Из Википедии, свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Нерешенная задача по математике :

Каждая ли жорданова кривая имеет вписанный квадрат?

(больше нерешенных задач по математике)
Пример: черная пунктирная кривая проходит через все углы нескольких синих квадратов.

Проблема вписанного квадрата , также известная как проблема квадратного колышка или гипотеза Теплица , является нерешенным вопросом в геометрии : каждая плоская простая замкнутая кривая содержит все четыре вершины некоторого квадрата ? Это верно, если кривая выпуклая или кусочно- гладкая, а также в других частных случаях. Проблема была предложена Отто Теплицем в 1911 году. [1] Некоторые ранние положительные результаты были получены Арнольдом Эмчем [2] и Львом Шнирельманом . [3] По состоянию на 2020 год, общий случай остается открытым. [4]

Формулировка проблемы [ править ]

Пусть C - жорданова кривая . Многоугольник P будет вписан в C , если все вершины Р принадлежит С . Задача с вписанным квадратом спрашивает:

Каждая ли жорданова кривая допускает вписанный квадрат?

Это не обязательно , что вершины квадрата появляются вдоль кривой в любом порядке.

Примеры [ править ]

Некоторые фигуры, такие как круги и квадраты , допускают бесконечно много вписанных квадратов. Если C - тупой треугольник, то в него вписан ровно один квадрат; прямоугольные треугольники допускают ровно два, а острые треугольники допускают ровно три. [5]

Решенные дела [ править ]

Заманчиво попытаться решить проблему вписанного квадрата, доказав, что специальный класс кривых с хорошим поведением всегда содержит вписанный квадрат, а затем аппроксимировать произвольную кривую последовательностью кривых с хорошим поведением и сделать вывод, что все еще существует вписанный квадрат как предел квадратов, вписанных в кривые последовательности. Одна из причин, по которой этот аргумент не был доведен до конца, заключается в том, что предел последовательности квадратов может быть одной точкой, а не квадратом. Тем не менее, сейчас известно, что во многих частных случаях кривых вписан квадрат. [6]

Кусочно-аналитические кривые [ править ]

Арнольд Эмч  ( 1916 ) показал, что кусочно- аналитические кривые всегда имеют вписанные квадраты. В особенности это верно для полигонов . Доказательство EMCH расценивает кривые проходимые середины из секущих отрезков , на кривой, параллельный заданную линию. Он показывает, что, когда эти кривые пересекаются с кривыми, созданными таким же образом для перпендикулярного семейства секущих, имеется нечетное количество пересечений. Следовательно, всегда существует хотя бы один перекресток, образующий центр ромба, вписанного в данную кривую. Непрерывно вращая две перпендикулярные линии на прямой угол, и применяя теорему о промежуточном значении , он показывает, что по крайней мере один из этих ромбов является квадратом. [6]

Локально монотонные кривые [ править ]

Стромквист доказал, что каждая локальная монотонная плоская простая кривая допускает вписанный квадрат. [7] Условие допуска состоит в том, что для любой точки p кривая C должна быть локально представлена ​​в виде графика функции y = f ( x ) .

В более точных терминах, для любого заданной точки р на С , существует окрестность U ( р ) и фиксированное направление п ( р ) (направление из « у Оу») , такие , что не хорды из C -в этих окрестностей - параллельно n ( p ) .

Локально монотонные кривые включают все типы многоугольников , все замкнутые выпуклые кривые и все кусочные кривые C 1 без каких-либо точек возврата .

Кривые без особых трапеций [ править ]

Еще более слабым условием на кривую, чем локальная монотонность, является то, что при некотором ε> 0 кривая не имеет вписанных специальных трапеций размера ε. Специальная трапеция - это равнобедренная трапеция с тремя равными сторонами, каждая из которых длиннее четвертой стороны, вписанная в кривую с порядком вершин, соответствующим порядку самой кривой по часовой стрелке. Его размер - это длина части кривой, которая проходит вокруг трех равных сторон. Если таких трапеций нет (или их четное количество), ограничивающий аргумент для общих кривых можно довести до конца, показывая, что кривые с этим свойством всегда имеют вписанный квадрат. [6]

Кривые в кольцах [ править ]

Если жорданова кривая вписана в кольцо , внешний радиус которого не более 1 + √ 2 раз превышает его внутренний радиус, и нарисована таким образом, что она отделяет внутреннюю окружность кольца от внешней окружности, то она содержит вписанный квадрат. В этом случае, если данная кривая аппроксимируется некоторой кривой с хорошим поведением, то любые большие квадраты, содержащие центр кольца и вписанные в аппроксимацию, топологически отделены от вписанных меньших квадратов, не содержащих центра. Предел последовательности больших квадратов снова должен быть большим квадратом, а не вырожденной точкой, поэтому можно использовать ограничивающий аргумент. [6]

Симметричные кривые [ править ]

Утвердительный ответ также известен для центрально-симметричных кривых, даже фракталов, таких как снежинка Коха , и кривых с отражательной симметрией поперек линии. [8]

Графики Липшица [ править ]

В 2017 году Теренс Тао опубликовал доказательство существования квадрата в кривых, образованных объединением графиков двух функций , каждая из которых имеет одинаковое значение на концах кривых и обе подчиняются условию непрерывности Липшица с Константа Липшица меньше единицы. Дао также сформулировал несколько связанных предположений. [9]

Варианты и обобщения [ править ]

Можно спросить, можно ли вписать другие формы в произвольную жорданову кривую. Известно , что для любого треугольника Т и кривой Жордана С , существует треугольник похож на Т и вписанный в C . [10] [11] Кроме того, множество вершин таких треугольников является плотным в С . [12] В частности, всегда есть вписанный равносторонний треугольник .

Также известно, что любая жорданова кривая допускает вписанный прямоугольник . В 2020 году Моралес и Вильянуэва охарактеризовали локально связанные плоские континуумы, допускающие по крайней мере один вписанный прямоугольник. [13] В 2020 году Джошуа Эван Грин и Эндрю Лобб доказал , что для каждой гладкой жордановой кривой C и прямоугольник R в евклидовой плоскости существует прямоугольник , похожий на R , вершины которых лежат на С . Это обобщает как существование прямоугольников (произвольной формы), так и существование квадратов на гладких кривых, что было известно со времен работы Шнирельмана (1944) . [4] [14]

Некоторые обобщения проблемы вписанных квадратов рассматривают вписанные многоугольники для кривых и даже более общие континуумы в многомерных евклидовых пространствах . Например, Stromquist доказал , что каждая непрерывная замкнутая кривая С в R п , удовлетворяющий «условие А» , что никакие две хорд С в подходящих окрестностях любой точки не являются перпендикулярными допускает вписанный четырехугольные с равными сторонами и равными диагоналями. [7] Этот класс кривых включает все кривые C 2 . Нильсен и Райт доказали, что любой симметричный континуум K в R n содержит много вписанных прямоугольников.[8] HW Guggenheimer доказалчто каждая гиперповерхность С 3 - диффеоморфен к сфере S н -1 содержит 2 п вершины правильного евклидова п -куба . [15]

Ссылки [ править ]

  1. ↑ Toeplitz, O. (1911), «Uber einige Aufgaben der Analysis situs», Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft (на немецком языке), 94 : 197
  2. ^ Emch, Арнольд (1916), "О некоторых свойствах медиан замкнутых непрерывных кривых , образованных аналитических дуг", Американский журнал математики , 38 (1): 6-18, DOI : 10,2307 / 2370541 , JSTOR 2370541 , МР 1506274  
  3. ^ Шнирельман, LG (1944), «О некоторых геометрических свойствах замкнутых кривых», Академия наук СССР I Московского Математического Obshchestvo. Успехи математических наук , 10 : 34–44, MR 0012531. 
  4. ^ a b Хартнетт, Кевин (25 июня 2020 г.), «Новая геометрическая перспектива решает старую проблему прямоугольников» , Quanta Magazine , получено 26 июня 2020 г.
  5. ^ Бейли, Герберт; DeTemple, Дуэйн (1998), "Квадраты вписанные углы и треугольники", Математика Magazine , 71 (4): 278-284, DOI : 10,2307 / 2690699 , JSTOR 2690699 
  6. ^ a b c d Матчке, Бенджамин (2014), «Обзор проблемы квадратного колышка», Уведомления Американского математического общества , 61 (4): 346–352, doi : 10.1090 / noti1100
  7. ^ Б Stromquist, Вальтер (1989), "Вписанные квадраты и квадратные , как четырехугольники в замкнутых кривых", Mathematika , 36 (2): 187-197, DOI : 10,1112 / S0025579300013061 , MR 1045781 
  8. ^ a b Нильсен, Марк Дж .; Райт, С. Е. (1995), "Прямоугольники , вписанные в симметричных континуумах", Geometriae Dedicata , 56 (3): 285-297, DOI : 10.1007 / BF01263570 , МР 1340790 
  9. ^ Тао, Теренс (2017), «Интеграционный подход к проблеме квадратного колышка Теплица», Forum of Mathematics , 5 : e30, doi : 10.1017 / fms.2017.23 , MR 3731730 ; см. также сообщение в блоге Тао о том же наборе результатов
  10. ^ Меерсон, Марк Д. (1980), "правильные треугольники и сплошные кривые", Fundamenta Mathematicae , 110 (1): 1-9, DOI : 10,4064 / FM-110-1-1-9 , МР 0600575 
  11. ^ Kronheimer, EH; Kronheimer, PB (1981), "О Трипос проблема", журнал Лондонского математического общества , вторая серия, 24 (1): 182-192, DOI : 10,1112 / jlms / s2-24.1.182 , MR 0623685 
  12. ^ Нильсен, Mark J. (1992), "Треугольники вписанные в простых замкнутых кривых", Geometriae Dedicata , 43 (3): 291-297, DOI : 10.1007 / BF00151519 , МР 1181760 
  13. ^ Моралес-Фуэнтес, Улисес; Вильянуэва-Сеговия, Кристина (2021 г.), «Прямоугольники, вписанные в локально соединенные континуальные плоскости», Труды по топологии , 58 : 37–43
  14. ^ Грин, Джошуа Эван; Лобб, Эндрю (2020-05-18), Проблема прямоугольного колышка , arXiv : 2005.09193
  15. ^ Guggenheimer, Х. (1965), "Конечные множества на кривых и поверхностей", Израиль Журнал математики , 3 (2): 104-112, DOI : 10.1007 / BF02760036 , МР 0188898 

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Клее, Виктор ; Вагон, Стэн (1991), «Вписанные квадраты», старые и новые нерешенные проблемы плоской геометрии и теории чисел , The Dolciani Mathematical Expositions, 11 , Cambridge University Press, стр. 58–65, 137–144, ISBN 978-0-88385-315-3

Внешние ссылки [ править ]

  • Марк Дж. Нильсен, Цифры, начертанные кривыми. Краткий обзор старой проблемы
  • Выписанные квадраты: Денн выступает в блоге Джордана Элленберга
  • Грант Сандерсон, Кого волнует топология? (Задача с вписанным прямоугольником) , 3Blue1Brown , YouTube a - видео, демонстрирующее топологическое решение упрощенной версии проблемы.