лемма Каца
В эргодической теории лемма Каца , продемонстрированная математиком Марком Кацом в 1947 году, [1] представляет собой лемму , утверждающую, что в пространстве с мерой орбиты почти всех точек , содержащихся в множестве такого пространства, чья мера равна , возвращаются в пределах среднее время обратно пропорционально . [2]
Лемма расширяет то, что утверждает теорема о возвращении Пуанкаре , в которой показано, что точки возвращаются в бесконечное время. [3]
В физике динамическая система, развивающаяся во времени, может быть описана в фазовом пространстве , то есть путем эволюции во времени некоторых переменных. Если эти переменные ограничены , то есть имеют минимум и максимум, по теореме Лиувилля мера может быть определена в пространстве, имеющем пространство меры, где применяется лемма. Как следствие, при заданной конфигурации системы (точке фазового пространства) средний период возврата вблизи этой конфигурации (в окрестности точки) обратно пропорционален рассматриваемому размеру объема, окружающего конфигурацию.
Нормируя пространство мер к 1, оно становится пространством вероятностей , а мера его набора представляет вероятность нахождения системы в состояниях, представленных точками этого набора. В этом случае из леммы следует, что чем меньше вероятность оказаться в определенном состоянии (или близком к нему), тем больше время возврата вблизи этого состояния. [4]
В формулах, если это область, близкая к начальной точке, и является периодом возврата, его среднее значение равно:
