Динамическая система Адамара

В физике и математике , то динамическая система Адамар (также называемая бильярдными Адамар или моделью Адамар-Гутцвиллер ^[1] ) является хаотичной динамической системой , типа динамического бильярда . Представленная Жаком Адамаром в 1898 году ^[2] и изученная Мартином Гуцвиллером в 1980-х годах ^[3]^[4], это первая динамическая система, хаотичность которой доказана .

Система учитывает движение свободной (не имеющей трения ) частицы по поверхности Больца , т. Е. Двумерной поверхности второго рода (бублик с двумя дырками) и постоянной отрицательной кривизны ; это компактная риманова поверхность . Адамару удалось показать, что траектории каждой частицы удаляются друг от друга: все траектории имеют положительный показатель Ляпунова .

Франк Штайнер утверждает, что исследование Адамара следует рассматривать как первое в истории исследование хаотической динамической системы и что Адамара следует рассматривать как первого исследователя хаоса. ^[5] Он указывает, что исследование было широко распространено, и рассматривает влияние идей на мышление Альберта Эйнштейна и Эрнста Маха .

Система особенно важна тем, что в 1963 году Яков Синай , изучая бильярд Синая как модель классического ансамбля газа Больцмана – Гиббса, смог показать, что движение атомов в газе следует траекториям в газе Адамара. динамическая система.

Экспозиция

Исследуемое движение представляет собой движение свободной частицы, скользящей по поверхности без трения, а именно частицы, имеющей гамильтониан

{\ Displaystyle H (p, q) = {\ frac {1} {2m}} p_ {i} p_ {j} g ^ {ij} (q)}

где т масса частицы, , являются координатами на многообразии, являются сопряженными импульсами : ${\ Displaystyle д ^ {я}}$ ${\ displaystyle i = 1,2}$ $p_{i}$

p_{i}=mg_{ij}{\frac {dq^{j}}{dt}}

а также

ds^{2}=g_{ij}(q)dq^{i}dq^{j}\,

- метрический тензор на многообразии. Поскольку это гамильтониан свободной частицы, решение уравнений движения Гамильтона – Якоби просто дается геодезическими на многообразии.

Адамару удалось показать, что все геодезические неустойчивы, поскольку все они экспоненциально расходятся друг от друга, как с положительным показателем Ляпунова. $e^{\lambda t}$

\lambda ={\sqrt {\frac {2E}{mR^{2}}}}

где E - энергия траектории и является постоянной отрицательной кривизной поверхности. $K=-1/R^{2}$

использованная литература

^ Aurich, R .; Зибер, М .; Штайнер, Ф. (1 августа 1988 г.). "Квантовый хаос модели Адамара – Гуцвиллера" (PDF) . Письма с физическим обзором . 61 (5): 483–487. Bibcode : 1988PhRvL..61..483A . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.61.483 . PMID 10039347 .
^ Адамар, Дж. (1898). "Поверхности противоположные и леопардовые линии". J. Math. Pures Appl . 4 : 27–73.
^ Gutzwiller, MC (21 июля 1980). «Классическое квантование гамильтониана с эргодическим поведением». Письма с физическим обзором . 45 (3): 150–153. Bibcode : 1980PhRvL..45..150G . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.45.150 .
^ Gutzwiller, MC (1985). «Геометрия квантового хаоса». Physica Scripta . Т9 : 184–192. Bibcode : 1985PhST .... 9..184G . DOI : 10.1088 / 0031-8949 / 1985 / T9 / 030 .
^ Штайнер, Франк (1994). «Квантовый хаос». В Ансорге, Р. (ред.). Schlaglichter der Forschung: Zum 75. Jahrestag der Universität Hamburg 1994 . Берлин: Реймер. С. 542–564. arXiv : chao-dyn / 9402001 . Bibcode : 1994chao.dyn..2001S . ISBN 978-3-496-02540-5.

[1] Aurich, R .; Зибер, М .; Штайнер, Ф. (1 августа 1988 г.). "Квантовый хаос модели Адамара – Гуцвиллера" (PDF) . Письма с физическим обзором . 61 (5): 483–487. Bibcode : 1988PhRvL..61..483A . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.61.483 . PMID 10039347 .

[2] Адамар, Дж. (1898). "Поверхности противоположные и леопардовые линии". J. Math. Pures Appl . 4 : 27–73.

[3] Gutzwiller, MC (21 июля 1980). «Классическое квантование гамильтониана с эргодическим поведением». Письма с физическим обзором . 45 (3): 150–153. Bibcode : 1980PhRvL..45..150G . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.45.150 .

[4] Gutzwiller, MC (1985). «Геометрия квантового хаоса». Physica Scripta . Т9 : 184–192. Bibcode : 1985PhST .... 9..184G . DOI : 10.1088 / 0031-8949 / 1985 / T9 / 030 .

[5] Штайнер, Франк (1994). «Квантовый хаос». В Ансорге, Р. (ред.). Schlaglichter der Forschung: Zum 75. Jahrestag der Universität Hamburg 1994 . Берлин: Реймер. С. 542–564. arXiv : chao-dyn / 9402001 . Bibcode : 1994chao.dyn..2001S . ISBN 978-3-496-02540-5.

[1]