Страница защищена ожидающими изменениями
Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлено с мнимой оси )
Перейти к навигации Перейти к поиску

«Мнимые числа» перенаправляются сюда. Чтобы узнать об EP от Мэна 2013 года, см. Imaginary Numbers (EP) .
... (повторяет узор
из синей области)
я −3 = я
я −2 = −1
я −1 = - я
я 0 = 1
я 1 = я
я 2 = -1
я 3 = - я
я 4 = 1
я 5 = я
я 6 = -1
i n = i m, где m ≡ n mod 4

Мнимое число является комплексным числом , которое может быть записано в виде действительное число , умноженное на мнимую единицу я , [примечание 1] , которая определяется его свойством я 2 = -1 . [1] [2] квадрат мнимого числа би это - Ь 2 . Например, 5 i - мнимое число, а его квадрат равен −25 . По определению ноль считается как действительным, так и мнимым. [3]

Первоначально введенная в 17 веке Рене Декартом [4] как уничижительный термин и считавшаяся вымышленной или бесполезной, эта концепция получила широкое признание после работ Леонарда Эйлера (в 18 веке), Августена-Луи Коши и Карла Фридриха Гаусса ( в начале 19 века).

Мнимое число bi может быть добавлено к действительному числу a для образования комплексного числа формы a + bi , где действительные числа a и b называются, соответственно, действительной и мнимой частью комплексного числа. [5] [примечание 2]

История [ править ]

Основная статья: История комплексных чисел
Иллюстрация комплексной плоскости. Мнимые числа отложены по вертикальной оси координат.

Хотя греческий математик и инженер Герой Александрийский отмечен как первый, кто придумал мнимые числа, [6] [7] именно Рафаэль Бомбелли первым установил правила умножения комплексных чисел в 1572 году. Эта концепция появилась в печати. ранее, например, в работе Джероламо Кардано . В то время мнимые числа и отрицательные числа были плохо поняты и рассматривались некоторыми как вымышленные или бесполезные, как когда-то был ноль. Многие другие математики не спешили использовать мнимые числа, в том числе Рене Декарт , который писал о них в своей «Геометрии», в которой термин « мнимые числа»использовался и имел унизительный характер. [8] [9] Использование мнимых чисел не было широко распространено до работ Леонарда Эйлера (1707–1783) и Карла Фридриха Гаусса (1777–1855). Геометрическое значение комплексных чисел как точек на плоскости было впервые описано Каспаром Весселем (1745–1818). [10]

В 1843 году Уильям Роуэн Гамильтон расширил идею оси мнимых чисел на плоскости до четырехмерного пространства воображаемых кватернионов, в котором три измерения аналогичны мнимым числам в комплексном поле.

Геометрическая интерпретация [ править ]

Поворот на 90 градусов в комплексной плоскости

Геометрически мнимые числа находятся на вертикальной оси плоскости комплексных чисел , что позволяет представлять их перпендикулярно действительной оси. Один из способов просмотра мнимых чисел - рассмотреть стандартную числовую линию, положительно увеличивающуюся по величине справа и отрицательно возрастающую по величине слева. В точке 0 на оси x можно нарисовать ось y с «положительным» направлением вверх; «положительные» мнимые числа затем увеличиваются по величине вверх, а «отрицательные» мнимые числа увеличиваются по величине вниз. Эта вертикальная ось часто называют «мнимой оси» и обозначается или ℑ .

В этом представлении умножение на  –1 соответствует повороту на 180 градусов относительно начала координат. Умножение на i соответствует повороту на 90 градусов в «положительном» направлении против часовой стрелки, а уравнение i 2 = −1 интерпретируется как говорящее о том, что если мы применим два поворота на 90 градусов относительно начала координат, конечный результат будет единичным. Вращение на 180 градусов. Обратите внимание, что поворот на 90 градусов в «отрицательном» (по часовой стрелке) направлении также удовлетворяет этой интерпретации, которая отражает тот факт, что - i также решает уравнение x 2 = −1. В общем, умножение на комплексное число аналогично вращению вокруг начала координат на аргумент комплексного числа с последующим масштабированием по его величине.

Квадратные корни отрицательных чисел [ править ]

Уход должен быть использован при работе с мнимыми числами, которые выражаются в качестве главных значений этих квадратных корней из отрицательных чисел : [11]

Иногда это записывается как:

Ошибка происходит равенство не выполняется , когда переменные не соответствующим образом ограничены. В этом случае равенство не выполняется, поскольку оба числа отрицательны, что может быть продемонстрировано следующим образом:

где и x, и y - неотрицательные действительные числа.

См. Также [ править ]

  • Сложная плоскость
  • формула де Муавра
  • Воображаемая единица
  • Кватернион
  • Октонион
  • -1

Заметки [ править ]

  1. ^ j обычно используется в инженерном контексте, где i имеет другие значения (например, электрический ток)
  2. ^ И действительная, и мнимая части определены как действительные числа.

Ссылки [ править ]

  1. ^ Уно Ингард, К. (1988). "Глава 2". Основы волн и колебаний . Издательство Кембриджского университета. п. 38. ISBN 0-521-33957-X.
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Воображаемое число» . mathworld.wolfram.com . Проверено 10 августа 2020 .
  3. ^ Синха, KC (2008). Учебник математики XI класса (второе изд.). Публикации Растоги. п. 11.2. ISBN 978-81-7133-912-9.
  4. ^ Джаквинта, Мариано; Модика, Джузеппе (2004). Математический анализ: приближение и дискретные процессы (иллюстрировано ред.). Springer Science & Business Media. п. 121. ISBN. 978-0-8176-4337-9. Выдержка со страницы 121
  5. ^ Aufmann, Ричард; Баркер, Вернон С.; Нация, Ричард (2009). Колледж Алгебра: Расширенное издание (6-е изд.). Cengage Learning. п. 66. ISBN 1-4390-4379-5.
  6. ^ Hargittai, Иштван (1992). Пятикратная симметрия (2-е изд.). World Scientific. п. 153. ISBN. 981-02-0600-3.
  7. ^ Рой, Стивен Кэмпбелл (2007). Комплексные числа: моделирование решетки и приложения дзета-функции . Хорвуд. п. 1. ISBN 1-904275-25-7.
  8. ↑ Декарт, Рене , Discourse de la Méthode ... (Лейден, (Нидерланды): Jan Maire, 1637), прилагаемая книга: La Géométrie , книга третья, стр. 380. Со страницы 380: "Au rest tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque Equation; mais qu 'il n'y a qu'on en puisse Imaginer trois en celle cy, qui соответствует a celles qu'on think, com encore qu'on en puisse imaginer trois en celle cy, x 3- 6xx + 13x - 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une reelle, qui est 2, & pour les deux autres, quoy qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d 'explorer, on ne sçauroit les rendre autres qu'imaginaires ". (Более того, истинные корни, а также ложные [корни] не всегда реальны; а иногда только мнимые [количества]; то есть всегда можно вообразить столько из них в каждом уравнении, сколько я сказал; но иногда нет количества, которое соответствует тому, что вы себе представляете, точно так же, как если бы можно вообразить три из них в этом [уравнении], x 3 - 6xx + 13x - 10 = 0, однако только один из них реален, а это 2, и что касается двух других, хотя одно увеличивает, или уменьшает, или умножает их так, как я только что объяснил, никто не сможет чтобы сделать их отличными от воображаемых [количествах].)
  9. ^ Мартинес, Альберт А. (2006), Отрицательная математика: как математические правила могут быть положительно согнуты , Принстон: Princeton University Press, ISBN 0-691-12309-8, обсуждает двусмысленность смысла в воображаемых выражениях в историческом контексте.
  10. ↑ Розенфельд, Борис Абрамович (1988). «Глава 10». История неевклидовой геометрии: эволюция концепции геометрического пространства . Springer. п. 382. ISBN. 0-387-96458-4.
  11. ^ Нахин, Пол Дж. (2010). Воображаемая сказка: история «i» [квадратный корень минус один] . Издательство Принстонского университета. п. 12. ISBN 978-1-4008-3029-9. Выдержка страницы 12

Библиография [ править ]

  • Нахин, Пол (1998). Воображаемая сказка: история квадратного корня -1 . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02795-1., объясняет многие применения воображаемых выражений.

Внешние ссылки [ править ]

  • Как можно показать, что мнимые числа действительно существуют? - статья, в которой обсуждается существование мнимых чисел.
  • Программа 5Numbers 4 Программа BBC Radio 4
  • Зачем использовать мнимые числа? Основное объяснение и использование мнимых чисел