Распределение Радемахера

Радемахер

Поддерживать	${\ Displaystyle к \ в \ {- 1,1 \} \,}$
PMF	${\ Displaystyle е (к) = \ влево \ {{\ begin {matrix} 1/2 & {\ mbox {if}} к = -1, \\ 1/2 & {\ mbox {if}} к = + 1, \\ 0 & {\ mbox {в противном случае.}} \ End {matrix}} \ right.}$
CDF	${\displaystyle F(k)={\begin{cases}0,&k<-1\\1/2,&-1\leq k<1\\1,&k\geq 1\end{cases}}}$
Иметь в виду	${\displaystyle 0\,}$
Медиана	${\displaystyle 0\,}$
Режим	N / A
Дисперсия	${\displaystyle 1\,}$
Асимметрия	${\displaystyle 0\,}$
Бывший. эксцесс	${\displaystyle -2\,}$
Энтропия	${\displaystyle \ln(2)\,}$
MGF	${\displaystyle \cosh(t)\,}$
CF	${\displaystyle \cos(t)\,}$

В теории вероятностей и статистике , то распределение Радемахера (который назван в честь Hans Радемахером ) является дискретным распределением вероятностей , где случайная случайная величина Х имеет 50% шанс быть +1 и 50% шанс быть -1 с. ^[1]

Серии (то есть, сумма) Радемахер распределенных переменные можно рассматривать в качестве простого симметричного случайного блуждания , где размер шага равен 1.

Математическая формулировка [ править ]

Функция массы вероятности этого распределения равна

${\displaystyle f(k)=\left\{{\begin{matrix}1/2&{\mbox{if }}k=-1,\\1/2&{\mbox{if }}k=+1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{matrix}}\right.}$

В терминах дельта-функции Дирака , как

${\displaystyle f(k)={\frac {1}{2}}\left(\delta \left(k-1\right)+\delta \left(k+1\right)\right).}$

Связь Ван Зуйлена [ править ]

Ван Зуйлен доказал следующий результат. ^[2]

Пусть X _i - набор независимых случайных величин, распределенных по Радемахеру. потом

${\displaystyle \Pr \left(\left|{\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}}{\sqrt {n}}}\right|\leq 1\right)\geq 0.5.}$

Оценка точна и лучше, чем та, которая может быть получена из нормального распределения (приблизительно Pr> 0,31).

Границы сумм [ править ]

Пусть { x _i } - набор случайных величин с распределением Радемахера. Пусть { a _i } будет последовательностью действительных чисел. потом

${\displaystyle \Pr \left(\sum _{i}x_{i}a_{i}>t||a||_{2}\right)\leq e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}}$

где || а || ₂ является евклидова норма последовательности { _я }, т > 0 является действительным числом , и Pr ( Z ) есть вероятность события Z . ^[3]

Пусть Y = Σ x _i a _i и Y - почти наверное сходящийся ряд в банаховом пространстве . Для t > 0 и s ≥ 1 имеем ^[4]

${\displaystyle \Pr \left(||Y||>st\right)\leq \left[{\frac {1}{c}}\Pr(||Y||>t)\right]^{cs^{2}}}$

для некоторой постоянной c .

Пусть p - положительное действительное число. Тогда неравенство Хинчина говорит, что ^[5]

${\displaystyle c_{1}\left[\sum {\left|a_{i}\right|^{2}}\right]^{\frac {1}{2}}\leq \left(E\left[\left|\sum {a_{i}x_{i}}\right|^{p}\right]\right)^{\frac {1}{p}}\leq c_{2}\left[\sum {\left|a_{i}\right|^{2}}\right]^{\frac {1}{2}}}$

где c ₁ и c ₂ - константы, зависящие только от p .

При p ≥ 1

${\displaystyle c_{2}\leq c_{1}{\sqrt {p}}.}$

См. Также: Неравенство концентрации - сводка хвостовых границ случайных величин.

Приложения [ править ]

При начальной загрузке использовался дистрибутив Радемахера .

Распределение Радемахера можно использовать, чтобы показать, что нормально распределенное и некоррелированное не означает независимости .

Случайные векторы с компонентами, выбранными независимо от распределения Радемахера, полезны для различных стохастических приближений , например:

• Хатчинсон след оценки , ^[6] , которые могут быть использованы , чтобы эффективно аппроксимировать след в виде матрицы из которой элементы не являются непосредственно доступными, а скорее неявно определяется с помощью матрично-векторных произведений.
• SPSA , дешевое в вычислительном отношении приближение стохастического градиента без производных, полезное для численной оптимизации .

Случайные величины Радемахера используются в неравенстве симметризации .

Связанные дистрибутивы [ править ]

• Распределение Бернулли : если X имеет распределение Радемахера, то имеет распределение Бернулли (1/2).${\displaystyle {\frac {X+1}{2}}}$
• Распределение Лапласа : если X имеет распределение Радемахера и Y ~ Exp (λ), то XY ~ Laplace (0, 1 / λ).

Ссылки [ править ]