Распределение Кумарасвами

Кумарасвами

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\ displaystyle a> 0 \,}$ (реальный) (реальный) ${\ displaystyle b> 0 \,}$
Поддерживать	${\ Displaystyle х \ в (0,1) \,}$
PDF	${\ displaystyle abx ^ {a-1} (1-x ^ {a}) ^ {b-1} \,}$
CDF	${\ Displaystyle 1- (1-х ^ {а}) ^ {б}}$
Иметь в виду	${\ displaystyle {\ frac {b \ Gamma (1 + {\ tfrac {1} {a}}) \ Gamma (b)} {\ Gamma (1 + {\ tfrac {1} {a}} + b)} } \,}$
Медиана	${\ displaystyle \ left (1-2 ^ {- 1 / b} \ right) ^ {1 / a}}$
Режим	${\ displaystyle \ left ({\ frac {a-1} {ab-1}} \ right) ^ {1 / a}}$ за ${\ Displaystyle а \ geq 1, б \ geq 1, (а, b) \ neq (1,1)}$
Дисперсия	(сложный - см. текст)
Асимметрия	(сложный - см. текст)
Бывший. эксцесс	(сложный - см. текст)
Энтропия	${\ displaystyle \ left (1 \! - \! {\ tfrac {1} {b}} \ right) + \ left (1 \! - \! {\ tfrac {1} {a}} \ right) H_ { b} - \ ln (ab)}$

В вероятности и статистике , в два раза ограниченное распределение Кумарасвами в семейство непрерывных вероятностных распределений , заданных на интервале (0,1). Оно похоже на бета-распределение , но намного проще в использовании, особенно в исследованиях моделирования, поскольку его функция плотности вероятности , кумулятивная функция распределения и функции квантилей могут быть выражены в замкнутой форме . Это распределение было первоначально предложено Пунди Кумарасвами ^[1] для переменных, ограниченных сверху и снизу с нулевой инфляцией. Это было распространено на инфляцию с обоими крайними значениями [0,1] дюйма ^[2]

Характеристика [ править ]

Функция плотности вероятности [ править ]

Функция плотности вероятности распределения Кумарасвами без учета инфляции имеет вид

${\ displaystyle f (x; a, b) = abx ^ {a-1} {(1-x ^ {a})} ^ {b-1}, \ \ {\ mbox {where}} \ \ x \ в (0,1),}$

и где a и b - неотрицательные параметры формы .

Кумулятивная функция распределения [ править ]

Кумулятивная функция распределения является

${\ Displaystyle F (x; a, b) = \ int _ {0} ^ {x} f (\ xi; a, b) d \ xi = 1- (1-x ^ {a}) ^ {b} . \}$

Функция квантиля [ править ]

Обратная кумулятивная функция распределения (функция квантиля) есть

${\displaystyle F(y;a,b)^{-1}=(1-(1-y)^{\frac {1}{b}})^{\frac {1}{a}}.\ }$

Обобщение на поддержку произвольных интервалов [ править ]

В простейшей форме распределение имеет носитель (0,1). В более общем виде нормализованная переменная x заменяется несмещенной и немасштабированной переменной z, где:

${\displaystyle x={\frac {z-z_{\text{min}}}{z_{\text{max}}-z_{\text{min}}}},\qquad z_{\text{min}}\leq z\leq z_{\text{max}}.\,\!}$

Свойства [ править ]

Исходные моменты распределения Кумарасвами даны в: ^{[3] [4]}

${\displaystyle m_{n}={\frac {b\Gamma (1+n/a)\Gamma (b)}{\Gamma (1+b+n/a)}}=bB(1+n/a,b)\,}$

где B - бета-функция, а Γ (.) - гамма-функция . Дисперсия, асимметрия и избыточный эксцесс могут быть рассчитаны на основе этих исходных моментов. Например, разница составляет:

${\displaystyle \sigma ^{2}=m_{2}-m_{1}^{2}.}$

Энтропии Шеннона (в нац) распределения является: ^[5]

${\displaystyle H=\left(1\!-\!{\tfrac {1}{a}}\right)+\left(1\!-\!{\tfrac {1}{b}}\right)H_{b}-\ln(ab)}$

где - функция номера гармоники .${\displaystyle H_{i}}$

Отношение к бета-версии [ править ]

Распределение Кумарасвами тесно связано с бета-распределением. ^[6] Предположим, что X _{a, b} - распределенная случайная величина по Кумарасвами с параметрами a и b . Тогда X _{a, b} - это корень a -й степени из подходящей определенной бета-распределенной случайной величины. Более формально, Пусть Y _{1, b} обозначает случайную величину с бета-распределением и параметрами и . Между X _{a, b} и Y _{1, b} существует следующее соотношение .${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle \beta =b}$

${\displaystyle X_{a,b}=Y_{1,b}^{1/a},}$

с равным распределением.

${\displaystyle \operatorname {P} \{X_{a,b}\leq x\}=\int _{0}^{x}abt^{a-1}(1-t^{a})^{b-1}dt=\int _{0}^{x^{a}}b(1-t)^{b-1}dt=\operatorname {P} \{Y_{1,b}\leq x^{a}\}=\operatorname {P} \{Y_{1,b}^{1/a}\leq x\}.}$

Можно ввести обобщенные распределения Кумарасвами, рассматривая случайные величины в форме , где и где обозначает бета-распределенную случайную величину с параметрами и . Основные моменты этого обобщенного распределения Кумарасвами представлены следующим образом:${\displaystyle Y_{\alpha ,\beta }^{1/\gamma }}$${\displaystyle \gamma >0}$${\displaystyle Y_{\alpha ,\beta }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle m_{n}={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +n/\gamma )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\alpha +\beta +n/\gamma )}}.}$

Обратите внимание , что мы можем повторно получить исходные моменты настройки , и . Однако, как правило, кумулятивная функция распределения не имеет решения в замкнутой форме.${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle \beta =b}$${\displaystyle \gamma =a}$

Связанные дистрибутивы [ править ]

• Если тогда${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,1)\,}$${\displaystyle X\sim U(0,1)\,}$
• Если ( Равномерное распределение (непрерывное) ), то${\displaystyle X\sim U(0,1)\,}$${\displaystyle {{\Big (}1-{\left(1-X\right)}^{\tfrac {1}{b}}{\Big )}}^{\tfrac {1}{a}}\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,b)\,}$
• Если ( Бета-распределение ), то${\displaystyle X\sim {\textrm {Beta}}(1,b)\,}$${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,b)\,}$
• Если ( Бета-распределение ), то${\displaystyle X\sim {\textrm {Beta}}(a,1)\,}$${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$
• Если тогда${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$${\displaystyle (1-X)\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,a)\,}$
• Если тогда${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,a)\,}$${\displaystyle (1-X)\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$
• Если тогда${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$${\displaystyle -\log(X)\sim {\textrm {Exponential}}(a)\,}$
• Если тогда${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,b)\,}$${\displaystyle -\log(1-X)\sim {\textrm {Exponential}}(b)\,}$
• Если тогда , то обобщенное бета-распределение первого рода .${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,b)\,}$${\displaystyle X\sim {\textrm {GB1}}(a,1,1,b)\,}$

Пример [ править ]

Примером использования распределения Кумарасвами является объем хранилища резервуара вместимостью z , верхняя граница которого равна z _max, а нижняя граница равна 0, что также является естественным примером наличия двух инфляций, поскольку многие резервуары имеют ненулевые вероятности для обоих пустых и состояния полного резервуара. ^[2]

Ссылки [ править ]