Вершины Лагранжа, Эйлера и Ковалевской

Эйлер, Лагранж и Ковалевская

В классической механике , то прецессия из твердого тела , такого как сверху под действием силы тяжести не является, вообще говоря , интегрируема проблемой . Однако есть три (или четыре) известных случая, которые интегрируемы: волчок Эйлера , волчок Лагранжа и волчок Ковалевской . ^{[1] [2]} В дополнение к энергии, каждая из этих вершин включает в себя три дополнительных константы движения, которые приводят к интегрируемости .

Волчок Эйлера описывает свободную вершину без какой-либо особой симметрии, движущуюся в отсутствие какого-либо внешнего крутящего момента, в котором неподвижная точка является центром тяжести . Волчок Лагранжа представляет собой симметричный волчок, в котором два момента инерции одинаковы, а центр тяжести находится на оси симметрии . Волчок Ковалевской ^{[3] [4]} - это специальный симметричный волчок с уникальным соотношением моментов инерции, удовлетворяющих соотношению

${\ displaystyle I_ {1} = I_ {2} = 2I_ {3},}$

То есть два момента инерции равны, третий в два раза меньше, а центр тяжести расположен в плоскости, перпендикулярной оси симметрии (параллельно плоскости двух равных точек). Неголономная Горячева-Чаплыгина (введено Д. Горячев в 1900 году ^[5] и интегрирован С. Чаплыгин в 1948 году ^{[6] [7]} ) также интегрируем ( ). Его центр тяжести находится в экваториальной плоскости . ^[8] Доказано, что других голономных интегрируемых волчков не существует. ^[9]${\ displaystyle I_ {1} = I_ {2} = 4I_ {3}}$

Гамильтонова формулировка классических волчков [ править ]

Классическим сверху ^[10] определяется тремя главными осями, определяется тремя ортогональными векторами , и с соответствующими моментами инерции , и . В гамильтоновой формулировке классических волчков сопряженные динамические переменные являются компонентами вектора углового момента вдоль главных осей${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {e}}} ^ {1}}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {e}}} ^ {2}}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {e}}} ^ {3}}$${\ displaystyle I_ {1}}$${\ displaystyle I_ {2}}$${\ displaystyle I_ {3}}$${\ displaystyle {\ vec {L}}}$

${\displaystyle (\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3})=({\vec {L}}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{1},{\vec {L}}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{2},{\vec {L}}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{3})}$

и z -компоненты трех главных осей,

${\displaystyle (n_{1},n_{2},n_{3})=(\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{1},\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{2},\mathbf {\hat {z}} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}^{3})}$

Алгебра Пуассона этих переменных имеет вид

${\displaystyle \{\ell _{a},\ell _{b}\}=\varepsilon _{abc}\ell _{c},\ \{\ell _{a},n_{b}\}=\varepsilon _{abc}n_{c},\ \{n_{a},n_{b}\}=0}$

Если положение центра масс определяется выражением , то гамильтониан волчка определяется выражением${\displaystyle {\vec {R}}_{cm}=(a\mathbf {\hat {e}} ^{1}+b\mathbf {\hat {e}} ^{2}+c\mathbf {\hat {e}} ^{3})}$

${\displaystyle H={\frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mg(an_{1}+bn_{2}+cn_{3}),}$

Тогда уравнения движения определяются следующим образом:

${\displaystyle {\dot {\ell }}_{a}=\{H,\ell _{a}\},{\dot {n}}_{a}=\{H,n_{a}\}}$

Вверх Эйлера [ править ]

Эйлер сверху является untorqued сверху, с гамильтонианом

${\displaystyle H_{E}={\frac {(\ell _{1})^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {(\ell _{2})^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}},}$

Четыре константы движения - это энергия и три компонента углового момента в лабораторной системе отсчета,${\displaystyle H_{E}}$

${\displaystyle (L_{1},L_{2},L_{3})=\ell _{1}\mathbf {\hat {e}} ^{1}+\ell _{2}\mathbf {\hat {e}} ^{2}+\ell _{3}\mathbf {\hat {e}} ^{3}.}$

Верхняя часть Лагранжа [ править ]

Волчок Лагранжа ^[11] (названный так в честь Жозефа-Луи Лагранжа ) представляет собой симметричный волчок с центром масс вдоль оси симметрии в местоположении,, с гамильтонианом${\displaystyle {\vec {R}}_{cm}=h\mathbf {\hat {e}} ^{3}}$

${\displaystyle H_{L}={\frac {(\ell _{1})^{2}+(\ell _{2})^{2}}{2I}}+{\frac {(\ell _{3})^{2}}{2I_{3}}}+mghn_{3}.}$

Четыре константы движения являются энергия , угловая компонента импульса вдоль оси симметрии, угловой момент в г -направлении${\displaystyle H_{L}}$${\displaystyle \ell _{3}}$

${\displaystyle L_{z}=\ell _{1}n_{1}+\ell _{2}n_{2}+\ell _{3}n_{3},}$

и величина n -вектора

${\displaystyle n^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}$

Ковалевская сверху [ править ]

Волчок Ковалевской ^{[3] [4]} представляет собой симметричный волчок, в котором , а центр масс лежит в плоскости, перпендикулярной оси симметрии . Он был открыт Софией Ковалевской в 1888 году и представлен в ее статье «Sur le problème de la Rotation d'un corps solide autour d'un point fixe», получившей приз Бордина Французской академии наук в 1888 году.${\displaystyle I_{1}=I_{2}=2I}$${\displaystyle I_{3}=I}$${\displaystyle {\vec {R}}_{cm}=h\mathbf {\hat {e}} ^{1}}$

${\displaystyle H_{K}={\frac {(\ell _{1})^{2}+(\ell _{2})^{2}+2(\ell _{3})^{2}}{2I}}+mghn_{1}.}$

Четыре константы движения - это энергия , инвариант Ковалевской.${\displaystyle H_{K}}$

${\displaystyle K=\xi _{+}\xi _{-}}$

где переменные определены как${\displaystyle \xi _{\pm }}$

${\displaystyle \xi _{\pm }=(\ell _{1}\pm i\ell _{2})^{2}-2mghI(n_{1}\pm in_{2}),}$

компонента углового момента в z -направлении,

${\displaystyle L_{z}=\ell _{1}n_{1}+\ell _{2}n_{2}+\ell _{3}n_{3},}$

и величина n -вектора

${\displaystyle n^{2}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}.}$

См. Также [ править ]

• Карданная подвеска

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Ковалевская Вершина - из книги Эрика Вайсштейна "Мир физики"