Функция Гудермана

График функции Гудермана

Функция Гудермана , названная в честь Кристофа Гудермана (1798–1852), связывает круговые функции и гиперболические функции без явного использования комплексных чисел .

Он определен для всех x как ^{[1] [2] [3]}

${\ displaystyle \ operatorname {gd} x = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1} {\ cosh t}} \, dt.}$

 

Свойства [ править ]

Альтернативные определения [ править ]

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {gd} x & = \ arcsin \ left (\ tanh x \ right) = \ arctan (\ sinh x) = \ operatorname {arccsc} (\ coth x) \\ & = \ operatorname {sgn} (x) \ cdot \ arccos \ left (\ operatorname {sech} x \ right) = \ operatorname {sgn} (x) \ cdot \ operatorname {arcsec} (\ cosh x) \\ & = 2 \ arctan \ left [\ tanh \ left ({\ tfrac {1} {2}} x \ right) \ right] \\ & = 2 \ arctan (e ^ {x}) - {\ tfrac {1} {2 }} \ пи. \ конец {выровнено}}}$

Некоторые личности [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\operatorname {gd} x)=\tanh x;\quad &\csc(\operatorname {gd} x)=\coth x;\\\cos(\operatorname {gd} x)=\operatorname {sech} x;\quad &\sec(\operatorname {gd} x)=\cosh x;\\\tan(\operatorname {gd} x)=\sinh x;\quad &\cot(\operatorname {gd} x)=\operatorname {csch} x;\\\tan \left({\tfrac {1}{2}}\operatorname {gd} x\right)=\tanh \left({\tfrac {1}{2}}x\right).\end{aligned}}}$

Обратный [ править ]

График обратной функции Гудермана

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} ^{-1}x&=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\cos t}}\,dt\qquad -\pi /2<x<\pi /2\\[8pt]&=\ln \left|{\frac {1+\sin x}{\cos x}}\right|={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right|=\ln \left|{\frac {1+\tan {\frac {x}{2}}}{1-\tan {\frac {x}{2}}}}\right|\\[8pt]&=\ln \left|\tan x+\sec x\right|=\ln \left|\tan \left({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|\\[8pt]&=\operatorname {artanh} (\sin x)=\operatorname {arsinh} (\tan x)\\&=2\operatorname {arctanh} \left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\&=\operatorname {arcoth} (\csc x)=\operatorname {arcsch} (\cot x)\\&=\operatorname {sgn} (x)\operatorname {arcosh} (\sec x)=\operatorname {sgn} (x)\operatorname {arsech} (\cos x)\\&=-i\operatorname {gd} (ix)\end{aligned}}}$

(См. Обратные гиперболические функции .)

Некоторые личности [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(\operatorname {gd} ^{-1}x)=\tan x;\quad &\operatorname {csch} (\operatorname {gd} ^{-1}x)=\cot x;\\\cosh(\operatorname {gd} ^{-1}x)=\sec x;\quad &\operatorname {sech} (\operatorname {gd} ^{-1}x)=\cos x;\\\tanh(\operatorname {gd} ^{-1}x)=\sin x;\quad &\coth(\operatorname {gd} ^{-1}x)=\csc x.\end{aligned}}}$

Производные [ править ]

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {gd} x=\operatorname {sech} x;\quad {\frac {d}{dx}}\;\operatorname {gd} ^{-1}x=\sec x.}$

История [ править ]

Функция была введена Иоганном Генрихом Ламбертом в 1760-х годах одновременно с гиперболическими функциями . Он назвал его «трансцендентным углом», и он носил различные названия до 1862 года, когда Артур Кейли предложил дать ему нынешнее название в честь работы Гудермана в 1830-х годах по теории специальных функций. ^[4] Гудерманн опубликовал статьи в журнале Crelle, которые были собраны в Theorie der Potenzialoder cyklisch-hyperbolischen Functionen (1833), книге, которая разъясняла sinh and cosh широкой аудитории (под прикрытием и ).${\displaystyle {\mathfrak {Sin}}}$${\displaystyle {\mathfrak {Cos}}}$

Обозначение gd было введено Кэли ^[5], где он начинает с вызова gd. u - величина, обратная интегралу секущей функции :

${\displaystyle u=\int _{0}^{\phi }\sec t\,dt=\ln \left(\tan \left({\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}\phi \right)\right)}$

а затем выводит «определение» трансцендентного:

${\displaystyle \operatorname {gd} u=i^{-1}\ln \left(\tan \left({\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}ui\right)\right)}$

сразу заметив, что это реальная функция от u .

Приложения [ править ]

• Функция угла параллельности в гиперболической геометрии определяется как

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi -\operatorname {gd} x}$

• В проекции Меркатора линия постоянной широты параллельна экватору (на проекции) и смещена на величину, пропорциональную обратному гудерманиану широты.
• Гудерманиан (со сложным аргументом) может использоваться в определении поперечной проекции Меркатора . ^[6]

• Гудерманиан появляется в непериодическом решении перевернутого маятника . ^[7]

• Гудерманиан также появляется в решении динамического эффекта Казимира в виде движущегося зеркала . ^[8]

См. Также [ править ]

• Распределение гиперболического секанса
• Проекция Меркатора
• Формула касательного полуугла
• Tractrix
• Тригонометрическая идентичность

Ссылки [ править ]