Изоморфизм Хариш-Чандры

В математике , то изоморфизм Хариш-Чандры , введенный Хариш-Чандры  ( 1951 ), является изоморфизмом коммутативных колец , построенных в теории алгебр Ли . Изоморфизм отображает центр Z ( U ( г )) в универсальном обертывающей U ( г ) в виде восстановительной алгебры Ли г к элементам S ( ч ) ^W от симметричной алгебры S ( ч ) отПодалгебра Картана ч , которые инвариантны относительно группы Вейля W .

Фундаментальные инварианты [ править ]

Пусть n - ранг группы g , которая является размерностью подалгебры Картана h . Коксетер заметил , что S ( ч ) ^W является полином алгебры в п переменных (см теоремы Шевалла-Шепард-Тодд для более общего утверждения). Следовательно, центр универсальной обертывающей алгебры редуктивной алгебры Ли является алгеброй многочленов. Степени образующих - это степени фундаментальных инвариантов, приведенных в следующей таблице.

Например, центр универсальной обертывающей алгебры группы G ₂ является алгеброй многочленов от образующих степеней 2 и 6.

Примеры [ править ]

• Если g - алгебра Ли sl (2, R ), то центр универсальной обертывающей алгебры порождается инвариантом Казимира степени 2, а группа Вейля действует на подалгебру Картана, изоморфную R , отрицанием, поэтому инвариант группы Вейля - это просто квадрат образующей подалгебры Картана, которая также имеет степень 2.

Введение и настройка [ править ]

Пусть g - полупростая алгебра Ли , h - ее подалгебра Картана и λ, μ ∈ h * - два элемента весового пространства, и предположим, что набор положительных корней Φ ⁺ зафиксирован. Пусть V _λ , соответственно. V _μ - модули наивысшего веса с наибольшим весом λ, соответственно. μ.

Центральные персонажи [ править ]

В G -модулей V _λ и V _μ является представлением универсального обертывающей алгебры U ( г ) и ее центр действует на модули по скалярному умножению (это следует из того факта , что модули генерируются с помощью вектора старшего веса). Итак, для v в V _λ и x в Z ( U ( g )),

${\ displaystyle x \ cdot v: = \ chi _ {\ lambda} (x) v}$

и аналогично для V _μ .

Функции являются гомоморфизмами скаляров, называемыми центральными характерами .${\ displaystyle \ chi _ {\ lambda}, \, \ chi _ {\ mu}}$

Утверждение теоремы Хариш-Чандры [ править ]

Для любого X, μ ∈ H *, символы , тогда и только тогда , когда λ + δ и ц + δ находятся на одной и той же орбиты из группы Вейля из ч *, где δ является полусумма из положительных корней . ^[1]${\ displaystyle \ chi _ {\ lambda} = \ chi _ {\ mu}}$

Другая тесно связанная формулировка состоит в том, что гомоморфизм Хариш-Чандры из центра универсальной обертывающей алгебры Z ( U ( g )) в S ( h ) ^W (элементы симметрической алгебры подалгебры Картана, фиксированные группой Вейля) есть изоморфизм .

Приложения [ править ]

Теорема может быть использована для получения простого алгебраического доказательства формулы Вейля для характера конечномерных представлений.

Кроме того, это необходимое условие существования ненулевого гомоморфизма некоторых модулей старшего веса (гомоморфизм таких модулей сохраняет центральный характер). Простое следствие состоит в том, что для модулей Верма или обобщенных модулей Верма V _λ со старшим весом λ существует только конечное число весов μ таких, что существует ненулевой гомоморфизм V _λ → V _μ .

См. Также [ править ]

• Функтор перевода
• Бесконечно малый символ

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]