle г \ влево (п \ вправо)}$${\ Displaystyle е ^ {я} \ влево (п \ вправо)}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle г \ влево (п \ вправо)}$${\ Displaystyle е ^ {я} \ влево (р, и \ вправо) -f ^ {я} (р)}$${\ displaystyle {\ bar {u}}}$${\ Displaystyle г \ влево (п \ вправо)}$

Форма Гормана косвенной функции полезности [ править ]

Обращение этой формулы дает функцию косвенной полезности (полезность как функция цены и дохода):

${\ displaystyle v ^ {i} \ left (p, m ^ {i} \ right) = {\ frac {m ^ {i} -f ^ {i} (p)} {g (p)}}}$,

где - сумма дохода, доступная отдельному лицу, и эквивалентна расходам ( ) в предыдущем уравнении. Это то, что Горман назвал «полярной формой лежащей в основе функции полезности». Термин полярный Горман использовал в связи с идеей о том, что косвенная функция полезности может рассматриваться как использующая полярные, а не декартовы (как в прямых функциях полезности) координаты для описания кривой безразличия. Здесь доход ( ) аналогичен радиусу, а цена ( ) - углу.${\displaystyle m}$${\displaystyle e^{i}\left(p,u^{i}\right)}$${\displaystyle m^{i}}$${\displaystyle p}$

Примеры [ править ]

Два типа предпочтений, которые имеют полярную форму Гормана: ^{[2] : 154}

Квазилинейные утилиты [ править ]

Когда функция полезности агента имеет вид:${\displaystyle i}$

${\displaystyle u_{i}(x,m)=u_{i}(x)+m}$

косвенная функция полезности имеет (в предположении внутреннего решения) форму:

${\displaystyle v_{i}(p,m)=v_{i}(p)+m}$

который является частным случаем формы Гормана.

Действительно, маршаллианская функция спроса на нелинейный товар потребителей с квазилинейными коммунальными услугами вообще не зависит от дохода (в этом квазилинейном случае спрос на линейный товар линейен по доходу):

${\displaystyle x_{i}(p,m)=(-dv(p)/dm)/(v(p)/dp_{i})=-1/(dv(p)/dp_{i})=(v_{i}')^{-1}(p)=v_{i}'(p)^{-1}}$

Следовательно, функция совокупного спроса на нелинейный товар также не зависит от дохода:

${\displaystyle X(p,M)=\sum _{i=1}^{n}{(v_{i}')^{-1}(p)}}$

Все общество может быть представлено одним репрезентативным агентом с квазилинейной функцией полезности:

${\displaystyle U(x,m)=U(x)+m}$

где функция удовлетворяет равенству:${\displaystyle U}$

${\displaystyle (U')^{-1}(p)=\sum _{i=1}^{n}{(v_{i}')^{-1}(p)}}$

В особом случае, когда все агенты имеют одну и ту же функцию полезности, функция совокупной полезности имеет вид:${\displaystyle u(x,m)=u(x)+m}$

${\displaystyle U(x,M)=n\cdot u({x \over n})+M}$

Гомотетические предпочтения [ править ]

Косвенная функция полезности имеет вид:

${\displaystyle v(p,m_{i})=v(p)\cdot m}$

который также является частным случаем формы Гормана.

В частности: линейные утилиты Леонтьева и Кобба-Дугласа гомотетичны и, следовательно, имеют форму Гормана.

Доказательство линейности и равенства наклона кривых Энгеля [ править ]

Чтобы доказать, что кривые Энгеля функции в полярной форме Гормана являются линейными , примените тождество Роя к косвенной функции полезности, чтобы получить маршаллианскую функцию спроса для отдельного лица ( ) и товара ( ):${\displaystyle i}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle x_{n}^{i}(p,m^{i})=-{\frac {\frac {\partial v^{i}(p,m^{i})}{\partial p_{n}}}{\frac {\partial v^{i}(p,m^{i})}{\partial m^{i}}}}={\frac {\partial f^{i}(p)}{\partial p_{n}}}+{\frac {\partial g(p)}{\partial p_{n}}}\cdot {\frac {m-f^{i}(p)}{g(p)}}}$

Это линейно по доходу ( ), поэтому изменение индивидуального спроса на какой-либо товар по отношению к изменению дохода этого индивидуума не зависит от дохода, и, следовательно, кривые Энгеля являются линейными.${\displaystyle m}$${\displaystyle {\frac {\partial x_{n}^{i}(p,m^{i})}{\partial m}}={\frac {\frac {\partial g(p)}{\partial p_{n}}}{g(p)}}}$

Кроме того, поскольку это изменение не зависит от переменных, специфичных для каждого человека, наклон кривых Энгеля для разных людей одинаков.

Заявление [ править ]

Многие применения полярной формы Гормана резюмируются в различных текстах и ​​в статье Хонохана и Нири. ^[3] Эти приложения включают простоту оценки и в некоторых случаях. Но наиболее важное приложение предназначено для теоретика экономики, поскольку оно позволяет исследователю рассматривать общество максимизирующих полезность индивидов как отдельную личность. Другими словами, в этих условиях гарантировано существование карты безразличия сообщества .${\displaystyle f^{i}(p)}$${\displaystyle g(p)}$

См. Также [ править ]

• Совокупный спрос
• Представитель агента

Ссылки [ править ]

• Антонелли, Великобритания (1886 г.). Sulla Teoria Matematica dell'Economia Politica . Пиза.Английский перевод в Chipman, JS; Hurwicz, L .; Рихтер, МК; и др., ред. (1971). Предпочтения, полезность и спрос: симпозиум в Миннесоте . Нью-Йорк: Харкорт Брейс Йованович. С. 333–360.
• Горман, WM (1961). «О классе полей предпочтений». Метроэкономика . 13 (2): 53–56. DOI : 10.1111 / j.1467-999X.1961.tb00819.x .
• Натаф, А. (1953). "Sur des questions d'agrégation en économétrie". Publications de l'Institut de Statistique de l'Université de Paris . 2, фас. Vol. 4: 5–61.