Внешняя алгебра
Соответствующее произведение ∧ на внешней алгебре ∧V называется внешним произведением или клиновым произведением . Каждый элемент ∧V представляет собой сумму элементов v 1 ∧ ... ∧ v k , где . Элемент такой формы называется k -лезвием ; он соответствует натянутому ими ориентированному параллелоэдру .
Элементы из ∧kV называются k - мультивекторами и задаются суммой k -лопастей ; это абстракция ориентированных длин, площадей , объемов и, в более общем плане, ориентированных k -объемов для k ≥ 0 .
Внешний продукт алгебры ∧ удовлетворяет знакопеременному свойству v ∧ v = 0 для всех . В силу дистрибутивности и линейности это также означает, что он антисимметричен : u ∧ v = - v ∧ u . В более общем смысле, любое лезвие меняет знак всякий раз, когда меняются местами два соседних вектора. Негатив любой k- лезвия соответствует параллелоэдру с противоположной ориентацией.
Напомним тензорную алгебру TV . Как векторное пространство оно натянуто на символы v 1 ⊗ ... ⊗ v k для k ≥ 0 и v i ∈ V , и единственными отношениями являются те, которые определяют, что эти объекты являются линейными по каждой переменной v i .
∧ V наследует структуру градуированной алгебры от TV . Элемент ∧ V можно записать (неоднозначно) как конечную сумму
где каждая буква является элементом V и k i , n ≥ 0 . Он называется k -вектором, если все k i = k , и в этом случае его ранг равен минимальному n , для которого его можно записать в приведенной выше форме. k -векторы первого ранга
