Квартика плоская кривая является плоской алгебраической кривой четвертой степени . Его можно определить двумерным уравнением четвертой степени:
где хотя бы один из A, B, C, D, E не равен нулю. Это уравнение имеет 15 констант. Однако его можно умножить на любую ненулевую константу без изменения кривой; таким образом, выбирая подходящую постоянную умножения, любой из коэффициентов может быть установлен на 1, оставляя только 14 констант. Следовательно, пространство кривых четвертой степени можно отождествить с вещественным проективным пространством . Из теоремы Крамера об алгебраических кривых также следует, что существует ровно одна кривая квартики, которая проходит через набор из 14 различных точек общего положения , поскольку квартика имеет 14 степеней свободы .
Кривая квартики может иметь максимум:
- Четыре связанных компонента
- Двадцать восемь двойных касательных
- Три обыкновенных двойных очка .
Можно также рассматривать кривые четвертой степени над другими полями (или даже кольцами ), например комплексными числами . Таким образом, каждый получает Риман поверхности , которые являются одномерными объектами на C , но являются двумерный над R . Примером может служить квартика Клейна . Кроме того, можно посмотреть на кривые на проективной плоскости , заданные однородными многочленами.
Примеры
Различные комбинации коэффициентов в приведенном выше уравнении приводят к различным важным семействам кривых, перечисленным ниже.
|
|
Кривая амперсанда
Бобовая кривая
Двустворчатая кривая
Изгиб лука
Крестообразная кривая с параметрами (b, a), обозначенными (1,1) красным цветом; (2,2) зеленым цветом; (3,3) синим цветом.
Крестообразная кривая с параметрами (b, a), обозначенными (1,1) красным цветом; (2,1) зеленым цветом; (3,1) синим цветом.
Клевер трехлистный в декартовых координатах
Клевер трехлистный в полярных координатах
Кривая амперсанда
Кривой амперсанд является квартика плоской кривой задается уравнением:
У него нулевой род , с тремя обычными двойными точками, все в реальной плоскости. [1]
Бобовая кривая
Кривой фасоли является квартика плоской кривой с уравнением:
Бобовая кривая имеет нулевой род. Он имеет одну особенность в начале координат, обычную тройную точку. [2] [3]
Двустворчатая кривая
Двустворчатый является квартика плоской кривой с уравнением
где a определяет размер кривой. Двустворчатый имеет только два узла как особенности и, следовательно, является кривой первого рода. [4]
Изгиб лука
Кривой носовой является квартика плоской кривой с уравнением:
Кривая изгиба имеет единственную тройную точку в x = 0, y = 0 и, следовательно, является рациональной кривой с нулевым родом. [5]
Крестообразная кривая
Кривой крестообразной , или кросс кривая является квартика плоской кривой задается уравнением
где a и b - два параметра, определяющие форму кривой. Крестообразная кривая связана стандартным квадратичным преобразованием x ↦ 1 / x , y ↦ 1 / y с эллипсом a 2 x 2 + b 2 y 2 = 1 и, следовательно, является рациональной плоской алгебраической кривой нулевого рода. Крестообразная кривая имеет три двойные точки в действительной проективной плоскости в точках x = 0 и y = 0, x = 0 и z = 0, и y = 0 и z = 0. [6]
Поскольку кривая является рациональной, ее можно параметризовать с помощью рациональных функций. Например, если a = 1 и b = 2, то
параметризует точки на кривой вне исключительных случаев, когда знаменатель равен нулю.
Обратная теорема Пифагора получаются из приведенного выше уравнения, подставляя й с AC , у с до н.э. , и каждый и б с компакт - диском , где , Б являются конечными точками гипотенузы прямоугольного треугольника ABC и D является основанием перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла C в гипотенузу:
Спирическая секция
Спирические сечения можно определить как бициркулярные кривые четвертой степени, симметричные относительно осей x и y . Спирические сечения входят в семейство торических сечений и включают семейство гиппопедов и семейство овалов Кассини . Название происходит от σπειρα, что на древнегреческом означает тор.
Декартово уравнение можно записать как
и уравнение в полярных координатах в виде
Клевер трехлистный (трилистник)
Три широколиственных клевер или Trifolium [7] является квартиком плоской кривым
Решая для y , кривая может быть описана следующей функцией:
где два появления ± не зависят друг от друга, давая до четырех различных значений y для каждого x .
Параметрическое уравнение кривой имеет вид
- [8]
В полярных координатах ( x = r cos φ, y = r sin φ) уравнение имеет вид
Это частный случай кривой розы с k = 3. Эта кривая имеет тройную точку в начале координат (0, 0) и три двойные касательные.
Смотрите также
- Троичная квартика
- Битангенсы квартики
Рекомендации
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Кривая амперсанда" . MathWorld .
- ^ Канди, Х. Мартин; Rollett, AP (1961) [1952], Математические модели (2-е изд.), Clarendon Press, Oxford, p. 72, ISBN 978-0-906212-20-2, Руководство по ремонту 0124167
- ^ Weisstein, Eric W. Bean Curve . MathWorld .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Двустворчатая кривая» . MathWorld .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Лук» . MathWorld .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Крестообразная кривая» . MathWorld .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Trifolium" . MathWorld .
- ^ Гибсон, CG, Элементарная геометрия алгебраических кривых, Введение для студентов , Cambridge University Press, Кембридж, 2001, ISBN 978-0-521-64641-3 . Страницы 12 и 78.