Диффеоморфное метрическое отображение большой деформации

Один из основных авторов этой статьи, кажется, имеет тесную связь с ее предметом. Может потребоваться очистка для соответствия политике содержания Википедии, особенно нейтральной точки зрения . Пожалуйста, обсудите дальше на странице обсуждения . ( Декабрь 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Диффеоморфное метрическое отображение больших деформаций ( LDDMM ) - это особый набор алгоритмов, используемых для диффеоморфного отображения и манипулирования плотными изображениями на основе диффеоморфного отображения метрик в академической дисциплине вычислительной анатомии , чтобы отличаться от его предшественника, основанного на диффеоморфном отображении . Различие между ними состоит в том, что диффеоморфные метрические отображения удовлетворяют тому свойству, что длина, связанная с их потоком от единицы, индуцирует метрику на группе диффеоморфизмов , что, в свою очередь, индуцирует метрику на орбите фигур и форм в поле Вычислительная анатомия. Изучение форм и форм с помощью метрики диффеоморфного метрического отображения называется диффеоморфометрией .

Система диффеоморфного картирования - это система, предназначенная для картирования, обработки и передачи информации, которая хранится во многих типах пространственно распределенных медицинских изображений.

Диффеоморфное картирование - это базовая технология для картирования и анализа информации, измеренной в анатомических системах координат человека, которые были измерены с помощью медицинской визуализации ^{[ необходима ссылка ]}. Диффеоморфное отображение - это широкий термин, который на самом деле относится к ряду различных алгоритмов, процессов и методов. Он привязан ко многим операциям и имеет множество приложений для анализа и визуализации. Диффеоморфное отображение можно использовать для связи различных источников информации, которые индексируются как функция пространственного положения в качестве ключевой переменной индекса. Диффеоморфизмы по своей латинской корневой структуре сохраняют преобразования, которые, в свою очередь, являются дифференцируемыми и, следовательно, гладкими, что позволяет вычислять такие метрические величины, как длина дуги и площадь поверхности. Пространственное положение и размеры в анатомических системах координат человека могут быть записаны с помощью различных методов медицинской визуализации, обычно называемых мультимодальными медицинскими изображениями, обеспечивающими либо скалярные, либо векторные величины в каждом пространственном местоположении.Примеры скалярныеМагнитно-резонансные изображения T1 или T2 или как диффузионные тензорные матрицы 3x3, диффузионная МРТ и диффузионно-взвешенная визуализация для скалярных плотностей, связанных с компьютерной томографией (КТ), или функциональных изображений, таких как временные данные функциональной магнитно-резонансной томографии и скалярные плотности, такие как позитрон эмиссионная томография (ПЭТ) .

Вычислительная анатомия - это субдисциплина в более широкой области нейроинформатики в рамках биоинформатики и медицинской визуализации . Первым алгоритмом отображения плотных изображений с помощью диффеоморфного отображения метрик был LDDMM Бега ^{[1] [2]} для объемов и сопоставление ориентиров Джоши для наборов точек с соответствием ^{[3] [4]} с алгоритмами LDDMM, которые теперь доступны для вычисления диффеоморфных отображений метрик между не -соответствующие ориентиры ^[5] и сопоставление ориентиров, присущие сферическим многообразиям, ^[6] кривые, ^[7] токи и поверхности, ^{[8] [9] [10]} тензоры, ^[11]варифолды, ^[12] и временные ряды. ^{[13] [14] [15]} Термин LDDMM был впервые установлен как часть Сети исследований биомедицинской информатики, поддерживаемой Национальными институтами здравоохранения . ^[16]

В более общем смысле диффеоморфное отображение - это любое решение, которое регистрирует или строит соответствия между плотными системами координат в медицинской визуализации, гарантируя, что решения диффеоморфны. Сейчас существует множество кодов, организованных вокруг диффеоморфной регистрации ^[17], включая ANTS, ^[18] DARTEL, ^[19] DEMONS, ^[20] StationaryLDDMM, ^[21] FastLDDMM, ^{[22] [23]} как примеры активно используемых вычислительных кодов для построения соответствия между системами координат на основе плотных изображений.

Различие между диффеоморфным метрическим отображением, лежащим в основе LDDMM, и самыми ранними методами диффеоморфного отображения заключается во введении принципа наименьшего действия Гамильтона, в котором выбираются большие деформации наименьшей длины, соответствующие геодезическим потокам. Это важное различие вытекает из первоначальной формулировки римановой метрики, соответствующей правоинвариантности. Длины этих геодезических дают метрику в структуре метрического пространства анатомии человека. Негеодезические формулировки диффеоморфных отображений, вообще говоря, не соответствуют никаким метрическим формулировкам.

История развития [ править ]

Диффеоморфное отображение трехмерной информации в системах координат занимает центральное место в области медицинской визуализации с высоким разрешением и в области нейроинформатики в недавно появившейся области биоинформатики . Диффеоморфные отображение 3-мерной системы координат , как измерено с помощью высокого разрешения плотной образность имеет долгую историю в 3-D , начиная с компьютерной аксиальной томографии (CAT сканирования) в начале 80 -х годов в университете штата Пенсильвания группа во главе с Разена Баджкси , ^[24] и впоследствии школа Ульфа Гренандера в Брауновском университете с экспериментами HAND. ^{[25] [26]}В 90-х годах было несколько решений для регистрации изображений, которые были связаны с линеаризацией малой деформации и нелинейной упругости. ^{[27] [28] [29] [30] [31]}

Центральным направлением подполя вычислительной анатомии (СА) в медицинской визуализации является отображение информации в анатомических системах координат в масштабе морфома 1 миллиметр . В CA отображение плотной информации, измеренной в системах координат на основе магнитно-резонансных изображений (МРТ), таких как мозг, было решено путем неточного сопоставления трехмерных МР-изображений друг с другом. Самое раннее введение использования диффеоморфного отображения через большие деформационные потоки диффеоморфизмов для преобразования систем координат в анализе изображений и медицинской визуализации было сделано Кристенсеном, Раббитом и Миллером ^{[17] [32]}и Труве. ^[33] Введение потоков, которые сродни уравнениям движения, используемым в гидродинамике, основано на представлении о том, что плотные координаты при анализе изображений следуют лагранжевым и эйлеровымуравнения движения. Эта модель становится более подходящей для поперечных исследований, в которых мозг и / или сердце не обязательно являются деформациями одного по отношению к другому. Методы, основанные на линейной или нелинейной энергии упругости, которая растет по мере удаления от карты идентичности шаблона, не подходят для поперечного исследования. Скорее, в моделях, основанных на лагранжевых и эйлеровых потоках диффеоморфизмов, ограничение связано с топологическими свойствами, такими как сохранение открытых множеств, непересекающиеся координаты, подразумевающие единственность и существование обратного отображения, и связанные множества, оставшиеся связными. Использование диффеоморфных методов быстро стало доминировать в области картографических методов после оригинальной статьи Кристенсена, и стали доступны быстрые и симметричные методы. ^{[19] [34]}

Такие методы мощны тем, что вводят понятия регулярности решений, так что их можно дифференцировать и вычислять локальные обратные. Недостатком этих методов является отсутствие связанного глобального свойства наименьшего действия, которое могло бы оценивать потоки с минимальной энергией. Это контрастирует между геодезическими движениями, которые занимают центральное место в изучении кинематики твердого тела, и многими проблемами, решаемыми в физике с помощью принципа наименьшего действия Гамильтона . В 1998 году Дюпюи, Гренандер и Миллер ^[35]установлены условия, гарантирующие существование решений для плотного согласования изображений в пространстве потоков диффеоморфизмов. Эти условия требуют действия, штрафующего кинетическую энергию, измеренную через норму Соболева на пространственных производных потока векторных полей.

Код с большой деформацией и диффеоморфным метрическим отображением (LDDMM), который Фейсал Бег разработал и реализовал для своей докторской диссертации в Университете Джона Хопкинса ^[36], разработал самый ранний алгоритмический код, который решал потоки с фиксированными точками, удовлетворяющие необходимым условиям для задачи сопоставления плотных изображений с учетом наименьшее действие. Вычислительная анатомия теперь имеет множество существующих кодов, организованных вокруг диффеоморфной регистрации ^[17], включая ANTS, ^[18] DARTEL, ^[19] DEMONS, ^[37] LDDMM, ^[2] StationaryLDDMM ^{[21] в} качестве примеров активно используемых вычислительных кодов для построения соответствий между системы координат на основе плотных изображений.

Эти методы большой деформации были распространены на ориентиры без регистрации с помощью согласования мер, кривых ^[38] , поверхностей ^[39] , ^[40] плотных векторных ^[41] и тензорных ^[42] изображений, а также варифолдов, удаляющих ориентацию. ^[43]

Модель орбиты диффеоморфизма в вычислительной анатомии [ править ]

Деформируемая форма в вычислительной анатомии (СА) ^{[44] [45] [46] [47]} изучается с помощью диффеоморфного отображения для установления соответствий между анатомическими координатами в медицинской визуализации. В этой настройке трехмерные медицинские изображения моделируются как случайная деформация некоторого образца, называемого шаблоном , с элементом набора наблюдаемых изображений в модели случайной орбиты CA для изображений . Шаблон отображается на цель путем определения вариационной задачи, в которой шаблон преобразуется с помощью диффеоморфизма, используемого в качестве изменения координаты, чтобы минимизировать условие сопоставления квадратичной ошибки между преобразованным шаблоном и целью.${\ displaystyle I_ {temp}}$${\ Displaystyle I \ in {\ mathcal {I}} \ doteq \ {I = I_ {temp} \ circ \ varphi, \ varphi \ in Diff_ {V} \}}$

Диффеоморфизмы порождаются гладкими потоками , при этом , удовлетворяя лагранжеву и эйлерову спецификацию поля потока, связанного с обыкновенным дифференциальным уравнением,${\ displaystyle \ phi _ {t}, т \ дюйм [0,1]}$${\ Displaystyle \ varphi \ doteq \ phi _ {1}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\phi _{t}=v_{t}\circ \phi _{t},\ \phi _{0}=id}$,

с тех эйлеровыми векторных полей , определяющих поток. Гарантируется, что векторные поля будут однократно непрерывно дифференцируемыми путем моделирования их в гладком гильбертовом пространстве, поддерживающем 1-непрерывную производную. ^[48] Обратное определяется векторным полем Эйлера с потоком, заданным формулой${\displaystyle v_{t},t\in [0,1]}$${\displaystyle v_{t}\in C^{1}}$ ${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle \phi _{t}^{-1},t\in [0,1]}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\phi _{t}^{-1}=-(D\phi _{t}^{-1})v_{t},\ \phi _{0}^{-1}=id\ .}$

( Обратный транспортный поток )

Чтобы гарантировать гладкие потоки диффеоморфизмов с обратным, векторные поля с компонентами в должны быть хотя бы один раз непрерывно дифференцируемыми в пространстве ^{[49] [50],} которые моделируются как элементы гильбертова пространства с использованием теорем вложения Соболева, так что каждый элемент имеет 3-кратно интегрируемые с квадратом слабые производные. Таким образом плавно вкладывается в одноразовые непрерывно дифференцируемые функции. ^{[37] [50]} Группа диффеоморфизмов - это потоки с векторными полями, абсолютно интегрируемые в норме Соболева.${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$${\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$

${\displaystyle Diff_{V}\doteq \{\varphi =\phi _{1}:{\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t},\phi _{0}=id,\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}dt<\infty \}\ .}$

( Группа диффеоморфизмов )

Вариационная задача сопоставления плотных изображений и сопоставления разреженных ориентиров [ править ]

Алгоритм LDDMM для плотного сопоставления изображений [ править ]

В CA пространство векторных полей моделируется как воспроизводящее гильбертово пространство ядра (RKHS), определяемое 1-1, дифференциальным оператором, определяющим норму, где интеграл вычисляется интегрированием по частям, когда является обобщенной функцией в двойственном пространстве . Дифференциальный оператор выбирается так, чтобы ядро ​​Грина, обратное оператору, было непрерывно дифференцируемым по каждой переменной, что означает, что векторные поля поддерживают 1-непрерывную производную ; необходимые условия на норму существования решений см. в ^[48] .${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$${\displaystyle A:V\rightarrow V^{*}}$${\displaystyle \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{R^{3}}Av\cdot vdx,\ v\in V\ ,}$${\displaystyle Av}$${\displaystyle V^{*}}$

Первоначальные алгоритмы диффеоморфного метрического отображения больших деформаций (LDDMM) Бега, Миллера, Трува, Юнеса ^[51] были получены с вариациями в отношении параметризации векторных полей группы, поскольку они находятся в векторных пространствах. Бег решил плотное сопоставление изображений, минимизируя интеграл действия кинетической энергии диффеоморфного потока при минимизации срока сопоставления конечных точек в соответствии с${\displaystyle v={\dot {\phi }}\circ \phi ^{-1}}$

• Итерационный алгоритм Бега для плотного сопоставления изображений

Обновлять до сходимости, на каждой итерации, с :${\displaystyle \phi _{t}^{old}\leftarrow \phi _{t}^{new}}$${\displaystyle \phi _{t1}\doteq \phi _{1}\circ \phi _{t}^{-1}}$

${\displaystyle {\begin{cases}&v_{t}^{new}(\cdot )=v_{t}^{old}(\cdot )-\epsilon (v_{t}^{old}-\int _{R^{3}}K(\cdot ,y)(I\circ \phi _{t}^{-1old}(y)-J\circ \phi _{t1}^{old}(y))\nabla (I\circ \phi _{t}^{-1old}(y))|D\phi _{t1}^{old}(y)|dy),t\in [0,1]\\&{\dot {\phi }}_{t}^{new}=v_{t}^{new}\circ \phi _{t}^{new},t\in [0,1]\end{cases}}}$

( Beg-LDDMM-итерация )

Отсюда следует, что неподвижная точка при удовлетворяет ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle \mu _{0}^{*}=Av_{0}^{*}=(I-J\circ \phi _{1}^{*})\nabla I|D\phi _{1}^{*}|}$,

что, в свою очередь, означает, что он удовлетворяет уравнению сохранения, заданному условием согласования конечных точек в соответствии с

${\displaystyle Av_{t}^{*}=(D\phi _{t}^{*-1})^{T}Av_{0}^{*}\circ \phi _{t}^{*-1}|D\phi _{t}^{*-1}|}$

^{[52] [53]}

LDDMM зарегистрировал соответствие ориентира [ править ]

Задача сопоставления ориентиров имеет точечное соответствие, определяющее условие конечной точки с геодезическими, заданными следующим минимумом:

${\displaystyle \min _{v:{\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t}}C(v)\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+{\frac {1}{2}}\sum _{i}(\phi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot (\phi _{1}(x_{i})-y_{i})}$;

На рисунке показано сопоставление плотных изображений LDMM. В верхнем ряду показан перенос изображения под потоком ; в средней строке показана последовательность векторных полей t = 0,1 / 5,2 / 5,3 / 5,4 / 5,1; нижняя строка показывает последовательность сеток под${\displaystyle I\circ \phi _{t}^{-1}}$${\displaystyle v_{t},}$${\displaystyle \phi _{t}.}$

• Итерационный алгоритм сопоставления ориентиров

Джоши первоначально определил зарегистрированную проблему сопоставления ориентиров. ^[3] Обновлять до сходимости, каждая итерация, с :${\displaystyle \phi _{t}^{old}\leftarrow \phi _{t}^{new}}$${\displaystyle \phi _{t1}\doteq \phi _{1}\circ \phi _{t}^{-1}}$

${\displaystyle {\begin{cases}&v_{t}^{new}(\cdot )=v_{t}^{old}(\cdot )-\epsilon (v_{t}^{old}+\sum _{i}K(\cdot ,\phi _{t}^{old}(x_{i}))(D\phi _{t1})^{oldT}|_{\phi _{t}^{old}(x_{i})}(y_{i}-\phi _{1}^{old}(x_{i})),t\in [0,1]\\&{\dot {\phi }}_{t}^{new}=v_{t}^{new}\circ \phi _{t}^{new},t\in [0,1]\end{cases}}}$

( Landmark-LDDMM-итерация )

Отсюда следует, что неподвижная точка удовлетворяет

${\displaystyle Av_{0}=-\sum _{i}(D\phi _{1})(x_{i})^{T}(y_{i}-\phi _{1}(x_{i}))\delta _{x_{i}}}$

с

${\displaystyle Av_{t}=-\sum _{i}(D\phi _{t1})^{T}|_{\phi _{t}(x_{i})}(y_{i}-\phi _{1}(x_{i}))\delta _{\phi _{t}(x_{i})}}$.

Варианты для плотного изображения LDDMM и сопоставления ориентиров [ править ]

Исчисление вариации было использовано в Beg ^{[49] [53]} для получения итерационного алгоритма в виде раствора , который , когда он сходится удовлетворяет необходимые условия максимайзера , данные необходимых условиями для первого изменения порядка , требующего изменение конечной точки по отношению к вариация первого порядка векторного поля. Производная по направлению вычисляет производную Гато, как вычислено в оригинальной статье Бега ^[49] и. ^{[54] [55]}

LDDMM Diffusion Tensor Image Matching [ править ]

Сопоставление LDDMM на основе главного собственного вектора матрицы тензора диффузии принимает изображение как единичное векторное поле, определенное первым собственным вектором.^[41] Групповое действие становится${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \varphi \cdot I={\begin{cases}{\frac {D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|I\circ \varphi ^{-1}\|}{\|D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|}}&I\circ \varphi \neq 0,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

где это означает норму квадратичной ошибки изображения.${\displaystyle \|\cdot \|}$

Сопоставление LDDMM на основе всей тензорной матрицы ^[56] имеет преобразованные групповым действием собственные векторы${\displaystyle \varphi \cdot M=(\lambda _{1}{\hat {e}}_{1}{\hat {e}}_{1}^{T}+\lambda _{2}{\hat {e}}_{2}{\hat {e}}_{2}^{T}+\lambda _{3}{\hat {e}}_{3}{\hat {e}}_{3}^{T})\circ \varphi ^{-1},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {e}}_{1}&={\frac {D\varphi e_{1}}{\|D\varphi e_{1}\|}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{2}={\frac {D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}}{\sqrt {\|D\varphi e_{2}\|^{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle ^{2}}}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{3}={\hat {e}}_{1}\times {\hat {e}}_{2}\end{aligned}}}$.

Задача плотного согласования на главный собственный вектор DTI [ править ]

Вариационная задача сопоставления на векторное изображение с конечной точкой${\displaystyle I^{\prime }(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle E(\phi _{1})\doteq \alpha \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot I-I^{\prime }\|^{2}\,dx+\beta \int _{{\mathbb {R} }^{3}}(\|\phi _{1}\cdot I\|-\|I^{\prime }\|)^{2}\,dx).}$

становится

${\displaystyle \min _{v:{\dot {\phi }}\circ \phi ^{-1}}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+\alpha \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot I-I^{\prime }\|^{2}\,dx+\beta \int _{{\mathbb {R} }^{3}}(\|\phi _{1}\cdot I\|-\|I^{\prime }\|)^{2}\,dx\ .}$

Проблема плотного сопоставления с DTI MATRIX [ править ]

Вариационная задача сопоставления на: с конечной точкой ${\displaystyle M^{\prime }(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle E(\phi _{1})\doteq \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot M(x)-M^{\prime }(x)\|_{F}^{2}dx}$

с нормой Фробениуса, дающей вариационную задачу${\displaystyle \|\cdot \|_{F}}$

${\displaystyle \min _{v:v={\dot {\phi }}\circ \phi ^{-1}}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+\alpha \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot M(x)-M^{\prime }(x)\|_{F}^{2}dx}$

( Плотный тензорDTI-Matching )

LDDMM ODF [ править ]

Диффузионная визуализация с высоким угловым разрешением (HARDI) устраняет хорошо известное ограничение DTI, то есть DTI может выявить только одну доминирующую ориентацию волокна в каждом месте. HARDI измеряет диффузию вдоль равномерно распределенных направлений на сфере и может охарактеризовать более сложные геометрические формы волокон путем восстановления функции распределения ориентации (ODF), которая характеризует угловой профиль функции плотности вероятности диффузии молекул воды. ODF есть функция , определенная на единичной сфере, . ^[57] Обозначим квадратный корень ODF ( ) как , где неотрицательно, чтобы гарантировать уникальность и . Метрика определяет расстояние между двумя функциями как ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathbb {S} }^{2}}$${\displaystyle {\sqrt {\text{ODF}}}}$${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$${\displaystyle \int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi ^{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}=1}$${\displaystyle {\sqrt {\text{ODF}}}}$${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}\in \Psi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (\psi _{1},\psi _{2})=\|\log _{\psi _{1}}(\psi _{2})\|_{\psi _{1}}=\cos ^{-1}\langle \psi _{1},\psi _{2}\rangle =\cos ^{-1}\left(\int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi _{1}({\bf {s}})\psi _{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}\right),\end{aligned}}}$

где - нормальное скалярное произведение между точками на сфере под метрикой. Шаблон и целевой обозначаются , , индексированных по единичной сфере и области изображения с целевой индексируются аналогичным образом .${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \mathrm {L} ^{2}}$${\displaystyle \psi _{\mathrm {temp} }({\bf {s}},x)}$${\displaystyle \psi _{\mathrm {targ} }({\bf {s}},x)}$${\displaystyle {\bf {s}}\in {{\mathbb {S} }^{2}}}$${\displaystyle x\in X}$

Определите вариационную задачу, предполагая, что два объема ODF могут быть преобразованы друг в друга с помощью потоков диффеоморфизмов , которые являются решениями обыкновенных дифференциальных уравнений . Групповое действие диффеоморфизма на шаблоне задается согласно , где - якобиан аффинно преобразованного ODF и определяется как${\displaystyle \phi _{t}}$${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}=v_{t}(\phi _{t}),t\in [0,1],\phi _{0}={id}}$${\displaystyle \phi _{1}\cdot \psi (x)\doteq (D\phi _{1})\psi \circ \phi _{1}^{-1}(x),x\in X}$${\displaystyle (D\phi _{1})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(D\phi _{1})\psi \circ \phi _{1}^{-1}(x)={\sqrt {\frac {\det {{\bigl (}D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}}}{\left\|{{\bigl (}D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}}{\bf {s}}\right\|^{3}}}}\quad \psi \left({\frac {(D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}}{\|(D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}\|}},\phi _{1}^{-1}(x)\right).\end{aligned}}}$

Вариационная задача LDDMM определяется как

${\displaystyle {\begin{aligned}\min _{v:{\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t},\phi _{0}={id}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dx\ dt+\lambda \int _{R^{3}}\|\log _{(D\phi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \phi _{1}^{-1}(x)}(\psi _{\mathrm {targ} }(x))\|_{(D\phi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \phi _{1}^{-1}(x)}^{2}dx\end{aligned}}}$.

Гамильтониан LDDMM для плотного сопоставления изображений [ править ]

Бег решил ранние алгоритмы LDDMM, решая вариационное сопоставление с вариациями по отношению к векторным полям. ^[58] Другое решение, предложенное Виаларом, ^[59] изменяет параметры задачи оптимизации в терминах состояния , для изображения , с уравнением динамики, управляющим состоянием с помощью управления, заданного в терминах уравнения переноса согласно . Термин сопоставления конечных точек дает вариационную задачу:${\displaystyle q_{t}\doteq I\circ \phi _{t}^{-1},q_{0}=I}$${\displaystyle I(x),x\in X=R^{3}}$${\displaystyle {\dot {q}}_{t}=-\nabla q_{t}\cdot v_{t}}$${\displaystyle E(q_{1})\doteq {\frac {1}{2}}\|q_{1}-J\|^{2}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&\ \ \ \ \ \min _{v:{\dot {q}}=v\circ q}C(v)\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+{\frac {1}{2}}\int _{{\mathbb {R} }^{3}}|q_{1}(x)-J(x)|^{2}dx\end{matrix}}}$

( Адвективное состояние-сопоставление изображений )

${\displaystyle {\begin{cases}{\text{Hamiltonian Dynamics}}&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\dot {q}}_{t}=-\nabla q_{t}\cdot v_{t}\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\dot {p}}_{t}=-{\text{div}}(p_{t}v_{t}),\ \ \ \ t\in [0,1]\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Av_{t}=\mu _{t}=-p_{t}\nabla q_{t}\\{\text{Endpoint Condition}}&\ \ \ \ \ \ \ \ \ p_{1}=-{\frac {\partial E}{\partial q_{1}}}(q_{1})=-(q_{1}-J)=-(I\circ \phi _{1}^{-1}-J)\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Av_{1}=\mu _{1}=(I\circ \phi _{1}^{-1}-J)\nabla (I\circ \phi _{1}^{-1})\ \ t=1\ .\\{\text{Conserved Dynamics}}&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ p_{t}=-(I\circ \phi _{t}^{-1}-J\circ \phi _{t1})|D\phi _{t1}|\ ,\ \ t\in [0,1]\ .\\\end{cases}}}$

( Гамильтоново условие согласования )

Программное обеспечение для диффеоморфного отображения [ править ]

Программные комплексы, содержащие различные алгоритмы диффеоморфного отображения, включают следующее:

• Деформетрика ^[60]
• МУРАВЬИ ^[18]
• DARTEL ^[61] Морфометрия на основе вокселей (VBM)
• ДЕМОНЫ ^[62]
• LDDMM ^[2]
• Стационарный ЛДДММ ^[21]

Облачное программное обеспечение [ править ]

• MRICloud ^[63]

См. Также [ править ]

• Computational anatomy # Плотное сопоставление изображений в вычислительной анатомии
• Риманова метрика и скобка Ли в вычислительной анатомии
• Байесовская модель вычислительной анатомии

Ссылки [ править ]