Неравенство Хинчина

В математике , то неравенство Хинчина , названное в честь Александра Хинчиным и пишутся разными способами в латинском алфавите, является теоремой из вероятности , а также часто используется в анализе . Эвристически это говорит о том, что если мы выберем комплексные числа и сложим их вместе, каждое из которых умножено на случайный знак , то ожидаемое значение модуля суммы или модуль, к которому оно будет наиболее близко в среднем, будет не слишком далеко .${\ displaystyle N}$ ${\ Displaystyle x_ {1}, \ точки, x_ {N} \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ pm 1}$${\displaystyle {\sqrt {|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{N}|^{2}}}}$

Заявление

Пусть будет iid случайных величин с для , т. Е. Последовательность с распределением Радемахера . Пусть и пусть . Затем${\displaystyle \{\varepsilon _{n}\}_{n=1}^{N}}$ ${\displaystyle P(\varepsilon _{n}=\pm 1)={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle n=1,\ldots ,N}$${\displaystyle 0<p<\infty }$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle A_{p}\left(\sum _{n=1}^{N}|x_{n}|^{2}\right)^{1/2}\leq \left(\operatorname {E} \left|\sum _{n=1}^{N}\varepsilon _{n}x_{n}\right|^{p}\right)^{1/p}\leq B_{p}\left(\sum _{n=1}^{N}|x_{n}|^{2}\right)^{1/2}}$

для некоторых констант, зависящих только от ( обозначения см. в разделе « Ожидаемое значение» ). Точные значения констант были найдены Хаагерупом ([2]; см. [3] для более простого доказательства). Легко увидеть, когда и когда .${\displaystyle A_{p},B_{p}>0}$${\displaystyle p}$${\displaystyle A_{p},B_{p}}$${\displaystyle A_{p}=1}$${\displaystyle p\geq 2}$${\displaystyle B_{p}=1}$${\displaystyle 0<p\leq 2}$

Хаагеруп обнаружил, что

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{p}&={\begin{cases}2^{1/2-1/p}&0<p\leq p_{0},\\2^{1/2}(\Gamma ((p+1)/2)/{\sqrt {\pi }})^{1/p}&p_{0}<p<2\\1&2\leq p<\infty \end{cases}}\\&{\text{and}}\\B_{p}&={\begin{cases}1&0<p\leq 2\\2^{1/2}(\Gamma ((p+1)/2)/{\sqrt {\pi }})^{1/p}&2<p<\infty \end{cases}},\end{aligned}}}$

где и - гамма-функция . Можно, в частности, отметить, что точно совпадают моменты нормального распределения .${\displaystyle p_{0}\approx 1.847}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle B_{p}}$

Использование в анализе

Использование этого неравенства не ограничивается приложениями в теории вероятностей . Одним из примеров его использования в анализе заключается в следующем: если мы упустим быть линейный оператор между двумя L ^р пространства и , с ограниченной нормой , то можно использовать неравенство Хинчина , чтобы показать , что${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L^{p}(X,\mu )}$${\displaystyle L^{p}(Y,\nu )}$${\displaystyle 1<p<\infty }$ ${\displaystyle \|T\|<\infty }$

${\displaystyle \left\|\left(\sum _{n=1}^{N}|Tf_{n}|^{2}\right)^{1/2}\right\|_{L^{p}(Y,\nu )}\leq C_{p}\left\|\left(\sum _{n=1}^{N}|f_{n}|^{2}\right)^{1/2}\right\|_{L^{p}(X,\mu )}}$

для некоторой константы, зависящей только от и . ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle C_{p}>0}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \|T\|}$

Обобщения

Для случая случайных величин Радемахера Павел Хитченко показал ^[1], что наиболее точная версия:

${\displaystyle A\left({\sqrt {p}}\left(\sum _{n=b+1}^{N}x_{n}^{2}\right)^{1/2}+\sum _{n=1}^{b}x_{n}\right)\leq \left(\operatorname {E} \left|\sum _{n=1}^{N}\varepsilon _{n}x_{n}\right|^{p}\right)^{1/p}\leq B\left({\sqrt {p}}\left(\sum _{n=b+1}^{N}x_{n}^{2}\right)^{1/2}+\sum _{n=1}^{b}x_{n}\right)}$

где и и являются универсальными постоянными независимо от .${\displaystyle b=\lfloor p\rfloor }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle p}$

Здесь мы предполагаем, что они неотрицательны и не увеличиваются.${\displaystyle x_{i}}$

Смотрите также

• Неравенство Марцинкевича – Зигмунда
• Неравенство Буркхолдера-Дэвиса-Ганди

использованная литература

1. Томас Х. Вольф , "Лекции по гармоническому анализу". Американское математическое общество, Серия лекций в университете, т. 29, 2003. ISBN 0-8218-3449-5 
2. Уффе Хаагеруп, "Лучшие константы в неравенстве Хинчина", Studia Math. 70 (1981), нет. 3, 231–283 (1982).
3. Федор Назаров и Анатолий Подкорытов, «Бал, Хаагеруп и функции распределения», Комплексный анализ, операторы и смежные темы, 247–267, Опер. Теория Adv. Appl., 113, Birkhäuser, Базель, 2000.