Сеть Клумпенхауэра
Сеть Клумпенхауэра , названная в честь ее изобретателя, канадского теоретика музыки и бывшего докторанта Дэвида Левина в Гарварде , Генри Клумпенхауэра , представляет собой «любую сеть , которая использует операции T и/или I ( транспонирование или инверсия ) для интерпретации взаимосвязей между компьютерами». ( наборы классов тангажа ). [1] Согласно Джорджу Перле , «сеть Клумпенхауэра — это аккорд , проанализированный с точки зрения его двоичных сумм и разностей . ,» и «такой вид анализа троичных комбинаций был неявным в» его «концепции циклического множества с самого начала», [2] циклические множества — это те « множества , чередующиеся элементы которых разворачивают дополнительные циклы одного интервала ». 3]
«Идея Клумпенхауэра, простая и глубокая по своим последствиям, состоит в том, чтобы допустить инверсионные, а также транспозиционные отношения в сети, подобные тем , что показаны на рис . F ♯ к A, обозначенному T 3 , и обратно от A к B, обозначенному T 10 , что позволяет представить его на рисунке 2a, например, обозначенным I 5 , I 3 и T 2 . [1] На рисунке 4 это (b) I 7 , I 5 , T 2 и (c) I 5 , I 3 , T 2 .
Левин утверждает « рекурсивный потенциал К-сетевого анализа» [4] ... «в очень общем виде: когда система модулируется операцией А, преобразование f ' = AfA -обратное играет структурную роль в модулируемом системе, в которую f играл в исходной системе». [5]
Учитывая любую сеть классов основного тона и любую операцию ПК А, вторая сеть может быть получена из первой, и выведенное таким образом отношение «сетевой изоморфизм» «возникает между сетями, использующими аналогичные конфигурации узлов и стрелок для интерпретации наборов ПК, которые являются один и тот же класс множеств [6] — «изоморфизм графов». Два графа изоморфны , когда они имеют одинаковую структуру узлов и стрелок, а также когда операции, помечающие соответствующие стрелки, соответствуют определенному виду отображения f среди T/ Я." [7]
«Чтобы генерировать изоморфные графы, отображение f должно быть так называемым автоморфизмом системы T/I. Сети, имеющие изоморфные графы, называются изографическими ». [7]
«Две сети положительно изографичны , когда они имеют одинаковую конфигурацию узлов и стрелок, когда T-числа соответствующих стрелок равны и когда I-числа соответствующих стрелок отличаются на некоторое фиксированное число j по модулю 12». [7] «Мы называем сети, содержащие одинаковые графы, сильно изографическими». [8] «Пусть семейство транспозиций и инверсий на классах основного тона будет называться группой T/I». [9]
