Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлен по ссылке L2a1 )
Перейти к навигации Перейти к поиску
Hopf Link.png
Длина тесьмы2
Тесьма нет.2
Переход нет.2
Гиперболический объем0
Ссылка нет.1
Палка нет.6
Распутывания нет.1
Обозначение Конвея[2]
Обозначения A – B22
1
ThistlethwaiteL2a1
Последний / следующийL0 /  L4a1
Другой
знакопеременный , тор , расслоенный
Соотношение скейна для связи Хопфа.

В математической теории узлов , то ссылка Хопфа является простейшими нетривиальной связи с более чем одного компонентом. [1] Он состоит из двух кругов, соединенных между собой ровно один раз, [2] и назван в честь Хайнца Хопфа . [3]

Геометрическая реализация [ править ]

Бетонная модель состоит из двух единичных окружностей в перпендикулярных плоскостях, каждая из которых проходит через центр другой. [2] Эта модель минимизирует длину троса звена, и до 2002 года звено Хопфа было единственным звеном, длина троса которого была известна. [4] выпуклая оболочка этих двух окружностей образует форму называется oloid . [5]

Свойства [ править ]

В зависимости от относительной ориентации двух компонентов связующее число звена Хопфа составляет ± 1. [6]

Зацепление Хопфа представляет собой (2,2) -торное зацепление [7] со словом кос [8]

Узел комплемент звена Хопфа R  ×  S 1  ×  S 1 , то цилиндр над тором . [9] Это пространство имеет локально евклидову геометрию , поэтому зацепление Хопфа не является гиперболическим . Группа узлов зацепления Хопфа ( фундаментальная группа его дополнения) - это Z 2 ( свободная абелева группа на двух образующих), что отличает ее от несвязанной пары петель, которая имеет свободную группу на двух образующих в качестве группы. [10]

Ссылка Хопфа не подлежит трехкратной раскраске. Это легко увидеть из того факта, что ссылка может иметь только два цвета, что приводит к тому, что она не соответствует второй части определения трехцветности. На каждый переход уйдет максимум 2 цвета. Таким образом, если он удовлетворяет правилу наличия более одного цвета, он не соответствует правилу наличия одного или трех цветов на каждом пересечении. Если он удовлетворяет правилу наличия 1 или 3 цветов на каждом перекрестке, он не соответствует правилу наличия более 1 цвета.

Набор хопфа [ править ]

Расслоение Хопфа является непрерывной функцией от 3-сферы (трехмерная поверхность в четырехмерном евклидовом пространстве) в более привычной 2-сфере , с тем свойством , что прообраз каждой точки на 2-сфере является круг. Таким образом, эти изображения разбивают 3-сферу на непрерывное семейство кругов, и каждые два различных круга образуют связь Хопфа. Это было мотивацией Хопфа для изучения зацепления Хопфа: поскольку каждые два слоя связаны, расслоение Хопфа является нетривиальным расслоением . Этот пример положил начало изучению гомотопических групп сфер . [11]

Биология [ править ]

Связь Хопфа также присутствует в некоторых белках. [12] [13] Он состоит из двух ковалентных петель, образованных частями белковой цепи , замкнутой дисульфидными связями . Топология связи Хопфа в белках очень консервативна и увеличивает их стабильность. [12]

История [ править ]

Бузан-ха - гребень

Связь Хопфа названа в честь тополога Хайнца Хопфа , который рассматривал ее в 1931 году как часть своего исследования расслоения Хопфа . [14] Однако в математике это было известно Карлу Фридриху Гауссу до работ Хопфа. [3] Он также долгое время использовался вне математики, например, как герб Бузан-ха , японской буддийской секты, основанной в 16 веке.

См. Также [ править ]

  • Кольца Борромео , звено с тремя замкнутыми петлями
  • Катенан , молекула с двумя связанными петлями
  • Узел Соломона , две дважды связанные петли

Ссылки [ править ]

  1. ^ Адамс, Колин Конрад (2004), Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов , Американское математическое общество, стр. 151, ISBN 9780821836781.
  2. ^ а б Куснер, Роберт Б .; Салливан, Джон М. (1998), "Об искажении и толщине узлов", Топология и геометрия в науке о полимерах (Миннеаполис, Миннесота, 1996) , IMA Vol. Математика. Appl,. 103 , Нью - Йорк:. Springer, С. 67-78, DOI : 10.1007 / 978-1-4612-1712-1_7 , MR 1655037 . См., В частности, стр. 77 .
  3. ^ а б Прасолов В.В.; Сосинский, А.Б. (1997), Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия: введение в новые инварианты в низкоразмерной топологии , Переводы математических монографий, 154 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, с. 6, ISBN 0-8218-0588-6, Руководство по ремонту  1414898.
  4. ^ Кантарелла, Джейсон; Куснер, Роберт Б .; Салливан, Джон М. (2002), «О минимальной длине веревки узлов и звеньев», Inventiones Mathematicae , 150 (2): 257–286, arXiv : math / 0103224 , Bibcode : 2002InMat.150..257C , doi : 10.1007 / s00222-002-0234-у , Руководство по ремонту 1933586 .
  5. ^ Дирнбёк, Ганс; Stachel, Hellmuth (1997), «Развитие олоида» (PDF) , Journal for Geometry and Graphics , 1 (2): 105–118, MR 1622664  .
  6. ^ Адамс (2004) , стр. 21 .
  7. Перейти ↑ Kauffman, Louis H. (1987), On Knots , Annals of Mathematics Studies, 115 , Princeton University Press, p. 373, ISBN 9780691084350.
  8. ^ Адамс (2004) , упражнение 5.22, стр. 133 .
  9. ^ Тураев, Владимир Г. (2010), Квантовые инварианты узлов и 3-многообразий , Исследования Де Грюйтера по математике, 18 , Вальтер де Грюйтер, с. 194, ISBN 9783110221831.
  10. ^ Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , стр. 24, ISBN 9787302105886.
  11. ^ Шастри, Анант Р. (2013), Базовая алгебраическая топология , CRC Press, стр. 368, ISBN 9781466562431.
  12. ^ a b Домбровский-Туманский, Павел; Сулковска, Джоанна И. (28 марта 2017 г.). «Топологические узлы и звенья в белках» . Труды Национальной академии наук . 114 (13): 3415–3420. DOI : 10.1073 / pnas.1615862114 . ISSN 0027-8424 . PMC 5380043 . PMID 28280100 .   
  13. ^ Домбровский-Тумански, Павел; Ярмолинская, Александра I .; Немиска, Ванда; Родон, Эрик Дж .; Millett, Kenneth C .; Сулковска, Иоанна I. (04.01.2017). «LinkProt: база данных, собирающая информацию о биологических связях» . Исследования нуклеиновых кислот . 45 (D1): D243 – D249. DOI : 10.1093 / NAR / gkw976 . ISSN 0305-1048 . PMC 5210653 . PMID 27794552 .   
  14. ↑ Hopf, Heinz (1931), «Uber die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche» , Mathematische Annalen , Берлин: Springer , 104 (1): 637–665, doi : 10.1007 / BF01457962.

Внешние ссылки [ править ]

  • Вайсштейн, Эрик В. "Хопф Линк" . MathWorld .
  • " Хопф линк ", Атлас узлов .
  • «LinkProt» - база данных известных белковых ссылок.