Интеграл секущей функции

В исчислении интеграл секущей функции может быть вычислен с использованием различных методов, и существует несколько способов выражения первообразной, все из которых можно показать как эквивалентные с помощью тригонометрических тождеств,

${\ displaystyle \ int \ sec \ theta \, d \ theta = {\ begin {case} {\ dfrac {1} {2}} \ ln \ left | {\ dfrac {1+ \ sin \ theta} {1- \ sin \ theta}} \ right | + C \\ [15pt] \ ln \ left | \ sec \ theta + \ tan \ theta \ right | + C \\ [15pt] \ ln \ left | \ tan \ left ( {\ dfrac {\ theta} {2}} + {\ dfrac {\ pi} {4}} \ right) \ right | + C \ end {case}}}$

Эта формула полезна для вычисления различных тригонометрических интегралов. В частности, его можно использовать для вычисления интеграла секущей в кубе , который, хотя и кажется особенным, довольно часто встречается в приложениях. ^[1]

Доказательство эквивалентности различных первообразных [ править ]

Тригонометрические формы [ править ]

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta =\left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {1}{2}}\ln \left|{\dfrac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\right|+C\\[15pt]\ln \left|\sec \theta +\tan \theta \right|+C\\[15pt]\ln \left|\tan \left({\dfrac {\theta }{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C\end{array}}\right\}{\text{ (equivalent forms)}}}$

Второй из них следует из первого умножения верхней и нижней части внутренней фракции на . Это дает знаменатель, и результат следует путем преобразования множителя 1/2 в логарифм как квадратный корень. Оставив пока константу интегрирования,${\displaystyle (1+\sin \theta )}$${\displaystyle 1-\sin ^{2}\theta =\cos ^{2}\theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {1}{2}}\ln \left|{\dfrac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\right|&={\dfrac {1}{2}}\ln \left|{\dfrac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\cdot {\dfrac {1+\sin \theta }{1+\sin \theta }}\right|={\dfrac {1}{2}}\ln \left|{\dfrac {(1+\sin \theta )^{2}}{1-\sin ^{2}\theta }}\right|={\dfrac {1}{2}}\ln \left|{\dfrac {(1+\sin \theta )^{2}}{\cos ^{2}\theta }}\right|\\[6pt]&={\dfrac {1}{2}}\ln \left({\dfrac {1+\sin \theta }{\cos \theta }}\right)^{2}=\ln {\sqrt {\left({\dfrac {1+\sin \theta }{\cos \theta }}\right)^{2}}}=\ln \left|{\dfrac {1+\sin \theta }{\cos \theta }}\right|=\ln |\sec \theta +\tan \theta |.\end{aligned}}}$

Третья форма следует путем замены на и расширения с использованием тождеств для . Его также можно получить напрямую, выполнив следующие замены:${\displaystyle \sin \theta }$${\displaystyle -\cos(\theta +\pi /2)}$${\displaystyle \cos 2x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec \theta ={\frac {1}{\sin \left(\theta +{\dfrac {\pi }{2}}\right)}}={\frac {1}{2\sin \left({\dfrac {\theta }{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\cos \left({\dfrac {\theta }{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)}}={\frac {\sec ^{2}\left({\dfrac {\theta }{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)}{2\tan \left({\dfrac {\theta }{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)}}.\end{aligned}}}$

Обычное решение для ординаты проекции Меркатора может быть записано без знаков модуля, поскольку широта находится между и ,${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle y=\ln \tan \!\left({\frac {\varphi }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right).}$

Гиперболические формы [ править ]

Позволять

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=\ln(\sec \theta +\tan \theta ),\\e^{\psi }&=\sec \theta +\tan \theta ,\\\sinh \psi &={\frac {1}{2}}(e^{\psi }-e^{-\psi })=\tan \theta ,\\\cosh \psi &={\sqrt {1+\sinh ^{2}\psi }}=\sec \theta ,\\\tanh \psi &=\sin \theta .\end{aligned}}}$

Следовательно,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec \theta \,d\theta &=\psi =\tanh ^{-1}\!\left(\sin \theta \right)=\sinh ^{-1}\!\left(\tan \theta \right)=\cosh ^{-1}\!\left(\sec \theta \right).\end{aligned}}}$

История [ править ]

Интеграл секущей функции был одной из «выдающихся открытых проблем середины семнадцатого века», решенной в 1668 году Джеймсом Грегори . ^[2] Он применил свой результат к задаче о навигационных таблицах. ^[1] В 1599 году , Эдвард Райт оценил интеграл по численным методам - то , что мы сегодня назвали бы суммы Римана . ^[3] Он хотел найти решение для картографии - особенно для построения точной проекции Меркатора . ^[2] В 1640-х годах Генри Бонд, учитель навигации, геодезии и других математических дисциплин, сравнил вычисленную Райтом численно вычисленную таблицу значений интеграла секущей с таблицей логарифмов касательной функции и, следовательно, предположил, что ^[2]

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\sec \theta \,d\theta =\ln \left|\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|.}$

Это предположение стало широко известным, и в 1665 году о нем узнал Исаак Ньютон . ^{[4] [5]}

Оценки [ править ]

Стандартной заменой (подход Грегори) [ править ]

Стандартный метод вычисления секущего интеграла, представленный в различных источниках, включает в себя умножение числителя и знаменателя на, а затем замену следующего выражения на полученное выражение: и . ^{[6] [7]} Эта замена может быть получена из производных секущей и касательной, сложенных вместе, которые имеют секанс в качестве общего множителя. ^[8]${\displaystyle \sec \theta +\tan \theta }$${\displaystyle u=\sec \theta +\tan \theta }$${\displaystyle du=(\sec \theta \tan \theta +\sec ^{2}\theta )\,d\theta }$

Начиная с

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\sec \theta =\sec \theta \tan \theta \quad {\text{and}}\quad {\frac {d}{d\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta ,}$

добавление их дает

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}(\sec \theta +\tan \theta )=\sec \theta \tan \theta +\sec ^{2}\theta =\sec \theta (\tan \theta +\sec \theta ).}$

Таким образом, производная от суммы равна сумме, умноженной на . Это позволяет умножать на в числителе и знаменателе и выполнять следующие замены: и .${\displaystyle \sec \theta }$${\displaystyle \sec \theta }$${\displaystyle \sec \theta +\tan \theta }$${\displaystyle u=\sec \theta +\tan \theta }$${\displaystyle du=(\sec \theta \tan \theta +\sec ^{2}\theta )\,d\theta }$

Интеграл вычисляется следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec \theta \,d\theta &=\int {\frac {\sec \theta (\sec \theta +\tan \theta )}{\sec \theta +\tan \theta }}\,d\theta \\[6pt]&=\int {\frac {(\sec ^{2}\theta +\sec \theta \tan \theta )\,d\theta }{\sec \theta +\tan \theta }}&&u=\sec \theta +\tan \theta \\[6pt]&=\int {\frac {du}{u}}&&du=(\sec \theta \tan \theta +\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=\ln |u|+C=\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C,\end{aligned}}}$

как заявлено. Эту формулу открыл Джеймс Грегори. ^[1]

Частичными дробями и заменой (подход Барроу) [ править ]

Хотя Грегори доказал эту гипотезу в 1668 году в своих Exercitationes Geometricae , доказательство было представлено в форме, которая делает его почти невозможным для понимания современного читателя; Исаак Барроу в своих « Геометрических лекциях» 1670 года ^[9] дал первое «понятное» доказательство, хотя даже оно было «сформулировано в геометрической идиоме того времени». ^[2] Доказательство результата Барроу было самым ранним использованием частичных дробей при интегрировании. ^[2] Доказательство Барроу, адаптированное к современным обозначениям, начиналось следующим образом:

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta =\int {\frac {d\theta }{\cos \theta }}=\int {\frac {\cos \theta \,d\theta }{\cos ^{2}\theta }}=\int {\frac {\cos \theta \,d\theta }{1-\sin ^{2}\theta }}}$

Подставляя для уменьшает интеграл в${\displaystyle u}$${\displaystyle \sin \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {du}{1-u^{2}}}&=\int {\frac {du}{(1+u)(1-u)}}={\dfrac {1}{2}}\int \left({\frac {1}{1+u}}+{\frac {1}{1-u}}\right)\,du\\[10pt]&={\frac {1}{2}}\left(\ln \left|1+u\right|-\ln \left|1-u\right|\right)+C={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+u}{1-u}}\right|+C\end{aligned}}}$

Следовательно,

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta ={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\right|+C,}$

как и ожидалось.

Подстановкой Вейерштрасса [ править ]

Стандарт [ править ]

Формулы для замены Вейерштрасса следующие. Пусть , где . Тогда ^[10]${\displaystyle t=\tan(\theta /2)}$${\displaystyle -\pi <\theta <\pi }$

${\displaystyle \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {t}{\sqrt {1+t^{2}}}}\qquad {\text{and}}\qquad \cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+t^{2}}}}.}$

Следовательно,

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}},\qquad \cos \theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\qquad {\text{and}}\qquad d\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt,}$

по формулам двойного угла. Что касается интеграла от секущей функции,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec \theta \,d\theta &=\int {\frac {d\theta }{\cos \theta }}=\int {\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}{\frac {2}{1+t^{2}}}dt&&t=\tan {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]&=\int {\frac {2\,dt}{1-t^{2}}}=\int {\frac {2\,dt}{(1-t)(1+t)}}\\[6pt]&=\int 2\left[{\frac {1}{2(1+t)}}+{\frac {1}{2(1-t)}}\right]dt&&{\text{partial fraction decomposition}}\\[6pt]&=\int \left({\frac {1}{t+1}}-{\frac {1}{t-1}}\right)dt\\[6pt]&=\ln |t+1|-\ln |t-1|+C=\ln \left|{\frac {t+1}{t-1}}\right|+C\\[6pt]&=\ln \left|{\frac {t+1}{t-1}}\cdot {\frac {t+1}{t+1}}\right|+C=\ln \left|{\frac {t^{2}+2t+1}{t^{2}-1}}\right|+C\\[6pt]&=\ln \left|{\frac {t^{2}+1}{t^{2}-1}}+{\frac {2t}{t^{2}-1}}\right|+C=\ln \left|{\frac {t^{2}+1}{t^{2}-1}}+{\frac {2t}{t^{2}-1}}\cdot {\frac {t^{2}+1}{t^{2}+1}}\right|+C\\[6pt]&=\ln \left|{\frac {t^{2}+1}{t^{2}-1}}+{\frac {2t}{t^{2}+1}}\cdot {\frac {t^{2}+1}{t^{2}-1}}\right|+C\\[6pt]&=\ln \left|{\frac {1}{\cos \theta }}+\sin \theta \cdot {\frac {1}{\cos \theta }}\right|+C=\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C,\end{aligned}}}$

как прежде.

Нестандартный [ править ]

Интеграл также может быть получен с помощью несколько нестандартной версии подстановки Вейерштрасса, которая более проста в случае этого конкретного интеграла, опубликованного в 2013 г. ^[11], выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}&x=\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)\\[10pt]&{\frac {2x}{1+x^{2}}}=2\sin \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=\cos \theta \\[10pt]&dx={\frac {1}{2}}\sec ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)d\theta ={\frac {1}{2}}(1+x^{2})d\theta \\[10pt]&{\frac {2\,dx}{1+x^{2}}}=d\theta \\[10pt]\int \sec \theta \,d\theta &=\int \left({\frac {1+x^{2}}{2x}}\right)\left({\frac {2}{1+x^{2}}}\right)\,dx=\int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C=\ln \left|\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)\right|+C.\end{aligned}}}$

Гудерманниан и ламберт [ править ]

Интеграл от секущей функции определяет функцию Ламберта, которая является обратной функцией Гудермана :

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta =\operatorname {lam} (\theta )=\operatorname {gd} ^{-1}(\theta ).}$

Это встречается в теории картографических проекций: проекция Меркатора точки с долготой θ и широтой φ может быть записана ^[12] как:

${\displaystyle (x,y)=(\theta ,\operatorname {lam} (\varphi )).}$

См. Также [ править ]

• Интеграл секущей в кубе
• Функция Гудермана

Ссылки [ править ]