В теории алгебраических кривых плоскости , общая квартика плоская кривая имеет 28 бикасательная линии, линии, касательные к кривой в двух местах. Эти прямые существуют в комплексной проективной плоскости , но можно определить кривые четвертой степени, для которых все 28 из этих линий имеют действительные числа в качестве своих координат и, следовательно, принадлежат евклидовой плоскости .
Явный квартик с двадцатью восемь реальными бикасательными впервые был дан плюккеровой ( 1839 ) [1] Как показал Плюккерово, число действительных бикасательных любого квартике должно быть 28, 16, или несколько меньше , чем 9. Еще квартик с 28 реальным Касательные к биту могут быть образованы геометрическим местом центров эллипсов с фиксированной длиной оси, касательной к двум непараллельным прямым. [2] Шиода (1995) дал другую конструкцию квартики с двадцатью восемью касательными к битам, образованную проецированием кубической поверхности ; Двадцать семь битангенсов к кривой Шиоды действительны, а двадцать восьмая - это линия на бесконечности в проективной плоскости.
Пример
Кривой Тротт , другие кривой с 28 реальными бикасательными, есть множество точек ( х , у ) , удовлетворяющих степени четыре полиномиального уравнения
Эти точки образуют неособую кривую четвертой степени, имеющую род три и имеющую двадцать восемь реальных битангенсов . [3]
Подобно примерам Плюккера, Блюма и Гинанда, кривая Тротта имеет четыре разделенных овала, максимальное число для кривой четвертой степени, и, следовательно, является M-кривой . Четыре овала можно сгруппировать в шесть разных пар овалов; для каждой пары овалов есть четыре касательных к обоим овалам в паре, два, которые разделяют два овала, и два, которые не касаются друг друга. Кроме того, каждый овал ограничивает невыпуклую область плоскости и имеет один касательный к биту, охватывающий невыпуклую часть его границы.
Связи с другими структурами
Двойственная кривая к квартике кривой имеет 28 реальных обыкновенных двойных точек, двойственные 28 бикасательных о первичной кривой.
28 битангенсов квартики можно также поставить в соответствие с символами вида
где a , b , c , d , e и f равны нулю или единице и где
- ad + be + cf = 1 (мод 2). [4]
Есть 64 варианта для a , b , c , d , e и f , но только 28 из этих вариантов дают нечетную сумму. Можно также интерпретировать a , b и c как однородные координаты точки плоскости Фано, а d , e и f как координаты прямой в той же конечной проективной плоскости; условие, что сумма нечетная, эквивалентно требованию, чтобы точка и линия не касались друг друга, и существует 28 различных пар точки и линии, которые не соприкасаются.
Точки и прямые плоскости Фано, которые не пересекаются с парой непадающих точек и прямых, образуют треугольник, и битангенсы квартики считаются соответствующими 28 треугольникам плоскости Фано. [5] Граф Леви плоскости Фано - это граф Хивуда , в котором треугольники плоскости Фано представлены 6-циклами. 28 6-циклов графа Хивуда, в свою очередь, соответствуют 28 вершинам графа Кокстера . [6]
28 бикасательных из квартика также соответствуют парам 56 линий на степени 2- дель Пеццо поверхности , [5] , и к 28 нечетным характеристикам теты .
27 прямых на кубике и 28 битаангенсов на квартике вместе со 120 трикасательными плоскостями канонической секстической кривой рода 4 образуют « троицу » в смысле Владимира Арнольда , в частности форму соответствия Маккея , [7 ] [8] [9] и могут быть связаны со многими другими объектами, включая E 7 и E 8 , как обсуждалось в троицах .
Заметки
- ^ См., Например, Gray (1982) .
- ^ Блюм & Guinand (1964) .
- ^ Тротт (1997) .
- ^ Риман (1876 г.) ; Кэли (1879) .
- ^ а б Манивел (2006) .
- ^ Дейтер, Итало Дж. (2011), «От графа Кокстера к графу Клейна», Journal of Graph Theory , 70 : 1–9, arXiv : 1002.1960 , doi : 10.1002 / jgt.20597.
- ^ Ле Брюйн, Ливен (17 июня 2008 г.), троицы Арнольда , заархивировано из оригинала 11 апреля 2011 г.
- Перейти ↑ Arnold 1997, p. 13 - Арнольд, Владимир, 1997 г., лекции в Торонто, лекция 2: симплектизация, комплексификация и математические троицы , июнь 1997 г. (последнее обновление - август 1998 г.). TeX , PostScript , PDF
- ^ ( Маккей и Себбар 2007 , стр.11 )
Рекомендации
- Blum, R .; Guinand, А.П. (1964), "квартик с 28 реальными бикасательными" , Канадским математическим вестник , 7 (3): 399-404, DOI : 10,4153 / CMB-1964-038-6.
- Кэли, Артур (1879), "О битангенсах квартики", Кривые высшей плоскости Салмона , стр. 387–389. В сборнике математических статей Артура Кэли , Эндрю Рассела Форсайта, изд., The University Press, 1896, vol. 11. С. 221–223.
- Серый, Джереми (1982), "Из истории простой группы", Математическая Интеллидженсер , 4 (2): 59-67, DOI : 10.1007 / BF03023483 , MR 0672918. Перепечатано в Леви, Сильвио, изд. (1999), Восьмеричный путь , Публикации ИИГС, 35 , Cambridge University Press, стр. 115–131, ISBN 0-521-66066-1, MR 1722415.
- Manivel, L. (2006), "Конфигурация линий и моделей алгебр Ли", журнал алгебра , 304 (1): 457-486, Arxiv : математика / 0507118 , DOI : 10.1016 / j.jalgebra.2006.04.029.
- Plücker, J. (1839), Theorie der algebraischen Curven: gegrundet auf eine neue Behandlungsweise der analytischen Geometrie , Берлин: Адольф Маркус.
- Риман, GFB (1876), "Zur Theorie der Abel'schen Funktionen für den Fall p = 3", Ges. Werke , Leipzig, pp. 456–472.. Цитируется Кэли.
- Сиода, Тецудзи (1995), "Преобразования Вейерштрасса и кубические поверхности" (PDF) , Математические комментарии Universitatis Sancti Pauli , 44 (1): 109–128, MR 1336422[ постоянная мертвая ссылка ] .
- Тротт, Майкл (1997), "Применение базиса Гребнера к трем задачам геометрии", Mathematica in Education и Research , 6 (1): 15–28.