Функция Джека

В математике , то функция Jack является обобщением полинома Джека , введенной Генри Джек . Полином Джек является однородным , симметричным многочленом , обобщающий Шура и зональных многочлены, и в своей очереди , обобщен полиномами Heckman-Опдаме и многочлены Макдональда .

Определение [ править ]

Функция Джек из целого раздела , параметр и неопределенное множество аргументов может быть рекурсивно определена следующим образом :${\ Displaystyle J _ {\ каппа} ^ {(\ альфа)} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {m})}$ ${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {m}}$

Для m = 1

${\ displaystyle J_ {k} ^ {(\ alpha)} (x_ {1}) = x_ {1} ^ {k} (1+ \ alpha) \ cdots (1+ (k-1) \ alpha)}$

Для m > 1

${\ displaystyle J _ {\ kappa} ^ {(\ alpha)} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {m}) = \ sum _ {\ mu} J _ {\ mu} ^ {( \ alpha)} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {m-1}) x_ {m} ^ {| \ kappa / \ mu |} \ beta _ {\ kappa \ mu},}$

где суммирование ведется по всем разбиениям, таким, что косое разбиение представляет собой горизонтальную полосу , а именно${\ displaystyle \ mu}$ ${\displaystyle \kappa /\mu }$

${\displaystyle \kappa _{1}\geq \mu _{1}\geq \kappa _{2}\geq \mu _{2}\geq \cdots \geq \kappa _{n-1}\geq \mu _{n-1}\geq \kappa _{n}}$( должно быть равно нулю или иначе ) и${\displaystyle \mu _{n}}$${\displaystyle J_{\mu }(x_{1},\ldots ,x_{n-1})=0}$

${\displaystyle \beta _{\kappa \mu }={\frac {\prod _{(i,j)\in \kappa }B_{\kappa \mu }^{\kappa }(i,j)}{\prod _{(i,j)\in \mu }B_{\kappa \mu }^{\mu }(i,j)}},}$

где равно, если и в противном случае. Выражения и относятся к сопряженным разбиениям и соответственно. Обозначение означает, что произведение берется по всем координатам ящиков на диаграмме Юнга разбиения .${\displaystyle B_{\kappa \mu }^{\nu }(i,j)}$${\displaystyle \kappa _{j}'-i+\alpha (\kappa _{i}-j+1)}$${\displaystyle \kappa _{j}'=\mu _{j}'}$${\displaystyle \kappa _{j}'-i+1+\alpha (\kappa _{i}-j)}$${\displaystyle \kappa '}$${\displaystyle \mu '}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle (i,j)\in \kappa }$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle \kappa }$

Комбинаторная формула [ править ]

В 1997 году Ф. Кноп и С. Сахи ^[1] дал чисто комбинаторную формулу для полиномов Джека в п переменных:${\displaystyle J_{\mu }^{(\alpha )}}$

${\displaystyle J_{\mu }^{(\alpha )}=\sum _{T}d_{T}(\alpha )\prod _{s\in T}x_{T(s)}.}$

Сумма берется по всем допустимым таблицам формы и формы.${\displaystyle \lambda ,}$

${\displaystyle d_{T}(\alpha )=\prod _{s\in T{\text{ critical}}}d_{\lambda }(\alpha )(s)}$

с

${\displaystyle d_{\lambda }(\alpha )(s)=\alpha (a_{\lambda }(s)+1)+(l_{\lambda }(s)+1).}$

Допустимая таблица формы является заполнение диаграммы Юнга с номерами 1,2, ..., п такое , что для любой коробки ( я , J ) в таблицы,${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

• ${\displaystyle T(i,j)\neq T(i',j)}$ в любое время ${\displaystyle i'>i.}$
• ${\displaystyle T(i,j)\neq T(i,j-1)}$когда и${\displaystyle j>1}$${\displaystyle i'<i.}$

Коробка является критической для таблицы Т , если и${\displaystyle s=(i,j)\in \lambda }$${\displaystyle j>1}$${\displaystyle T(i,j)=T(i,j-1).}$

Этот результат можно рассматривать как частный случай более общей комбинаторной формулы для многочленов Макдональда .

C нормализация [ править ]

Функции Джека образуют ортогональный базис в пространстве симметричных многочленов со скалярным произведением:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{[0,2\pi ]^{n}}f\left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right){\overline {g\left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right)}}\prod _{1\leq j<k\leq n}\left|e^{i\theta _{j}}-e^{i\theta _{k}}\right|^{\frac {2}{\alpha }}d\theta _{1}\cdots d\theta _{n}}$

Нормализация не влияет на это свойство ортогональности. Определенная выше нормализация обычно называется J- нормализацией. С нормализацией определяются как

${\displaystyle C_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {\alpha ^{|\kappa |}(|\kappa |)!}{j_{\kappa }}}J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

куда

${\displaystyle j_{\kappa }=\prod _{(i,j)\in \kappa }\left(\kappa _{j}'-i+\alpha \left(\kappa _{i}-j+1\right)\right)\left(\kappa _{j}'-i+1+\alpha \left(\kappa _{i}-j\right)\right).}$

For часто обозначают и называют Зональным многочленом .${\displaystyle \alpha =2,C_{\kappa }^{(2)}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle C_{\kappa }(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

P нормализация [ править ]

Р нормировка задается тождеством , где ${\displaystyle J_{\lambda }=H'_{\lambda }P_{\lambda }}$

${\displaystyle H'_{\lambda }=\prod _{s\in \lambda }(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+1)}$

а и обозначают длину руки и ноги соответственно. Следовательно, для - обычная функция Шура.${\displaystyle a_{\lambda }}$${\displaystyle l_{\lambda }}$${\displaystyle \alpha =1,P_{\lambda }}$

Подобно полиномам Шура, может быть выражено как сумма по таблицам Юнга. Однако необходимо добавить к каждой таблице дополнительный вес, зависящий от параметра .${\displaystyle P_{\lambda }}$${\displaystyle \alpha }$

Таким образом, формула ^[2] для функции Джека имеет вид${\displaystyle P_{\lambda }}$

${\displaystyle P_{\lambda }=\sum _{T}\psi _{T}(\alpha )\prod _{s\in \lambda }x_{T(s)}}$

где сумма берется по всем из таблиц формы , а также обозначает запись в коробке с из T .${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle T(s)}$

Вес можно определить следующим образом: Каждая таблица формы T может быть интерпретирована как последовательность разделов. ${\displaystyle \psi _{T}(\alpha )}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \emptyset =\nu _{1}\to \nu _{2}\to \dots \to \nu _{n}=\lambda }$

где определяет перекос формы с содержанием I в T . потом ${\displaystyle \nu _{i+1}/\nu _{i}}$

${\displaystyle \psi _{T}(\alpha )=\prod _{i}\psi _{\nu _{i+1}/\nu _{i}}(\alpha )}$

куда

${\displaystyle \psi _{\lambda /\mu }(\alpha )=\prod _{s\in R_{\lambda /\mu }-C_{\lambda /\mu }}{\frac {(\alpha a_{\mu }(s)+l_{\mu }(s)+1)}{(\alpha a_{\mu }(s)+l_{\mu }(s)+\alpha )}}{\frac {(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+\alpha )}{(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+1)}}}$

и произведение берется только по всем ячейкам s в такой, что s имеет ячейку из той же строки, но не в том же столбце.${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda /\mu }$

Связь с полиномом Шура [ править ]

Когда функция Джека является скалярным множителем многочлена Шура${\displaystyle \alpha =1}$

${\displaystyle J_{\kappa }^{(1)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=H_{\kappa }s_{\kappa }(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$

куда

${\displaystyle H_{\kappa }=\prod _{(i,j)\in \kappa }h_{\kappa }(i,j)=\prod _{(i,j)\in \kappa }(\kappa _{i}+\kappa _{j}'-i-j+1)}$

это произведение всех длин крючков .${\displaystyle \kappa }$

Свойства [ править ]

Если в разделе больше частей, чем количество переменных, то функция Джека равна 0:

${\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=0,{\mbox{ if }}\kappa _{m+1}>0.}$

Матричный аргумент [ править ]

В некоторых текстах, особенно по теории случайных матриц, авторы сочли более удобным использовать матричный аргумент в функции Джека. Подключение простое. Если - матрица с собственными значениями , то ${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}}$

${\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(X)=J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}).}$

Ссылки [ править ]

• Деммель, Джеймс ; Коев, Пламена (2006), "Точная и эффективная оценка функций Шуры и Джека", математики вычислений , 75 (253): 223-239, CiteSeerX  10.1.1.134.5248 , DOI : 10,1090 / S0025-5718-05-01780 -1 , Руководство MR  2176397.
• Джек, Генри (1970–1971), «Класс симметричных многочленов с параметром», Труды Королевского общества Эдинбурга , Раздел A. Математика, 69 : 1–18, MR  0289462.
• Кноп, Фридрих; Сахи, Сиддхартха (19 марта 1997 г.), «Рекурсия и комбинаторная формула для многочленов Джека», Inventiones Mathematicae , 128 (1): 9–22, arXiv : q-alg / 9610016 , Bibcode : 1997InMat.128 .... 9K , DOI : 10.1007 / s002220050134
• Макдональд, И.Г. (1995), Симметричные функции и полиномы Холла , Oxford Mathematical Monographs (2-е изд.), Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853489-1, MR  1354144
• Стэнли, Ричард П. (1989), "Некоторые комбинаторные свойства симметричных функций Jack", Успехи математических наук , 77 (1): 76-115, DOI : 10,1016 / 0001-8708 (89) 90015-7 , MR  1014073.

Внешние ссылки [ править ]

• Программное обеспечение для вычисления функции Джека Пламена Коева и Алана Эдельмана.
• MOPS: многомерные ортогональные многочлены (символически) (пакет Maple)
• Документация SAGE для симметричных функций Джека