3 21 | 2 31 | 1 32 | |||
Ректифицированный 3 21 | двунаправленный 3 21 | ||||
Ректифицированный 2 31 | Ректифицированный 1 32 | ||||
Ортогональные проекции в плоскости Кокстера E 7 |
---|
В 7-мерной геометрии , то 3 21 многогранник является однородным 7-многогранник , построенный в симметрии Е 7 группы. Это было обнаружено Торольдом Госсетом , опубликованным в его статье 1900 года. Он назвал это семисекундной полурегулярной фигурой . [1]
Его символ Кокстера - 3 21 , описывающий его раздваивающуюся диаграмму Кокстера-Дынкина с одним кольцом на конце одной из последовательностей с 3 узлами.
Выпрямляются 3 21 построены по точкам в середине краях - 21 . Birectified 3 21 строится по точкам на треугольник лицевых центров 3 21 . Trirectified 3 21 строится по точкам на тетраэдрических центрах - 21 , и является таким же , как выпрямленным 1 32 .
Эти многогранники являются частью семейства из 127 (2 7 -1) выпуклых однородных многогранников в 7-мерном пространстве , состоящих из граней однородных 6-многогранников и вершинных фигур , определяемых всеми перестановками колец в этой диаграмме Кокстера-Дынкина :.
3 21 многогранник [ править ]
3 21 многогранник | |
---|---|
Тип | Равномерный 7-многогранник |
Семья | k 21 многогранник |
Символ Шлефли | {3,3,3,3 2,1 } |
Символ Кокстера | 3 21 |
Диаграмма Кокстера | |
6 лиц | 702 всего: 126 3 11 576 {3 5 } |
5 лиц | 6048: 4032 {3 4 } 2016 {3 4 } |
4-гранный | 12096 {3 3 } |
Клетки | 10080 {3,3} |
Лица | 4032 {3} |
Края | 756 |
Вершины | 56 |
Фигура вершины | 2 21 многогранник |
Многоугольник Петри | восьмиугольник |
Группа Коксетера | E 7 , [3 3,2,1 ], заказ 2903040 |
Характеристики | выпуклый |
В 7-мерной геометрии , то 3 21 является однородным многогранник . Он имеет 56 вершин и 702 фасета: 126 3 11 и 576 6-симплексов .
Для визуализации этот 7-мерный многогранник часто отображается в специальном наклонном ортогональном направлении проекции, которое соответствует его 56 вершинам внутри 18-угольного правильного многоугольника (называемого многоугольником Петри ). Его 756 ребер нарисованы между 3 кольцами по 18 вершин и 2 вершинами в центре. Определенные высшие элементы (грани, ячейки и т. Д.) Также могут быть выделены и нарисованы на этой проекции.
1- скелет из 3 21 многогранника является Госсеты графа .
Этот многогранник, наряду с 7-симплексом , может разбивать на мозаику 7-мерное пространство, представленное 3 31 и диаграммой Кокстера-Дынкина:.
Альтернативные имена [ править ]
- Его также называют многогранником Гесса по имени Эдмунда Гесса, который его первым открыл.
- Это было перечислено Торольдом Госсетом в его статье 1900 года. Он назвал это семисекундной полурегулярной фигурой . [1]
- EL Elte назвал его V 56 (из-за его 56 вершин) в своем списке полуправильных многогранников 1912 года. [2]
- HSM Coxeter назвал его 3 21 из-за его раздвоенной диаграммы Кокстера-Дынкина , имеющей 3 ветви длиной 3, 2 и 1, и имеющую единственное кольцо на последнем узле 3-й ветви.
- Hecatonicosihexa-pentacosiheptacontihexa-exon (Acronym Naq) - многогранный полиексон 126-576 (Jonathan Bowers) [3]
Координаты [ править ]
56 вершин проще всего представить в 8-мерном пространстве, полученном 28 перестановками координат и их противоположностями:
- ± (-3, -3, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
Строительство [ править ]
Его конструкция основана на группе E7 . Коксетер назвал его 3 21 по раздвоенной диаграмме Кокстера-Дынкина с единственным кольцом на конце последовательности из 3 узлов.
Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Дынкина ,.
Удаление узла на короткой ветви оставляет 6-симплекс ,.
Удаление узла на конце 2-длины ветви оставляет 6-ортоплекс в его чередующейся форме: 3 11 ,.
Каждая симплексная грань касается 6-ортоплексной грани, в то время как альтернативные грани ортоплекса касаются либо симплекса, либо другого ортоплекса.
Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого узла и звонят в соседнем узел. Это составляет 2 21 многогранник,.
В матрице конфигурации количество элементов может быть получено путем удаления зеркала и соотношений групповых порядков Кокстера . [4]
E 7 | k -face | f k | f 0 | f 1 | ж 2 | ж 3 | ж 4 | ж 5 | ж 6 | k -фигуры | заметки | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
E 6 | () | f 0 | 56 | 27 | 216 | 720 | 1080 | 432 | 216 | 72 | 27 | 2 21 | E 7 / E 6 = 72x8! / 72x6! = 56 | |
D 5 A 1 | {} | f 1 | 2 | 756 | 16 | 80 | 160 | 80 | 40 | 16 | 10 | 5-полукуб | E 7 / D 5 A 1 = 72x8! / 16/5! / 2 = 756 | |
А 4 А 2 | {3} | ж 2 | 3 | 3 | 4032 | 10 | 30 | 20 | 10 | 5 | 5 | выпрямленный 5-элементный | E 7 / A 4 A 2 = 72x8! / 5! / 2 = 4032 | |
А 3 А 2 А 1 | {3,3} | ж 3 | 4 | 6 | 4 | 10080 | 6 | 6 | 3 | 2 | 3 | треугольная призма | E 7 / A 3 A 2 A 1 = 72x8! / 4! / 3! / 2 = 10080 | |
А 4 А 1 | {3,3,3} | ж 4 | 5 | 10 | 10 | 5 | 12096 | 2 | 1 | 1 | 2 | равнобедренный треугольник | E 7 / A 4 A 1 = 72x8! / 5! / 2 = 12096 | |
А 5 А 1 | {3,3,3,3} | ж 5 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 4032 | * | 1 | 1 | {} | E 7 / A 5 A 1 = 72x8! / 6! / 2 = 4032 | |
А 5 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | * | 2016 г. | 0 | 2 | E 7 / A 5 = 72x8! / 6! = 2016 | ||||
А 6 | {3,3,3,3,3} | ж 6 | 7 | 21 год | 35 год | 35 год | 21 год | 10 | 0 | 576 | * | () | E 7 / A 6 = 72x8! / 7! = 576 | |
D 6 | {3,3,3,3,4} | 12 | 60 | 160 | 240 | 192 | 32 | 32 | * | 126 | E 7 / D 6 = 72x8! / 32/6! = 126 |
Изображения [ редактировать ]
E7 | E6 / F4 | B7 / A6 |
---|---|---|
[18] | [12] | [7x2] |
A5 | D7 / B6 | D6 / B5 |
[6] | [12/2] | [10] |
D5 / B4 / A4 | D4 / B3 / A2 / G2 | D3 / B2 / A3 |
[8] | [6] | [4] |
Связанные многогранники [ править ]
3 21 - пятое в размерном ряду полуправильных многогранников . Каждый прогрессивный равномерный многогранник строится вершиной фигуры предыдущего многогранника. Торольд Госсет определил эту серию в 1900 году как содержащую все фасеты правильных многогранников , включая все симплексы и ортоплексы .
k 21 фигурка в n мерном | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Космос | Конечный | Евклидово | Гиперболический | ||||||||
E n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
Группа Коксетера | Е 3 = А 2 А 1 | Е 4 = А 4 | E 5 = D 5 | E 6 | E 7 | E 8 | E 9 = = E 8 + | E 10 = = E 8 ++ | |||
Диаграмма Кокстера | |||||||||||
Симметрия | [3 −1,2,1 ] | [3 0,2,1 ] | [3 1,2,1 ] | [3 2,2,1 ] | [3 3,2,1 ] | [3 4,2,1 ] | [3 5,2,1 ] | [3 6,2,1 ] | |||
Заказ | 12 | 120 | 1,920 | 51 840 | 2 903 040 | 696 729 600 | ∞ | ||||
График | - | - | |||||||||
Имя | −1 21 | 0 21 | 1 21 | 2 21 | 3 21 | 4 21 | 5 21 | 6 21 |
Он находится в размерном ряду однородных многогранников и сот, выраженных Кокстером как ряд 3 k1 . (Вырожденный 4-мерный случай существует как разбиение на 3 сферы, тетраэдрический осоэдр .)
Космос | Конечный | Евклидово | Гиперболический | |||
---|---|---|---|---|---|---|
п | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Группа Коксетера | А 3 А 1 | А 5 | D 6 | E 7 | = E 7 + | = E 7 ++ |
Диаграмма Кокстера | ||||||
Симметрия | [3 −1,3,1 ] | [3 0,3,1 ] | [[3 1,3,1 ]] = [4,3,3,3,3] | [3 2,3,1 ] | [3 3,3,1 ] | [3 4,3,1 ] |
Заказ | 48 | 720 | 46 080 | 2 903 040 | ∞ | |
График | - | - | ||||
Имя | 3 1, -1 | 3 10 | 3 11 | 3 21 | 3 31 | 3 41 |
Выпрямленный многогранник 3 21 [ править ]
Выпрямленный многогранник 3 21 | |
---|---|
Тип | Равномерный 7-многогранник |
Символ Шлефли | т 1 {3,3,3,3 2,1 } |
Символ Кокстера | т 1 (3 21 ) |
Диаграмма Кокстера | |
6 лиц | 758 |
5 лиц | 44352 |
4-гранный | 70560 |
Клетки | 48384 |
Лица | 11592 |
Края | 12096 |
Вершины | 756 |
Фигура вершины | Призма с 5 полукубами |
Многоугольник Петри | восьмиугольник |
Группа Коксетера | E 7 , [3 3,2,1 ], заказ 2903040 |
Характеристики | выпуклый |
Альтернативные имена [ править ]
- Ректифицированный гекатоникозигекса-пентакозигептаконтигекса-экзон в виде выпрямленного многогранного многоугольника 126-576 (аббревиатура ranq) (Джонатан Бауэрс) [5]
Строительство [ править ]
Его конструкция основана на группе E7 . Кокстер назвал его 3 21 по его раздваивающейся диаграмме Кокстера-Дынкина с единственным узлом на конце последовательности из трех узлов.
Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Дынкина ,.
Удаление узла на короткой ветви оставляет 6-симплекс ,.
Удаление узла на конце 2-длины ветви оставляет выпрямленный 6-ортоплекс в его альтернированной форме: t 1 3 11 ,.
Удаление узла на конце 3-х длинного ответвления оставляет 2 21 ,.
Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого узла и звонят в соседнем узел. Это делает призму с 5 полукубами ,.
Изображения [ редактировать ]
E7 | E6 / F4 | B7 / A6 |
---|---|---|
[18] | [12] | [7x2] |
A5 | D7 / B6 | D6 / B5 |
[6] | [12/2] | [10] |
D5 / B4 / A4 | D4 / B3 / A2 / G2 | D3 / B2 / A3 |
[8] | [6] | [4] |
Биректифицированный 3 21 многогранник [ править ]
Двиректифицированный 3 21 многогранник | |
---|---|
Тип | Равномерный 7-многогранник |
Символ Шлефли | т 2 {3,3,3,3 2,1 } |
Символ Кокстера | т 2 (3 21 ) |
Диаграмма Кокстера | |
6 лиц | 758 |
5 лиц | 12348 |
4-гранный | 68040 |
Клетки | 161280 |
Лица | 161280 |
Края | 60480 |
Вершины | 4032 |
Фигура вершины | 5- ячеечная треугольная дуопризма |
Многоугольник Петри | восьмиугольник |
Группа Коксетера | E 7 , [3 3,2,1 ], заказ 2903040 |
Характеристики | выпуклый |
Альтернативные имена [ править ]
- Биректифицированный гекатоникозигекса-пентакозигептаконтигекса-экзон в виде двоякосоветого 126-576 фасетированного полиексона (аббревиатура branq) (Джонатан Бауэрс) [6]
Строительство [ править ]
Его конструкция основана на группе E7 . Кокстер назвал его 3 21 по его раздваивающейся диаграмме Кокстера-Дынкина с единственным узлом на конце последовательности из трех узлов.
Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Дынкина ,.
Удаление узла на короткой ветке оставляет биректифицированный 6-симплекс ,.
Удаление узла на конце ветви 2-й длины оставляет двунаправленный 6-ортоплекс в его альтернированной форме: t 2 (3 11 ) ,.
Удаление узла на конце 3-длины ветви оставляет выпрямленный многогранник 2 21 в его альтернативной форме: t 1 (2 21 ) ,.
Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого узла и звонят в соседнем узел. Это делает выпрямленную 5-элементную треугольную дуопризму,.
Изображения [ редактировать ]
E7 | E6 / F4 | B7 / A6 |
---|---|---|
[18] | [12] | [7x2] |
A5 | D7 / B6 | D6 / B5 |
[6] | [12/2] | [10] |
D5 / B4 / A4 | D4 / B3 / A2 / G2 | D3 / B2 / A3 |
[8] | [6] | [4] |
См. Также [ править ]
- Список многогранников E7
Заметки [ править ]
- ^ а б Госсет, 1900 г.
- ^ Elte, 1912
- ^ Клитцинг, (o3o3o3o * c3o3o3x - naq)
- ^ Коксетер, Правильные многогранники, 11,8 фигур Госсетта в шести, семи и восьми измерениях, стр. 202-203
- ^ Клитцинг. (o3o3o3o * c3o3x3o - ranq)
- ^ Клитцинг, (o3o3o3o * c3x3o3o - branq)
Ссылки [ править ]
- Т. Госсет : О регулярных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики, Macmillan, 1900
- Elte, EL (1912), Полурегулярные многогранники гиперпространств , Гронинген: Университет Гронингена
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973.
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45] См. Стр. 342 (рисунок 3.7c) Питера МакМаллена: (18-угольный граф узлов и ребер из 3 21 )
- Клитцинг, Ричард. «7D однородные многогранники (многогранники)» . o3o3o3o * c3o3o3x - naq, o3o3o3o * c3o3x3o - ranq, o3o3o3o * c3x3o3o - branq
Внешние ссылки [ править ]
- Многогранники Госсета в vZome
Семья | А п | B n | I 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Правильный многоугольник | Треугольник | Квадратный | п-угольник | Шестиугольник | Пентагон | |||||||
Равномерный многогранник | Тетраэдр | Октаэдр • Куб | Демикуб | Додекаэдр • Икосаэдр | ||||||||
Равномерный 4-многогранник | 5-элементный | 16 ячеек • Тессеракт | Demitesseract | 24-элементный | 120 ячеек • 600 ячеек | |||||||
Равномерный 5-многогранник | 5-симплекс | 5-ортоплекс • 5-куб. | 5-полукуб | |||||||||
Равномерный 6-многогранник | 6-симплекс | 6-ортоплекс • 6-куб. | 6-полукуб | 1 22 • 2 21 | ||||||||
Равномерный 7-многогранник | 7-симплекс | 7-ортоплекс • 7-куб | 7-полукруглый | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Равномерный 8-многогранник | 8-симплекс | 8-ортоплекс • 8-куб | 8-полукруглый | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
Равномерный 9-многогранник | 9-симплекс | 9-ортоплекс • 9-куб | 9-полукруглый | |||||||||
Равномерный 10-многогранник | 10-симплекс | 10-ортоплекс • 10-куб | 10-полукуб | |||||||||
Равномерное n - многогранник | n - симплекс | n - ортоплекс • n - куб | n - demicube | 1 к2 • 2 к1 • к 21 | n - пятиугольный многогранник | |||||||
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений |