Кампил Евдоксов

График Кампила Евдоксова с a = 1

Kampyle Евдокс ( греческий : καμπύλη [γραμμή], что означает просто «изогнуто [линию], кривой») представляет собой кривой с декартовым уравнением из

${\ displaystyle x ^ {4} = a ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}),}$

из которых исключается решение x = y = 0.

Альтернативные параметризации [ править ]

В полярных координатах Кампиле имеет уравнение

${\ displaystyle r = a \ sec ^ {2} \ theta.}$

Эквивалентно, он имеет параметрическое представление как

${\displaystyle x=a\sec(t),\quad y=a\tan(t)\sec(t).}$

История [ править ]

Эта кривая четвертой степени была изучена греческим астрономом и математиком Евдоксом Книдским (ок. 408 г. до н.э. - ок. 347 г. до н.э.) в связи с классической проблемой удвоения куба .

Свойства [ править ]

Kampyle симметричен относительно осей x и y . Он пересекает ось x в точке (± a , 0). Он имеет точки перегиба в

${\displaystyle \left(\pm a{\frac {\sqrt {6}}{2}},\pm a{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}$

(четыре перегиба, по одному в каждом квадранте). Верхняя половина кривой асимптотична as , и на самом деле может быть записана как${\displaystyle x^{2}/a-a/2}$${\displaystyle x\to \infty }$

${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{a}}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}={\frac {x^{2}}{a}}-{\frac {a}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}\left({\frac {a}{2x}}\right)^{2n},}$

где

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}}$

это ое каталонское число .${\displaystyle n}$

См. Также [ править ]

• Список кривых

Ссылки [ править ]

• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых . Dover Publications. С.  141–142 . ISBN 0-486-60288-5.

Внешние ссылки [ править ]

• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Кампайл из Евдокса" , архив истории математики MacTutor , Сент-Эндрюсский университет.
• Вайсштейн, Эрик В. «Кампил Евдоксов» . MathWorld .