Большой эллипс

сфероид

Большой эллипс представляет собой эллипс , проходящий через два точек на эллипсоида и имеющие один и тот же центр , что и сфероида. Эквивалентно, это эллипс на поверхности сфероида с центром в начале координат , или кривая, образованная пересечением сфероида плоскостью, проходящей через его центр. ^[1] Для точек, которые разделены примерно четвертью окружности Земли , примерно , длина большого эллипса, соединяющего точки, близка (в пределах одной части из 500 000) к геодезическому расстоянию . ^{[2] [3] [4]}${\ Displaystyle 10 \, 000 \, \ mathrm {км}}$Поэтому большой эллипс иногда предлагается как подходящий маршрут для морского судоходства. Большой эллипс - это частный случай участка земного участка .

Введение [ править ]

Предположим, что сфероид, эллипсоид вращения, имеет экваториальный радиус и полярную полуось . Определите сплющивание , эксцентриситет и второй эксцентриситет . Рассмотрим две точки: на (географической) широте и долготе и на широте и долготе . Связующий большой эллипс (от к ) имеет длину и имеет азимут и на два конечных точках.${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle f = (ab) / a}$${\ Displaystyle е = {\ sqrt {е (2-е)}}}$${\ Displaystyle е '= е / (1-е)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ phi _ {1}}$${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ phi _ {2}}$${\ displaystyle \ lambda _ {2}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle s_ {12}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}}$${\ displaystyle \ alpha _ {2}}$

Существуют различные способы отобразить эллипсоид в сферу радиуса таким образом, чтобы отобразить большой эллипс в большой круг, что позволяет использовать методы навигации по большому кругу :${\ displaystyle a}$

• Эллипсоид можно растянуть в направлении, параллельном оси вращения; это отображает точку широты на эллипсоиде в точку на сфере с широтой , параметрической широтой .${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ beta}$
• Точка на эллипсоиде может быть нанесена на сферу радиально по линии, соединяющей ее с центром эллипсоида; это отображает точку широты на эллипсоиде в точку на сфере с широтой , геоцентрической широтой .${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ theta}$
• Эллипсоид можно растянуть в вытянутый эллипсоид с полярной полуосью и затем нанести на сферу радиально; это сохраняет широту-широту на сфере , то географическая широта .${\ displaystyle a ^ {2} / b}$${\ displaystyle \ phi}$

Последний метод дает простой способ создать последовательность путевых точек на большом эллипсе, соединяющем две известные точки и . Решите для большого круга между и и найдите путевые точки на большом круге . Они отображаются в путевые точки на соответствующем большом эллипсе.${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle (\ phi _ {1}, \ lambda _ {1})}$${\ displaystyle (\ phi _ {2}, \ lambda _ {2})}$

Сопоставление большого эллипса с большим кругом [ править ]

Если требуются расстояния и заголовки, проще всего использовать первое сопоставление. ^[5] Подробно отображение выглядит следующим образом (это описание взято из ^[6] ):

• Географическая широта на эллипсоиде отображается в параметрическую широту на сфере, где${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ beta}$

  ${\ Displaystyle а \ загар \ бета = Ь \ загар \ фи.}$

• Долгота не изменилась.${\ displaystyle \ lambda}$
• Азимут на эллипсоиде отображается на азимут на сфере, где${\ displaystyle \ alpha}$${\displaystyle \gamma }$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {\tan \gamma }{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\beta }}},\\\tan \gamma &={\frac {\tan \alpha }{\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{2}\phi }}},\end{aligned}}}$

  и квадранты и совпадают.${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \gamma }$
• Позиции на большом круге радиуса параметризуются длиной дуги, отсчитываемой от пересечения экватора в северном направлении. Большой эллипс имеет полуоси и , где - азимут большого круга при пересечении экватора в северном направлении, а - параметрический угол на эллипсе.${\displaystyle a}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle a}$${\displaystyle a{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\gamma _{0}}}}$${\displaystyle \gamma _{0}}$${\displaystyle \sigma }$

(Аналогичное отображение на вспомогательную сферу выполняется при решении геодезических на эллипсоиде . Отличия заключаются в том, что азимут сохраняется при отображении, а долгота отображается в "сферическую" долготу . Эквивалентный эллипс используется для вычисления расстояний имеет полуоси и .)${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle b{\sqrt {1+e'^{2}\cos ^{2}\alpha _{0}}}}$${\displaystyle b}$

Решение обратной задачи [ править ]

«Обратная задача» является определением , и , учитывая позицию и . Это решается путем вычисления и решения для большого круга между и .${\displaystyle s_{12}}$${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \alpha _{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \beta _{1}}$${\displaystyle \beta _{2}}$${\displaystyle (\beta _{1},\lambda _{1})}$${\displaystyle (\beta _{2},\lambda _{2})}$

Сферические азимуты помечаются как (от ). Таким образом , и и сферические азимуты на экваторе и на и . Азимуты конечных точек большого эллипса и вычисляются из и .${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \gamma _{0}}$${\displaystyle \gamma _{1}}$${\displaystyle \gamma _{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \alpha _{2}}$${\displaystyle \gamma _{1}}$${\displaystyle \gamma _{2}}$

Полуоси большого эллипса можно найти, используя значение .${\displaystyle \gamma _{0}}$

В рамках решения задачи о большом круге также определяются длины дуги и , измеряемые от пересечения экватора до и . Расстояние находится путем вычисления длины части периметра эллипса с использованием формулы, дающей дугу меридиана через параметрическую широту . При применении этой формулы используйте полуоси для большого эллипса (вместо меридиана) и замените и на .${\displaystyle \sigma _{01}}$${\displaystyle \sigma _{02}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle s_{12}}$${\displaystyle \sigma _{01}}$${\displaystyle \sigma _{02}}$${\displaystyle \beta }$

Аналогичным образом может быть найдено решение «прямой задачи», определяющее положение заданных , и (для этого требуется, кроме того, формула обратного меридионального расстояния ). Это также позволяет находить путевые точки (например, серию равноотстоящих промежуточных точек) при решении обратной задачи.${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle s_{12}}$

См. Также [ править ]

• Пути участков земли
• Навигация по большому кругу
• Геодезические на эллипсоиде
• Дуга меридиана
• Линия румба

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Реализация в Matlab решений прямой и обратной задач для больших эллипсов.