В гиперболической геометрии «закон косинусов» - это пара теорем, связывающих стороны и углы треугольников на гиперболической плоскости , аналогичных плоскому закону косинусов из плоской тригонометрии или сферическому закону косинусов в сферической тригонометрии . [1] [2] [3] Это также может быть связано с формулой сложения релятивистских скоростей . [4] [5] [6]
История
Описывая соотношения гиперболической геометрии, [7] [8] [9] [10] Франц Тауринус (1826 г.) показал, что сферический закон косинусов может быть связан со сферами мнимого радиуса, таким образом он пришел к гиперболическому закону косинусы в виде: [11]
который также показал Николай Лобачевский (1830 г.): [12]
Фердинанд Миндинг (1840 г.) дал это в отношении поверхностей постоянной отрицательной кривизны: [13]
как и Дельфино Кодацци (1857): [14]
Связь с теорией относительности с использованием быстроты была показана Арнольдом Зоммерфельдом (1909 г.) [15] и Владимиром Варичаком (1910 г.). [16]
Гиперболические законы косинусов
Возьмем гиперболическое плоскость которого гауссова кривизна является. Учитывая гиперболический треугольник с углами и длина стороны , , а также , выполняются следующие два правила. Первый - аналог евклидова закона косинусов, выражающий длину одной стороны через две другие и угол между ними:
( 1 )
Второй закон не имеет евклидова аналога, поскольку он выражает тот факт, что длины сторон гиперболического треугольника определяются внутренними углами:
Кристиан Хаузель (стр. 8) указывает, что гиперболический закон косинусов подразумевает угол параллельности в случае идеального гиперболического треугольника: [17]
- Когда , то есть когда вершина «A» отклоняется на бесконечность, а стороны «BA» и «CA» «параллельны», первый член равен 1; предположим дополнительно, что чтобы а также . Угол в точке «B» принимает значение β, определяемое формулой ; этот угол позже был назван «углом параллельности», и Лобачевский обозначил его как «F (a)» или Π («a»).
Гиперболический закон Гаверсинов
В случаях, когда «a / k» мало и решается для, числовая точность стандартной формы гиперболического закона косинусов будет падать из-за ошибок округления , точно по той же причине, что и в сферическом законе косинусов . В этом случае может оказаться полезной гиперболическая версия закона гаверсинусов :
Релятивистское сложение скоростей по гиперболическому закону косинусов
Параметр в ( 1 ), и используя гиперболические тождества в терминах гиперболического тангенса , можно записать гиперболический закон косинусов:
( 2 )
Для сравнения, сложение скоростей формулы из специальной теории относительности для й и у-направлениях, а также под произвольным углом, где v - относительная скорость между двумя инерциальными системами отсчета , u - скорость другого объекта или системы отсчета, а c - скорость света , определяется по формуле [4] [18]
Оказывается, этот результат соответствует гиперболическому закону косинусов - отождествляя с релятивистской быстротой , уравнения в ( 2 ) принимают вид: [16] [5] [6]
Смотрите также
- Гиперболический закон синусов
- Тригонометрия гиперболического треугольника
- История преобразований Лоренца
Рекомендации
- ^ Андерсон, Джеймс У. (2005). Гиперболическая геометрия (2-е изд.). Лондон: Спрингер. ISBN 1-85233-934-9.
- ^ Майлз Рид и Балаж Сендрёи (2005) «Геометрия и топология», §3.10 Гиперболические треугольники и триггеры, Cambridge University Press , ISBN 0-521-61325-6 , MR2194744 .
- ^ Рейман, Иштван (1999). Geometria és határterületei . Szalay Könyvkiadó és Kereskedőház Kft. ISBN 978-963-237-012-5.
- ^ а б Паули, Вольфганг (1921), «Die Relativitätstheorie» , Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften , 5 (2): 539–776
На английском: Паули, В. (1981) [1921]. Теория относительности . Фундаментальные теории физики . 165 . Dover Publications. ISBN 0-486-64152-X. - ^ a b Барретт, Дж. Ф. (2006), Гиперболическая теория относительности arXiv : 1102.0462
- ^ a b Mathpages: состав скорости и скорость
- ^ Бонола, Р. (1912). Неевклидова геометрия: критическое и историческое исследование ее развития . Чикаго: Открытый суд.
- ^ Bonola (1912), стр. 79 для Тельца; п. 89 для Лобачевского; п. 137 для Minding
- ^ Грей, Дж. (1979). «Неевклидова геометрия - переосмысление» . Historia Mathematica . 6 (3): 236–258. DOI : 10.1016 / 0315-0860 (79) 90124-1 .
- ^ Грей (1979), стр. 242 для Тельца; п. 244 для Лобачевского; п. 246 для Minding
- ^ Таурин, Франц Адольф (1826). Geometriae prima elementa. Recensuit et novas наблюдения прилагательное . Кёльн: Бахем. п. 66.
- ^ Лобачевский, Н. (1898) [1830]. "Ueber die Anfangsgründe der Geometrie". In Engel, F .; Штекель, П. (ред.). Zwei geometrische Abhandlungen . Лейпциг: Тойбнер. стр. 21 -65.
- ^ Миндинг, Ф. (1840). "Beiträge zur Theorie der kürzesten Linien auf krummen Flächen" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 20 : 324.
- ^ Кодацци, Д. (1857). "Intorno all superficie le quali hanno costante il prodotto de due raggi di curvatura" . Аня. Sci. Мат. Fis . 8 : 351–354.
- ^ Зоммерфельд, А. (1909), "Uber die Zusammensetzung der Geschwindigkeiten in der Relativtheorie" [перевод из Wikisource: О составе скоростей в теории относительности ], Verh. Der DPG , 21 : 577–582
- ^ а б Варичак, Владимир (1912), [ О неевклидовой интерпретации теории относительности ], Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 21 : 103–127
- ^ Houzel, Кристиан (1992) "Рождение неевклидовой геометрии",страницах 3 до 21 в «1830-1930: Век геометрии», Lecture Notes в физике # 402, Springer-VerlagISBN 3-540-55408-4 .
- ^ Паули (1921), стр. 561
Внешние ссылки
- Неевклидова геометрия, Math Wiki в TU Berlin