Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Внешний эллипсоид Лёвнера-Джона, содержащий набор точек в R 2

В математике , то Джон эллипсоида или Лёвнера-Джон эллипсоида E ( K ) , связанный с выпуклого тела K в п - мерное евклидово пространство R п может относиться к п - мерного эллипсоида максимального объема , содержащаяся в K или эллипсоида минимального объема этой содержит К .

Часто эллипсоид минимального объема называется эллипсоидом Лёвнера , а эллипсоид максимального объема - эллипсоидом Джона (хотя Джон работал с эллипсоидом минимального объема в своей оригинальной статье). [1] Эллипсоид с минимальным объемом описан как внешний эллипсоид Лёвнера-Джона, а эллипсоид с максимальным объемом как внутренний эллипсоид Лёвнера-Джона . [2]

Свойства [ править ]

Эллипсоид Джона назван в честь немецко-американского математика Фрица Джона , который в 1948 году доказал, что каждое выпуклое тело в R n содержит уникальный описанный эллипсоид минимального объема и что расширение этого эллипсоида в 1 / n раз содержится внутри выпуклого тело. [3]

Внутренний эллипсоид Лёвнера-Джона E ( K ) выпуклого тела K  ⊂  R n является замкнутым единичным шаром B в R n тогда и только тогда, когда B  ⊆  K и существует целое число m  ≥  n и для i  = 1. .., m , действительные числа c i  > 0 и единичные векторы u i  ∈  S n −1  ∩ ∂ K такие, что [4]

и для всех x  ∈  R n

Приложения [ править ]

Вычисление эллипсоидов Лёвнера-Джона находит применение в обнаружении столкновений с препятствиями для робототехнических систем, где расстояние между роботом и окружающей средой оценивается с использованием наилучшего соответствия эллипсоида. [5]

Он также имеет приложения для оптимизации портфеля с транзакционными издержками. [6]

См. Также [ править ]

  • Элипс Штейнера , частный случай внутреннего эллипсоида Лёвнера-Джона для треугольника.
  • Толстый объект , соответствующий радиусу самого большого шара.

Ссылки [ править ]

  1. ^ Гюлер, Осман; Гюртуна, Филиз (2012). «Симметрия выпуклых множеств и ее приложения к экстремальным эллипсоидам выпуклых тел» . Методы оптимизации и программное обеспечение . 27 (4–5): 735–759. DOI : 10.1080 / 10556788.2011.626037 . ISSN  1055-6788 .
  2. Перейти ↑ Ben-Tal, A. (2001). Лекции по современной выпуклой оптимизации: анализ, алгоритмы и инженерные приложения . Немировский, Аркадий Семенович. Филадельфия, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики. ISBN 0-89871-491-5. OCLC  46538510 .
  3. ^ Джон, Фриц. «Экстремальные задачи с неравенствами как побочными условиями». Исследования и эссе, представленные Р. Куранту в его 60-летие , 8 января 1948 г., 187–204 гг. Interscience Publishers, Inc., Нью-Йорк, Нью-Йорк, 1948. OCLC 1871554 MR 30135 
  4. Перейти ↑ Ball, Keith M. (1992). «Эллипсоиды максимального объема в выпуклых телах». Геом. Dedicata . 41 (2): 241–250. arXiv : math / 9201217 . DOI : 10.1007 / BF00182424 . ISSN 0046-5755 . 
  5. ^ Rimon, Элон; Бойд, Стивен (1997). «Обнаружение столкновений с препятствиями с использованием наилучшего соответствия эллипсоида». Журнал интеллектуальных и робототехнических систем . 18 (2): 105–126. DOI : 10,1023 / A: 1007960531949 .
  6. ^ Шэнь, Вэйвэй; Ван, июнь (2015). «Оптимизация портфеля с учетом транзакционных издержек с помощью быстрого приближения эллипсоида Лёвнера-Джона» (PDF) . Материалы Двадцать девятой конференции AAAI по искусственному интеллекту (AAAI2015) : 1854–1860 гг.
  • Гарднер, Ричард Дж. (2002). «Неравенство Брунна-Минковского» . Бык. Амер. Математика. Soc. (NS) . 39 (3): 355–405 (электронная). DOI : 10.1090 / S0273-0979-02-00941-2 . ISSN  0273-0979 .