В математике локально компактная топологическая группа G обладает свойством (T) , если тривиальное представление является изолированной точкой в ее унитарном сопряжении , оснащенном топологией Фелла . Неформально это означает, что если G действует унитарно на гильбертовом пространстве и имеет «почти инвариантные векторы», то она имеет ненулевой инвариантный вектор . Формальное определение, введенное Давидом Кажданом ( 1967 ), придает этому точное количественное значение.
Хотя изначально свойство (T) было определено в терминах неприводимых представлений , его часто можно проверить, даже если имеется мало или совсем нет явных знаний об унитарном двойственном. Свойство (T) имеет важные приложения к теории представления групп , решеткам в алгебраических группах над локальными полями , эргодической теории , геометрической теории групп , расширителям , операторным алгебрам и теории сетей .
Пусть G — σ-компактная локально компактная топологическая группа и π : G → U ( H ) — унитарное представление группы G в (комплексном) гильбертовом пространстве H. Если ε > 0 и K — компактное подмножество G , то единичный вектор ξ в H называется (ε, K )-инвариантным вектором , если
Все следующие условия на G эквивалентны тому, что G обладает свойством (T) Каждана , и любое из них может использоваться как определение свойства (T).
(2) Любая последовательность непрерывных положительно определенных функций на G , сходящаяся к 1 равномерно на компактных подмножествах , сходится к 1 равномерно на G .
(3) Каждое унитарное представление группы G , имеющее (ε, K )-инвариантный единичный вектор для любого ε > 0 и любого компактного подмножества K , имеет ненулевой инвариантный вектор.