Имманантный

В математике immanant из матрицы была определена Dudley Е. Литтлвудом и Арчибальд Read Ричардсон как обобщение понятий детерминанта и постоянного .

Пусть будет раздел о и пусть соответствующее неприводимое представление теоретико- символ из симметрической группы . Immanant из матрицы , связанной с характером определяется как выражение${\ displaystyle \ lambda = (\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ ldots)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ chi _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$${\ Displaystyle п \ раз п}$ ${\ displaystyle A = (a_ {ij})}$${\ displaystyle \ chi _ {\ lambda}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Imm} _ {\ lambda} (A) = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ chi _ {\ lambda} (\ sigma) a_ {1 \ sigma (1)} a_ {2 \ sigma (2)} \ cdots a_ {n \ sigma (n)}.}$

Примеры [ править ]

Детерминанта является частным случаем immanant, где является переменным характером , из S _п , определяемое соотношением перестановки .${\ displaystyle \ chi _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {sgn}}$

Перманент - это случай, когда - тривиальный символ , который тождественно равен 1.${\ displaystyle \ chi _ {\ lambda}}$

Например, для матриц существует три неприводимых представления , как показано в таблице символов:${\ displaystyle 3 \ times 3}$${\ displaystyle S_ {3}}$

${\ displaystyle S_ {3}}$	${\ displaystyle e}$	${\ Displaystyle (1 \ 2)}$	${\ Displaystyle (1 \ 2 \ 3)}$
${\ displaystyle \ chi _ {1}}$	1	1	1
${\displaystyle \chi _{2}}$	1	−1	1
${\displaystyle \chi _{3}}$	2	0	−1

Как указано выше, производит перманент и детерминант, но производит операцию, которая отображается следующим образом:${\displaystyle \chi _{1}}$${\displaystyle \chi _{2}}$${\displaystyle \chi _{3}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}\rightsquigarrow 2a_{11}a_{22}a_{33}-a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{21}a_{32}}$

Свойства [ править ]

Имманант разделяет несколько свойств с определителем и постоянным. В частности, имманант полилинейен по строкам и столбцам матрицы; и имманант инвариантен относительно перестановок строк или столбцов.

Литтлвуд и Ричардсон изучали связь имманантных функций с функциями Шура в теории представлений симметрической группы .

Ссылки [ править ]

• Д. Е. Литтлвуд ; А. Р. Ричардсон (1934). «Групповые характеры и алгебры» . Философские труды Королевского общества А . 233 (721–730): 99–124. DOI : 10,1098 / rsta.1934.0015 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Д.Е. Литтлвуд (1950). Теория характеров групп и матричных представлений групп (2-е изд.). Oxford Univ. Press (перепечатано AMS, 2006 г.). п. 81. CS1 maint: discouraged parameter (link)