Магма (алгебра)
В абстрактной алгебре магма , бинар [1] или , реже, группоид является основным типом алгебраической структуры . В частности, магма состоит из набора, оснащенного одной бинарной операцией , которая по определению должна быть закрыта . Никакие другие свойства не навязываются.
Термин группоид был введен в 1927 году Генрихом Брандтом при описании его группоида Брандта (в переводе с немецкого Gruppoid ). Затем термин был присвоен Б. А. Хаусманном и Ойстейном Оре (1937) [2] в смысле (множества с бинарной операцией), используемом в этой статье. В паре обзоров последующих статей в Zentralblatt Брандт категорически не согласился с такой перегруженностью терминологией. Группоид Брандта является группоидом в том смысле, который используется в теории категорий, но не в том смысле, в котором его используют Хаусманн и Оре. Тем не менее, влиятельные книги по теории полугрупп, включая Клиффорда иПрестон (1961) и Хоуи (1995) используют группоид в смысле Хаусмана и Оре. Холлингс (2014) пишет, что термин группоид «возможно, чаще всего используется в современной математике» в том смысле, который придается ему в теории категорий. [3]
Согласно Бергману и Хаускнехту (1996): «Не существует общепринятого слова для обозначения множества с не обязательно ассоциативной бинарной операцией. Слово группоид используется многими универсальными алгебраистами, но специалисты в области теории категорий и смежных областей категорически возражают против этого использования . потому что они используют одно и то же слово для обозначения «категории, в которой все морфизмы обратимы». Термин « магма » был использован Серром [Алгебры Ли и группы Ли, 1965]». [4] Он также появляется в Éléments de mathématique Бурбаки , Algèbre, главы 1 и 3, 1970 . [5]
Магма — это множество M , которому соответствует операция , • которая переводит любые два элемента a , b ∈ M в другой элемент, a • b . Символ • является общим заполнителем для правильно определенной операции. Чтобы квалифицироваться как магма, множество и операция ( M , •) должны удовлетворять следующему требованию (известному как аксиома магмы или замыкания ):
Если • является частичной операцией , то ( M , •) называется частичной магмой [6] или чаще частичным группоидом . [6] [7]
Морфизм магм — это функция f : M → N , отображающая магму M в магму N , которая сохраняет бинарную операцию:
