Условия Ренкина – Гюгонио

Схематическая диаграмма ситуации с ударной волной с указанием плотности , скорости и температуры для каждой области.${\displaystyle \rho }$${\displaystyle u}$${\displaystyle T}$

В ударной адиабате , называемая также условия скачка Ренкин-Гюгонио или отношения Ренкина-Гюгонио , описывает взаимосвязь между состояниями на оба сторонах ударной волны или волны горения ( дефлаграция или детонацию ) в одномерном потоке в жидкости или одномерная деформация в твердых телах. Они названы в честь работы, проделанной шотландским инженером и физиком Уильямом Джоном Маккорном Рэнкином ^[1] и французским инженером Пьером Анри Гюгонио . ^{[2] [3]}

В системе координат, движущейся вместе с разрывом, условия Ренкина – Гюгонио могут быть выражены как: ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{1}\,u_{1}&=\rho _{2}\,u_{2}\equiv m&&{\text{Conservation of mass}}\\\rho _{1}\,u_{1}^{2}+p_{1}&=\rho _{2}\,u_{2}^{2}+p_{2}&&{\text{Conservation of momentum}}\\h_{1}+{\frac {1}{2}}u_{1}^{2}&=h_{2}+{\frac {1}{2}}u_{2}^{2}&&{\text{Conservation of energy}}\end{aligned}}}$

где m - массовый расход на единицу площади, ρ ₁ и ρ ₂ - массовая плотность жидкости до и после волны, u ₁ и u ₂ - скорость жидкости до и после волны, p ₁ и p ₂ - давления в двух областях, а h ₁ и h ₂ - удельные (в расчете на единицу массы ) энтальпиив двух регионах. Если, кроме того, поток является реактивным, то уравнения сохранения видов требуют, чтобы

${\displaystyle \omega _{i,1}=\omega _{i,2}=0,\quad i=1,2,3,...N,\qquad {\text{Conservation of species}}}$

чтобы исчезнуть как до, так и после неоднородности. Здесь - скорость массового производства i- го вида из общего количества азота, участвующего в реакции. Сочетание сохранения массы и импульса дает нам${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\frac {p_{2}-p_{1}}{1/\rho _{2}-1/\rho _{1}}}=-m^{2}}$

который определяет прямую линию, известную как линия Рэлея, названная в честь лорда Рэлея , которая имеет отрицательный наклон (поскольку всегда положительный) в плоскости. Используя уравнения Ренкина – Гюгонио для сохранения массы и импульса, чтобы исключить u ₁ и u ₂ , уравнение сохранения энергии можно выразить как уравнение Гюгонио:${\displaystyle m^{2}}$${\displaystyle p-\rho ^{-1}}$

${\displaystyle h_{2}-h_{1}={\frac {1}{2}}\,\left({\frac {1}{\rho _{2}}}+{\frac {1}{\rho _{1}}}\right)\,(p_{2}-p_{1}).}$

Обратная плотность также может быть выражен как объем конкретного , . Наряду с этим необходимо указать соотношение между уравнениями состояния до и после.${\displaystyle v=1/\rho }$

${\displaystyle f(p_{1},\rho _{1},T_{1},Y_{i,1})=f(p_{2},\rho _{2},T_{2},Y_{i,2})}$

где - массовая доля вида. Наконец, считается , что уравнение теплотворного состояния известно, т. Е.${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle h=h(p,\rho ,Y_{i})}$

${\displaystyle h(p_{1},\rho _{1},Y_{i,1})=h(p_{2},\rho _{2},Y_{i,2}).}$

Упрощенные отношения Ренкина – Гюгонио ^[5] [ править ]

Следующие предположения сделаны для упрощения уравнений Ренкина – Гюгонио. Предполагается, что смесь подчиняется закону идеального газа , так что связь между уравнениями состояния на выходе и вверх по потоку может быть записана как

${\displaystyle {\frac {p_{2}}{\rho _{2}T_{2}}}={\frac {p_{1}}{\rho _{1}T_{1}}}={\frac {R}{\overline {W}}}}$

где - универсальная газовая постоянная, а средняя молекулярная масса считается постоянной (в противном случае она зависела бы от массовой доли всех частиц). Если предположить, что удельная теплоемкость при постоянном давлении также постоянна по всей длине волны, изменение энтальпий (теплотворное уравнение состояния) можно просто записать как${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\overline {W}}}$${\displaystyle {\overline {W}}}$${\displaystyle c_{p}}$

${\displaystyle h_{2}-h_{1}=-q+c_{p}(T_{2}-T_{1})}$

где первый член в приведенном выше выражении представляет количество тепла, выделяемого волной на единицу массы находящейся выше по потоку смеси, а второй член представляет собой ощутимый нагрев. Исключая температуру с помощью уравнения состояния и подставляя приведенное выше выражение для изменения энтальпий в уравнение Гюгонио, мы получаем уравнение Гюгонио, выраженное только в терминах давления и плотности,

${\displaystyle \left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right)\left({\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}-{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\rho _{2}}}+{\frac {1}{\rho _{1}}}\right)(p_{2}-p_{1})=q,}$

где - удельная теплоемкость . Кривая Гюгонио без тепловыделения ( ) часто называется Шоковой Гюгонио. Наряду с уравнением линии Рэлея это уравнение полностью определяет состояние системы. Эти два уравнения можно записать компактно, введя следующие безразмерные масштабы:${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle q=0}$

${\displaystyle {\tilde {p}}={\frac {p_{2}}{p_{1}}},\quad {\tilde {v}}={\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}},\quad \alpha ={\frac {q\rho _{1}}{p_{1}}},\quad \mu ={\frac {m^{2}}{p_{1}\rho _{1}}}.}$

Уравнение линии Рэлея и уравнение Гюгонио затем упрощается до

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\tilde {p}}-1}{{\tilde {v}}-1}}&=-\mu \\{\tilde {p}}&={\frac {[2\alpha +(\gamma +1)/(\gamma -1)]-{\tilde {v}}}{[(\gamma +1)/(\gamma -1)]{\tilde {v}}-1}}.\end{aligned}}}$

Учитывая условия выше по потоку, пересечение двух приведенных выше уравнений на плоскости определяет условия ниже по потоку. Если тепловыделения не происходит, например, ударные волны без химической реакции, то . Кривые Гюгонио асимптоты к линиям и , т. Е. Скачок давления на волне может принимать любые значения между ними , но удельное соотношение объемов ограничено интервалом (верхняя граница выводится для случая, поскольку давление не может принимать отрицательные значения). Условие Чепмена-Жуге , где Рэлея линия является касательной к кривой Гюгоньо.${\displaystyle {\tilde {p}}-{\tilde {v}}}$${\displaystyle \alpha =0}$${\displaystyle {\tilde {v}}=(\gamma -1)/(\gamma +1)}$${\displaystyle {\tilde {p}}=-(\gamma -1)/(\gamma +1)}$${\displaystyle 0\leq {\tilde {p}}<\infty }$${\displaystyle (\gamma -1)/(\gamma +1)\leq {\tilde {v}}\leq 2\alpha +(\gamma +1)/(\gamma -1)}$${\displaystyle {\tilde {p}}\rightarrow 0}$

Если (двухатомный газ без возбуждения колебательной моды), то интервал равен , другими словами, ударная волна может увеличить плотность не более чем в 6 раз. Для одноатомного газа , следовательно, отношение плотностей ограничено интервалом . Для двухатомных газов с возбужденной колебательной модой мы имеем ведущий интервал . В действительности отношение теплоемкости не является постоянным в ударной волне из-за диссоциации и ионизации молекул, но даже в этих случаях отношение плотностей в целом не превышает коэффициента . ^[6]${\displaystyle \gamma =1.4}$${\displaystyle 1/6\leq {\tilde {v}}\leq 2\alpha +6}$${\displaystyle \gamma =5/3}$${\displaystyle 1/4\leq {\tilde {v}}\leq 2\alpha +4}$${\displaystyle \gamma =9/7}$${\displaystyle 1/8\leq {\tilde {v}}\leq 2\alpha +8}$${\displaystyle 11-13}$

Вывод из уравнений Эйлера [ править ]

Рассмотрим газ в одномерном контейнере (например, в длинной тонкой трубке). Предположим, что жидкость невязкая (т. Е. Не проявляет эффектов вязкости, таких как, например, трение о стенки трубы). Кроме того, предположим, что теплопередача за счет теплопроводности или излучения отсутствует и что ускорением свободного падения можно пренебречь. Такая система может быть описана следующей системой законов сохранения , известной как одномерные уравнения Эйлера , которая в форме сохранения имеет вид:

${\displaystyle (\;1)\quad \quad {\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;\;=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\rho u\right)}$

${\displaystyle (\;2)\quad \quad {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho u)\,=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\rho u^{2}+p\right)}$

${\displaystyle (\;3)\quad \quad {\frac {\partial }{\partial t}}\left(E^{t}\right)=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[u\left(E^{t}+p\right)\right],}$

где

${\displaystyle \rho ,\,}$массовая плотность жидкости ,

${\displaystyle u,\,}$скорость жидкости ,

${\displaystyle e,\,}$удельная внутренняя энергия жидкости,

${\displaystyle p,\,}$давление жидкости , и

${\displaystyle E^{t}=\rho e+\rho {\frac {1}{2}}u^{2},\,}$- полная плотность энергии жидкости, [Дж / м ³ ], а e - ее удельная внутренняя энергия.

Предположим далее, что газ калорически идеален и, следовательно, политропное уравнение состояния простой формы

${\displaystyle (\;4)\quad \quad p=\left(\gamma -1\right)\rho e,}$

где - постоянное соотношение удельных теплоемкостей . Эта величина также появляется как показатель политропы политропного процесса, описываемого формулой${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle c_{p}/c_{v}}$

${\displaystyle (\;5)\quad \quad {\frac {p}{\rho ^{\gamma }}}={\text{constant}}.}$

Подробный список уравнений сжимаемого потока и т. Д. См. В отчете NACA 1135 (1953). ^[7]

Примечание. Для идеального с точки зрения калорийности газа - это постоянная величина, а для идеального с точки зрения термической энергии - это функция от температуры. В последнем случае зависимость давления от плотности массы и внутренней энергии может отличаться от той, которая дается уравнением (4).${\displaystyle \gamma \,}$${\displaystyle \gamma \,}$

Условие перехода [ править ]

Прежде чем продолжить, необходимо ввести понятие условия скачка - условия, которое выполняется при разрыве или резком изменении.

Рассмотрим одномерную ситуацию, когда есть скачок скалярной сохраняющейся физической величины , который регулируется интегральным законом сохранения${\displaystyle w}$

${\displaystyle (\;6)\quad \quad {\frac {d}{dt}}\int _{x_{1}}^{x_{2}}w\,dx=-\left.f\left(w\right)\right|_{x_{1}}^{x_{2}}}$

для любого , , , и, следовательно, частичного дифференциального уравнения ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$

${\displaystyle (\;6')\quad \quad {\frac {\partial w}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}f\left(w\right)=0}$

для плавных решений. ^[8]

Пусть решение имеет скачок (или удар) при , где и , тогда${\displaystyle x=x_{s}(t)}$${\displaystyle x_{1}<x_{s}(t)}$${\displaystyle x_{s}(t)<x_{2}}$

${\displaystyle (\;7)\quad \quad {\frac {d}{dt}}\left[\left(\int _{x_{1}}^{x_{s}(t)}w\,dx+\int _{x_{s}(t)}^{x_{2}}w\,dx\right)\right]=-\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}f\left(w\right)\,dx}$

${\displaystyle (\;8)\quad \quad \therefore w_{1}{\frac {dx_{s}}{dt}}-w_{2}{\frac {dx_{s}}{dt}}+\int _{x_{1}}^{x_{s}(t)}w_{t}\,dx+\int _{x_{s}(t)}^{x_{2}}w_{t}\,dx=-\left.f\left(w\right)\right|_{x_{1}}^{x_{2}}}$

Нижние индексы 1 и 2 указывают условия непосредственно перед и сразу после перехода соответственно, то есть и .${\displaystyle w_{1}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}w\left(x_{s}-\epsilon \right)}$${\displaystyle w_{2}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}w\left(x_{s}+\epsilon \right)}$

Отметим, что для получения уравнения (8) мы использовали тот факт, что и .${\displaystyle dx_{1}/dt=0}$${\displaystyle dx_{2}/dt=0}$

Теперь пусть и , когда есть и , и в пределе${\displaystyle x_{1}\rightarrow x_{s}(t)-\epsilon }$${\displaystyle x_{2}\rightarrow x_{s}(t)+\epsilon }$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{s}(t)-\epsilon }w_{t}\,dx\rightarrow 0}$${\displaystyle \int _{x_{s}(t)+\epsilon }^{x_{2}}w_{t}\,dx\rightarrow 0}$

${\displaystyle (\;9)\quad \quad u_{s}\left(w_{1}-w_{2}\right)=f\left(w_{1}\right)-f\left(w_{2}\right),}$

где мы определили ( характеристику системы или скорость удара ), которая простым делением определяется как${\displaystyle u_{s}=dx_{s}(t)/dt\,}$

${\displaystyle (10)\quad \quad u_{s}={\frac {f\left(w_{1}\right)-f\left(w_{2}\right)}{w_{1}-w_{2}}}.}$

Уравнение (9) представляет собой условие скачка закона сохранения (6). Ситуация шока возникает в системе, где ее характеристики пересекаются, и в этих условиях требование единственного однозначного решения состоит в том, чтобы решение удовлетворяло условию допустимости или условию энтропии . Для физически реальных приложений это означает, что решение должно удовлетворять условию энтропии Лакса

${\displaystyle (11)\quad \quad f^{\prime }\left(w_{1}\right)>u_{s}>f^{\prime }\left(w_{2}\right),}$

где и представляют собой характеристические скорости на входе и выходе соответственно.${\displaystyle f^{\prime }\left(w_{1}\right)}$${\displaystyle f^{\prime }\left(w_{2}\right)}$

Состояние шока [ править ]

В случае гиперболического закона сохранения (6) мы видели, что скорость скачка уплотнения может быть получена простым делением. Однако для одномерных уравнений Эйлера (1), (2) и (3) у нас есть векторная переменная состояния, и условия скачка становятся${\displaystyle {\begin{bmatrix}\rho &\rho u&E\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$

${\displaystyle (12)\quad \quad \quad \quad \;u_{s}\left(\rho _{2}-\rho _{1}\right)=\rho _{2}u_{2}-\rho _{1}u_{1}}$

${\displaystyle (13)\quad \quad \;u_{s}\left(\rho _{2}u_{2}-\rho _{1}u_{1}\right)=\left(\rho _{2}u_{2}^{2}+p_{2}\right)-\left(\rho _{1}u_{1}^{2}+p_{1}\right)}$

${\displaystyle (14)\quad \quad u_{s}\left(E_{2}-E_{1}\right)=\left[\rho _{2}u_{2}\left(e_{2}+{\frac {1}{2}}u_{2}^{2}+{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}\right)\right]-\left[\rho _{1}u_{1}\left(e_{1}+{\frac {1}{2}}u_{1}^{2}+{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}\right)\right].}$

Уравнения (12), (13) и (14) известны как условия Ренкина – Гюгонио для уравнений Эйлера и выводятся путем применения законов сохранения в интегральной форме для контрольного объема, включающего скачок уплотнения. В этой ситуации нельзя получить простым делением. Тем не менее, можно показать путем преобразования проблемы в системе , движущейся координатной (параметр , , чтобы удалить ) и некоторые алгебраические манипуляции ( с участием устранение из преобразованного уравнения (13) , используя преобразованное уравнение (12)), что скорость удара определяется выражением${\displaystyle u_{s}}$${\displaystyle u_{s}':=u_{s}-u_{1}}$${\displaystyle u'_{1}:=0}$${\displaystyle u'_{2}:=u_{2}-u_{1}}$${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle u'_{2}}$

${\displaystyle (15)\quad \quad u_{s}=u_{1}+c_{1}{\sqrt {1+{\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}-1\right)}},}$

где - скорость звука в жидкости на входе в поток. ^{[9] [10] [11] [12] [13] [14]}${\displaystyle c_{1}={\sqrt {\gamma p_{1}/\rho _{1}}}}$

Ударная волна Гюгонио и линия Рэлея в твердых телах [ править ]

Для ударов в твердых телах выражение в замкнутой форме, такое как уравнение (15), не может быть получено из первых принципов. Вместо этого экспериментальные наблюдения ^[15] показывают, что вместо этого можно использовать линейное соотношение ^[16] (называемое ударным гюгонио в плоскости u _s - u _p ), которое имеет вид

${\displaystyle u_{s}=c_{0}+s\,u_{p}=c_{0}+s\,u_{2}}$

где c ₀ - объемная скорость звука в материале (при одноосном сжатии), s - параметр (наклон ударной волны Гюгонио), полученный из подгонки к экспериментальным данным, а u _p = u ₂ - скорость частицы внутри сжатого область за фронтом ударной волны.

Вышеупомянутое соотношение в сочетании с уравнениями Гюгонио для сохранения массы и импульса можно использовать для определения ударной волны Гюгонио в плоскости p - v , где v - удельный объем (на единицу массы): ^[17]

${\displaystyle p_{2}-p_{1}={\frac {c_{0}^{2}\,\rho _{1}\,\rho _{2}\,\left(\rho _{2}-\rho _{1}\right)}{\left[\rho _{2}-s\left(\rho _{2}-\rho _{1}\right)\right]^{2}}}={\frac {c_{0}^{2}\,\left(v_{1}-v_{2}\right)}{\left[v_{1}-s\left(v_{1}-v_{2}\right)\right]^{2}}}\,.}$

Альтернативные уравнения состояния, такие как уравнение состояния Ми – Грюнайзена, также могут использоваться вместо приведенного выше уравнения.

Ударная волна Гюгонио описывает геометрическое место всех возможных термодинамических состояний, в которых материал может существовать за ударной волной, спроецированной на двумерную плоскость состояния-состояния. Следовательно, это набор состояний равновесия, и он не представляет конкретно путь, по которому материал претерпевает преобразование.

Слабые удары являются изэнтропическими, и эта изоэнтропа представляет собой путь, по которому материал нагружается от начального до конечного состояния волной сжатия с сходящимися характеристиками. В случае слабых толчков Гюгонио, следовательно, упадет прямо на изэнтропу, и его можно будет использовать непосредственно в качестве эквивалентного пути. В случае сильного толчка мы больше не можем делать это упрощение напрямую. Однако для инженерных расчетов считается, что изэнтропа достаточно близка к Гюгонио, чтобы можно было сделать такое же предположение.

Если Гюгонио представляет собой приблизительно путь нагружения между состояниями для "эквивалентной" волны сжатия, то условия скачка для пути ударного нагружения можно определить, проведя прямую линию между начальным и конечным состояниями. Эта линия называется линией Рэлея и имеет следующее уравнение:

${\displaystyle p_{2}-p_{1}=u_{s}^{2}\left(\rho _{1}-{\frac {\rho _{1}^{2}}{\rho _{2}}}\right)\,}$

Предел упругости Гюгонио [ править ]

Большинство твердых материалов при сильных ударах подвергаются пластической деформации. Точка на скачке Гюгонио, в которой материал переходит из чисто упругого состояния в упруго-пластическое состояние, называется пределом упругости Гюгонио (HEL), а давление, при котором происходит этот переход, обозначается p _HEL . Значения p _HEL могут _{находиться в} диапазоне от 0,2 до 20 ГПа. Выше HEL материал теряет большую часть своей прочности на сдвиг и начинает вести себя как жидкость.

См. Также [ править ]

• Уравнения Эйлера (гидродинамика)
• Ударная полярная
• Уравнение состояния Ми – Грюнайзена.
• Викибук по инженерной акустике

Ссылки [ править ]