В алгебре подгруппа Ивахори - это подгруппа редуктивной алгебраической группы над неархимедовым локальным полем, которая аналогична подгруппе Бореля в алгебраической группе. Parahoric подгруппа является правильной подгруппой , которая является конечным объединением двойных классов на подгруппах Iwahori, так аналогичен параболической подгруппу алгебраической группы. Iwahori подгруппы имени Нагейоши Ивахори и «parahoric» является контаминация из «параболических» и «Iwahori». Ивахори и Мацумото (1965) изучали подгруппы Ивахори для групп Шевалле над p -адическими полями иБрюа и Титс (1972) распространили свою работу на более общие группы.
Грубо говоря, подгруппа Ивахори алгебраической группы G ( K ) для локального поля K с целыми числами O и полем вычетов k является прообразом в G ( O ) борелевской подгруппы группы G ( k ).
Редуктивная группа над локальным полем имеет систему Титса ( B , N ), где B парахорическая группа, а группа Вейля системы Титса является аффинной группой Кокстера .
Определение
Точнее, Ивахори и парахорические подгруппы могут быть описаны с помощью теории аффинных построек Титса . (Приведенная) конструкция B ( G ) группы G допускает разбиение на фасеты . Когда G представляет квазипростые гранями являются симплексами и разложение фасета дает B ( G ) структуру симплициальному комплекса ; в общем, фасеты являются полисимплексами, то есть продуктами симплексов. Грани максимальной размерности называются нишами здания.
Когда G является полупростым и просто соединен , то parahoric подгруппа по определению стабилизаторы в G из фаски, а подгруппы Iwahori по определению стабилизаторы ниши. Если G не удовлетворяет этим гипотезам, можно дать аналогичные определения, но с техническими сложностями.
Когда G полупроста, но не обязательно односвязна, стабилизатор фасеты слишком велик, и парахорика определяется как некоторая подгруппа конечного индекса стабилизатора. Стабилизатор может быть наделен канонической структурой O -группы, а подгруппа конечного индекса, то есть парахорика, по определению является O- точками алгебраической компоненты связности этой O- группы. Здесь важно работать с компонентом алгебраической связности, а не с компонентом топологической связности, потому что неархимедово локальное поле полностью отключено .
Когда G произвольная редуктивная группа, один использует предыдущую конструкцию , но вместо этого берет стабилизатор в подгруппе G , состоящей из элементов, образ при любом характере из G является неотъемлемой частью.
Примеры
- Максимальные парахорические подгруппы в GL n ( K ) являются стабилизаторами O- решеток в K n . В частности, GL n ( O ) - максимальная парахорика. Каждая максимальная парахорика группы GL n ( K ) сопряжена с GL n ( O ). Подгруппы Ивахори сопряжены с подгруппой I матриц в GL n ( O ), которые сводятся к верхнетреугольной матрице в GL n ( k ), где k - поле вычетов O ; парахорические подгруппы - это все группы между I и GL n ( O ), которые взаимно однозначно отображаются в параболические сугруппы GL n ( k ), содержащие верхнетреугольные матрицы.
- Аналогично, максимальные парахорические подгруппы в SL n ( K ) являются стабилизаторами O-решеток в K n , а SL n ( O ) является максимальной парахорикой. Однако, в отличие от GL n ( K ), SL n ( K ) имеет n классов сопряженных максимальных парахорик.
Рекомендации
- Bruhat, F .; Титс, Жак (1972), "Groupes réductifs sur un corps local" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 41 : 5–251, doi : 10.1007 / bf02715544 , ISSN 1618-1913 , MR 0327923 , S2CID 125864274
- Bruhat, F .; Титс, Жак (1984), "Groupes réductifs sur un corps local II. Schémas en groupes. Existence d'une donnée radicielle valuée" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 60 : 5–184, doi : 10.1007 / BF02700560 , ISSN 1618 -1913 , Руководство по ремонту 0756316 , S2CID 122178785
- Bruhat, F .; Сиськи Жак (1984), "Schemas ан Groupes и др immeubles де Groupes Classiques сюр ип корпуса местный" , Бюллетень де ла Сосьете Mathematique де Франс , 112 : 259-301, DOI : 10,24033 / bsmf.2006 , MR 0788969
- Iwahori, N .; Мацумото, Х. (1965), "О некоторых разложениях Брюа и структуре колец Гекке p-адических групп Шевалле" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 25 (25): 5–48, doi : 10.1007 / BF02684396 , ISSN 1618-1913 , Руководство 0185016 , S2CID 4591855
- Титс, Жак (1979), "Редуктивные группы над локальными полями" (PDF) , автоморфные формы, представления и L-функции (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), часть 1 , Proc. Симпозиумы. Чистая математика, XXXIII , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 29–69, MR 0546588