Из Википедии, свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Два пунктирных пути, показанные выше, гомотопны относительно своих конечных точек. Анимация представляет одну возможную гомотопию.

Метод анализа Гомотопического ( ХАМ ) представляет собой пол-аналитический метод для решения нелинейных обыкновенных / частичных дифференциальных уравнений . Метод гомотопического анализа использует концепцию гомотопии из топологии для генерации решения сходящихся рядов для нелинейных систем. Это возможно благодаря использованию ряда гомотопий- Маклорена для работы с нелинейностями в системе.

HAM был впервые разработан в 1992 году Ляо Шицзюнем из Шанхайского университета Цзяотун в его докторской диссертации [1] и дополнительно модифицирован [2] в 1997 году [ рекламный язык ], чтобы ввести ненулевой вспомогательный параметр, называемый параметром управления сходимостью. , c 0 , для построения гомотопии на дифференциальной системе общего вида. [3] Параметр управления сходимостью - это нефизическая переменная, которая обеспечивает простой способ проверки и обеспечения сходимости ряда решений. Способность HAM естественным образом демонстрировать сходимость решения ряда необычна для аналитических и полуаналитических подходов к нелинейным уравнениям в частных производных.

Характеристики [ править ]

HAM отличается от других аналитических методов по четырем важным аспектам. Во-первых, это метод расширения серии, который напрямую не зависит от малых или больших физических параметров. Таким образом, он применим не только для слабо, но и для сильно нелинейных задач, выходя за рамки некоторых ограничений, присущих стандартным методам возмущений . Во- вторых, ХАМ представляет собой единый метод Ляпунова метода малого параметра, искусственного метода разложения дельта, по методу Adomian разложения , [4] и Гомотопический метод возмущений . [5] [6] Большая общность метода часто допускает сильную сходимость решения в более крупных пространственных областях и областях параметров. В-третьих, HAM дает отличную гибкость в выражении решения и способах его получения в явном виде. Это дает большую свободу выбора базисных функций искомого решения и соответствующего вспомогательного линейного оператора гомотопии. Наконец, в отличие от других методов аналитической аппроксимации, HAM обеспечивает простой способ гарантировать сходимость ряда решений.

Метод гомотопического анализа также может сочетаться с другими методами, используемыми в нелинейных дифференциальных уравнениях, такими как спектральные методы [7] и аппроксимации Паде . Кроме того, его можно комбинировать с вычислительными методами, такими как метод граничных элементов, чтобы линейный метод позволял решать нелинейные системы. В отличие от численного метода продолжения гомотопииметод гомотопического анализа представляет собой метод аналитической аппроксимации в отличие от метода дискретных вычислений. Кроме того, HAM использует параметр гомотопии только на теоретическом уровне, чтобы продемонстрировать, что нелинейная система может быть разбита на бесконечный набор линейных систем, которые решаются аналитически, в то время как методы продолжения требуют решения дискретной линейной системы при изменении параметра гомотопии. решить нелинейную систему.

Приложения [ править ]

За последние двадцать лет, ХАМ был применен для решения растущего числа нелинейных обыкновенных / дифференциальных уравнений с частными в области науки, финансов и техники. [8] [9] Например, множественные стационарные резонансные волны на большой и конечной глубине воды [10] были найдены с помощью критерия волнового резонанса произвольного числа бегущих гравитационных волн ; это согласуется с критерием Филлипса для четырех волн малой амплитуды. Далее, единая волновая модель, примененная с HAM, [11]допускает не только традиционные плавные прогрессивные периодические / уединенные волны, но также прогрессивные уединенные волны с острым гребнем на конечной глубине воды. Эта модель показывает, что пиковые уединенные волны являются согласованными решениями наряду с известными гладкими. Кроме того, ХАМ был применен ко многим другим нелинейных задач , таких как нелинейного переноса тепла , [12] предельный цикл нелинейных динамических систем, [13] американский опцион , [14] точное уравнение Навье-Стокса , [15] вариант ценообразования при стохастической волатильности , [16] электрогидродинамическоепотоки, [17] уравнение Пуассона-Больцмана для полупроводниковых приборов, [18] и другие.

Краткое математическое описание [ править ]

Изотопия кофейной чашки в пончик ( тор ).

Рассмотрим общее нелинейное дифференциальное уравнение

,

где - нелинейный оператор. Пусть обозначает вспомогательный линейный оператор, у 0 ( х ) начальное предположение о ц ( х ), а с 0 константой (называется параметром сходимости-контроль), соответственно. Используя параметр вложения q ∈ [0,1] из теории гомотопий, можно построить семейство уравнений,

называется уравнением деформации нулевого порядка, решение которого непрерывно изменяется относительно параметра вложения q ∈ [0,1]. Это линейное уравнение

с известным начальным предположением U ( x ; 0) = u 0 ( x ), когда q = 0, но эквивалентно исходному нелинейному уравнению , когда q = 1, то есть U ( x ; 1) = u ( x )). Следовательно, при увеличении q от 0 до 1 решение U ( x ; q ) уравнения деформации нулевого порядка изменяется (или деформируется) от выбранного начального предположения u 0 ( x ) до решения u ( x) рассматриваемого нелинейного уравнения.

Разлагая U ( x ; q ) в ряд Тейлора относительно q = 0, мы получаем гомотопический ряд Маклорена

Предполагая, что так называемый параметр управления сходимостью c 0 уравнения деформации нулевого порядка выбран правильно, что приведенный выше ряд сходится при q = 1, мы имеем решение гомотопического ряда

Из уравнения деформации нулевого порядка можно непосредственно вывести основное уравнение для u m ( x )

называется уравнением деформации m- го порядка, где и для k > 1, а правая часть R m зависит только от известных результатов u 0 , u 1 , ..., u m  - 1 и может быть легко получена с помощью программного обеспечения компьютерной алгебры. Таким образом, исходное нелинейное уравнение преобразуется в бесконечное количество линейных, но без предположения о каких-либо малых / больших физических параметрах.

Поскольку HAM основан на гомотопии, у каждого есть большая свобода выбора начального предположения u 0 ( x ), вспомогательного линейного оператора и параметра контроля сходимости c 0 в уравнении деформации нулевого порядка. Таким образом, HAM предоставляет математикам свободу выбора типа уравнения для уравнения деформации высокого порядка и основных функций его решения. Оптимальное значение параметра c 0 управления сходимостью определяется минимумом квадрата остаточной ошибки управляющих уравнений и / или граничных условий после решения общей формы для выбранного начального предположения и линейного оператора. Таким образом, параметр контроля сходимости c0 является простым способом гарантировать сходимость решения гомотопического ряда и отличает HAM от других аналитических методов аппроксимации. В целом метод дает полезное обобщение концепции гомотопии.

Радиолюбитель и компьютерная алгебра [ править ]

HAM - это метод аналитической аппроксимации, разработанный для компьютерной эры с целью «вычислений с функциями вместо чисел». В сочетании с системой компьютерной алгебры, такой как Mathematica или Maple , можно получить аналитические аппроксимации сильно нелинейной задачи до произвольно высокого порядка с помощью HAM всего за несколько секунд. Вдохновленный недавними успешными применениями HAM в различных областях, пакет Mathematica на основе HAM, названный BVPh, стал доступен в Интернете для решения нелинейных краевых задач [4]. BVPh - это пакет решателя для сильно нелинейных ОДУ с особенностями, множественными решениями и многоточечными граничными условиями в конечном или бесконечном интервале, и включает поддержку некоторых типов нелинейных уравнений в частных производных. [8] Другой код программы Mathematica, основанный на HAM, APOh, был разработан для решения явного аналитического приближения оптимальной границы исполнения американского опциона пут, который также доступен в Интернете [5] .

Анализ частотной характеристики нелинейных осцилляторов [ править ]

Недавно сообщалось, что HAM может быть полезен для получения аналитических решений нелинейных уравнений частотной характеристики. Такие решения способны улавливать различные нелинейные поведения, такие как поведение типа упрочнения, типа смягчения или смешанное поведение осциллятора. [19] [20] Эти аналитические уравнения также полезны для предсказания хаоса в нелинейных системах. [21]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Ляо, SJ (1992), Предлагаемый метод гомотопического анализа для решения нелинейных задач , докторская диссертация, Шанхайский университет Цзяо Тонг
  2. ^ Ляо, SJ (1999), "Явное, полностью аналитическое приближение задач вязкого течения Блазиуса", Международный журнал нелинейной механики , 34 (4): 759–778, Bibcode : 1999IJNLM..34..759L , DOI : 10.1016 / S0020-7462 (98) 00056-0
  3. Перейти ↑ Liao, SJ (2003), Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis Method , Boca Raton: Chapman & Hall / CRC Press, ISBN 978-1-58488-407-1[1]
  4. ^ Адомян, Г. (1994). Решение пограничных задач физики: метод декомпозиции . Kluwer Academic Publishers.
  5. ^ Лян, Сунсинь; Джеффри, Дэвид Дж. (2009), «Сравнение метода гомотопического анализа и метода гомотопических возмущений через уравнение эволюции», Коммуникации в нелинейной науке и численном моделировании , 14 (12): 4057–4064, Bibcode : 2009CNSNS..14.4057L , DOI : 10.1016 / j.cnsns.2009.02.016
  6. ^ Саджид, М .; Хайит, Т. (2008), "Сравнение HAM и HPM методы в нелинейных уравнениях теплопроводности и конвекции", нелинейный анализ: реальные приложения , 9 (5): 2296-2301, DOI : 10.1016 / j.nonrwa.2007.08. 007
  7. ^ Моца, СС; Сибанда, П .; Awad, FG; Shateyi, С. (2010), "Новый спектрально-Гомотопический метод анализа для задачи МГД-Джефри Гамеля", Компьютеры и Флюиды , 39 (7): 1219-1225, DOI : 10.1016 / j.compfluid.2010.03.004
  8. ^ a b Ляо, SJ (2012), Метод гомотопического анализа в нелинейных дифференциальных уравнениях , Берлин и Пекин: Springer & Higher Education Press, ISBN 978-7-04-032298-9 [2]
  9. ^ Vajravelu, K .; Ван Гордер (2013), Нелинейные явления потока и анализ гомотопии , Берлин и Пекин: Springer & Higher Education Press, ISBN 978-3-642-32102-3 [3]
  10. ^ Сюй, DL; Lin, ZL; Liao, SJ; Stiassnie, М. (2012), "О стационарном состоянии полностью резонансные прогрессивные волны в воде конечной глубины", журнал Fluid Mechanics , 710 : 379-418, Bibcode : 2012JFM ... 710..379X , DOI : 10,1017 /jfm.2012.370
  11. ^ Ляо, SJ (2013), «Действительно ли существуют пиковые уединенные волны на воде?», Коммуникации в нелинейной науке и численном моделировании , 19 (6): 1792–1821, arXiv : 1204.3354 , Bibcode : 2014CNSNS..19.1792L , doi : 10.1016 / j.cnsns.2013.09.042 , S2CID 119203215 
  12. ^ Abbasbandy, С. (2006), "Применение гомотопической методы анализа нелинейных уравнений , возникающие при передаче тепла", Физика Буква A , 360 (1): 109-113, Bibcode : 2006PhLA..360..109A , DOI : 10.1016 / j.physleta.2006.07.065
  13. ^ Чен, ЮМ; Лю, Дж. К. (2009), "Равномерно допустимое решение предельного цикла уравнения Дуффинга – Ван дер Поля", Mechanics Research Communications , 36 (7): 845–850, doi : 10.1016 / j.mechrescom.2009.06.001
  14. ^ Чжу, ИП (2006), "Точная и явное решение для оценки американских опционов", Количественные финансов , 6 (3): 229-242, DOI : 10,1080 / 14697680600699811 , S2CID 121851109 
  15. ^ Turkyilmazoglu, М. (2009), «Чисто аналитические решения сжимаемого потока пограничного слоя из - за пористой вращающегося диска с передачей тепла», Физика жидкостей , 21 (10): 106104-106104-12, Bibcode : 2009PhFl .. .21j6104T , DOI : 10,1063 / 1,3249752
  16. ↑ Пак, Сан Хён; Ким, Чон-Хун (2011), «Метод гомотопического анализа для ценообразования опционов при стохастической волатильности», Applied Mathematics Letters , 24 (10): 1740–1744, doi : 10.1016 / j.aml.2011.04.034
  17. ^ Мастроберардино, А. (2011), "Метод гомотопического анализа, применяемый к электрогидродинамическому потоку", Коммуник. Нелинейный. Sci. Нумер. Simulat. , 16 (7): 2730-2736, Bibcode : 2011CNSNS..16.2730M , DOI : 10.1016 / j.cnsns.2010.10.004
  18. ^ Нассар, Кристофер Дж .; Ревелли, Джозеф Ф .; Боуман, Роберт Дж. (2011), «Применение метода гомотопического анализа к уравнению Пуассона – Больцмана для полупроводниковых устройств», Commun Nonlinear Sci Numer Simulat , 16 (6): 2501–2512, Bibcode : 2011CNSNS..16.2501N , DOI : 10.1016 / j.cnsns.2010.09.015
  19. ^ Таджаддодианфар, Фарид (2017). «Нелинейная динамика резонаторов MEMS / NEMS: аналитическое решение методом гомотопического анализа». Микросистемные технологии . 23 (6): 1913–1926. DOI : 10.1007 / s00542-016-2947-7 . S2CID 113216381 . 
  20. ^ Таджаддодианфар, Фарид (март 2015). «О динамике бистабильных микро / нанорезонаторов: аналитическое решение и нелинейное поведение». Коммуникации в нелинейной науке и численном моделировании . 20 (3): 1078–1089. Bibcode : 2015CNSNS..20.1078T . DOI : 10.1016 / j.cnsns.2014.06.048 .
  21. ^ Таджаддодианфар, Фарид (январь 2016 г.). «Прогнозирование хаоса в дуговых микро-нанорезонаторах с электростатическим приводом: аналитический подход» . Коммуникации в нелинейной науке и численном моделировании . 30 (1–3): 182–195. DOI : 10.1016 / j.cnsns.2015.06.013 .

Внешние ссылки [ править ]

  • http://numericaltank.sjtu.edu.cn/BVPh.htm
  • http://numericaltank.sjtu.edu.cn/APO.htm