Модель рынка LIBOR

Модель рынка LIBOR , также известная как BGM Model ( Brace Gatarek Musiela модель , ссылаясь на имена некоторых из изобретателей) является финансовой моделью из процентных ставок . ^[1] Он используется для ценообразования производных процентных ставок , особенно экзотических деривативов, таких как бермудские свопционы, фиксированные ограничения и минимальные уровни, целевые примечания к погашению, автокопы, свопы с нулевым купоном, свопы с постоянным сроком погашения и опционы спреда, среди многих других. Моделируемые величины, а не краткосрочные или мгновенные форвардные курсы (как в рамках модели Хита – Джарроу – Мортона ), представляют собой наборфорвардные ставки (также называемые форвардными ставками LIBOR ), преимущество которых заключается в том, что они непосредственно наблюдаемы на рынке, и чья волатильность естественным образом связана с торгуемыми контрактами. Каждая форвардная ставка моделируется логнормальным процессом в соответствии с ее форвардной мерой , то есть моделью Блэка, приводящей к формуле Блэка для пределов процентных ставок.. Эта формула является рыночным стандартом для котировки капитальных цен с точки зрения подразумеваемой волатильности, отсюда и термин «рыночная модель». Модель рынка LIBOR можно интерпретировать как совокупность форвардной динамики LIBOR для различных форвардных ставок с охватом срока и сроков погашения, при этом каждая форвардная ставка соответствует формуле кэплета процентной ставки Black для ее канонического срока погашения. Можно записать различную динамику ставок в рамках общей меры ценообразования , например форвардной меры для предпочтительного единого срока погашения, и в этом случае форвардные ставки не будут логнормальными для единой меры в целом, что приведет к необходимости в численных методах, таких как моделирование Монте-Карло или приближения, такие как предположение о замороженном дрейфе.

Модель динамическая [ править ]

Модели рынка LIBOR моделирует набор форвардных ставок , а логнормальные процессы. В соответствии с соответствующей мерой -Forward $n$ $L_{j}$ $j=1,\ldots ,n$ $T_{j}$ $Q_{T_{j+1}}$

dL_{j}(t)=\mu _{j}(t)L_{j}(t)dt+\sigma _{j}(t)L_{j}(t)dW^{Q_{T_{j+1}}}(t){\text{.}}

^[2]

Здесь мы можем считать это (центрированный процесс). Здесь - форвардный курс за период . Для каждого отдельного форвардного курса модель соответствует модели Блэка. $\mu _{j}(t)=0,\forall t$ $L_{j}$ $[T_{j},T_{j+1}]$

Новизна состоит в том, что, в отличие от модели Блэка , рыночная модель LIBOR описывает динамику целого семейства форвардных ставок в рамках общей меры. Теперь вопрос в том, как переключаться между различными мерами -Forward. С помощью многомерной теоремы Гирсанова можно показать ^[3]^[4], что $T$

dW^{Q_{T_{j}}}(t)={\begin{cases}dW^{Q_{T_{p}}}(t)-\sum \limits _{k=j+1}^{p}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt\qquad j<p\\dW^{Q_{T_{p}}}(t)\qquad \qquad \qquad \quad \quad \quad \quad \quad \quad j=p\\dW^{Q_{T_{p}}}(t)+\sum \limits _{k=p+1}^{j}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt\qquad \quad j>p\\\end{cases}}

а также

dL_{j}(t)={\begin{cases}L_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW^{Q_{T_{p}}}(t)-L_{j}(t)\sum \limits _{k=j+1}^{p}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{j}(t){\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt\qquad j<p\\L_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW^{Q_{T_{p}}}(t)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \quad j=p\\L_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW^{Q_{T_{p}}}(t)+L_{j}(t)\sum \limits _{k=p+1}^{j}{\frac {\delta L_{k}(t)}{1+\delta L_{k}(t)}}{\sigma }_{j}(t){\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt\quad \qquad j>p\\\end{cases}}

Ссылки [ править ]

^ М. Musiela, М. Rutkowski: методы мартингейла в финансовом моделировании. 2-е изд. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2004. Печать.
^ https://livre.fnac.com/a2698675/Olivier-Drean-Le-guide-de-la-pratique-de-la-finance
^ D. Papaioannou (2011): "Прикладная многомерная теорема Гирсанова", SSRN
^ "Сопровождение к курсу моделирования процентных ставок: с обсуждением моделей Black-76, Vasicek и HJM и мягким введением в многомерную рыночную модель LIBOR"

Литература [ править ]

Брейс, А., Гатарек, Д. и Мусиела, М. (1997): «Рыночная модель динамики процентной ставки», «Математические финансы», 7 (2), 127-154.
Милтерсен К., Сандманн К. и Д. Зондерманн (1997): «Решения в закрытой форме для производных срочной структуры с логарифмически нормальными процентными ставками», Journal of Finance, 52 (1), 409-430.
Вернц, Дж. (2020): «Банковское управление и контроль», Springer Nature, 85-88

Внешние ссылки [ править ]

Java-апплеты для ценообразования в соответствии с рыночной моделью LIBOR и методами Монте-Карло
Исходный код Jave и электронная таблица модели рынка LIBOR, включая калибровку для обмена и оценку продукта
Конспект лекций Дамиано Бриго о модели рынка LIBOR для курса с фиксированным доходом Университета Боккони

[1] М. Musiela, М. Rutkowski: методы мартингейла в финансовом моделировании. 2-е изд. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2004. Печать.

[2] ttps://livre.fnac.com/a2698675/Olivier-Drean-Le-guide-de-la-pratique-de-la-finance

[3] D. Papaioannou (2011): "Прикладная многомерная теорема Гирсанова", SSRN

[4] "Сопровождение к курсу моделирования процентных ставок: с обсуждением моделей Black-76, Vasicek и HJM и мягким введением в многомерную рыночную модель LIBOR"

[1]

vтеСтохастические процессы
Дискретное время	Процесс Бернулли Ветвящийся процесс Китайский ресторанный процесс Процесс Гальтона – Ватсона Независимые и одинаково распределенные случайные величины Цепь Маркова Процесс Морана Случайная прогулка Со стертой петлей Избегать себя Пристрастный Максимальная энтропия
Непрерывное время	Аддитивный процесс Бесселевский процесс Процесс рождения – смерти чистое рождение Броуновское движение Мост Экскурсия Дробное Геометрический Меандр Процесс Коши Контактный процесс Случайное блуждание в непрерывном времени Процесс Кокса Процесс диффузии Эмпирический процесс Валочный процесс Процесс Флеминга – Виота Гамма-процесс Геометрический процесс Процесс Хокса Процесс охоты Системы взаимодействующих частиц Ито диффузия Процесс Ито Скачок диффузии Перейти процесс Леви процесс Местное время Марковский аддитивный процесс Процесс Маккина – Власова Процесс Орнштейна – Уленбека Пуассоновский процесс Сложный Неоднородный Эволюция Шрамма – Лёвнера Семимартингейл Сигма-мартингейл Стабильный процесс Суперпроцесс Телеграфный процесс Вариант гамма-процесса Винеровский процесс Венская колбаса
Оба	Ветвящийся процесс Модель Гальвеса – Лёхербаха Гауссовский процесс Скрытая марковская модель (HMM) Марковский процесс Мартингейл Отличия Местный Суб- Супер- Случайная динамическая система Регенеративный процесс Процесс продления Стохастические цепочки с памятью переменной длины белый шум
Поля и прочее	Процесс Дирихле Гауссовское случайное поле Мера Гиббса Модель Хопфилда Модель Изинга Модель Поттса Логическая сеть Марковское случайное поле Перколяция Процесс Питмана – Йорка Точечный процесс Кокс Пуассон Случайное поле Случайный график
Модели временных рядов	Модель авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH) Модель авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA) Модель авторегрессии (AR) Модель авторегрессии – скользящего среднего (ARMA) Модель обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности (GARCH) Модель скользящего среднего (MA)
Финансовые модели	Модель ценообразования биномиальных опционов Блэк – Дерман – Той Черный – Карасинский Блэк – Скоулз Чен Постоянная эластичность дисперсии (CEV) Кокс – Ингерсолл – Росс (CIR) Гарман – Кольхаген Хит – Джарроу – Мортон (HJM) Heston Хо – Ли Корпус – Белый Рынок LIBOR Рендлман – Барттер Волатильность SABR Вашичек Уилки
Актуарные модели	Бюльманн Крамер-Лундберг Рисковый процесс Спарре – Андерсон
Модели организации очередей	Масса Жидкость Обобщенная сеть массового обслуживания M / G / 1 M / M / 1 М / м / ц
Характеристики	Càdlàg тропы Непрерывный Непрерывные пути Эргодический Заменяемый Валочно-непрерывный Гаусс – Марков Марков Смешивание Кусочно-детерминированный Предсказуемый Постепенно измеримый Самоподобный Стационарный Обратимый во времени
Предельные теоремы	Центральная предельная теорема Теорема Донскера Теоремы Дуба о сходимости мартингалов Эргодическая теорема Теорема Фишера – Типпета – Гнеденко. Принцип большого отклонения Закон больших чисел (слабый / сильный) Закон повторного логарифма Максимальная эргодическая теорема Теорема Санова Законы нуля или единицы ( Блюменталь , Борель – Кантелли , Энгельберт – Шмидт , Хьюитт – Сэвидж , Колмогоров , Леви )
Неравенства	Буркхолдер – Дэвис – Ганди Мартингейл Дуба Апкроссинг Дуба Кунита – Ватанабэ
Инструменты	Формула Камерона – Мартина Сходимость случайных величин Показательная величина Далеана-Даде Теорема Дуба о разложении Теорема Дуба – Мейера о разложении Теорема Дуба об необязательной остановке Формула Дынкина Формула Фейнмана – Каца Фильтрация Теорема Гирсанова Генератор бесконечно малых Ито интегральный Лемма Ито Теорема Карунена – Лоэва Колмогорова теорема непрерывности Колмогорова теорема о продолжении Метрика Леви – Прохорова Исчисление Маллявэна Теорема о мартингальном представлении Теорема о необязательной остановке Теорема Прохорова Квадратичная вариация Принцип отражения Скороход интеграл Теорема Скорохода о представлении Пространство Скорохода Конверт Снелла Стохастическое дифференциальное уравнение Танака Время остановки Интеграл Стратоновича Равномерная интегрируемость Обычные гипотезы Винеровское пространство Классический Абстрактный
Дисциплины	Актуарная математика Теория управления Эконометрика Эргодическая теория Теория экстремальных ценностей (EVT) Теория больших отклонений Математические финансы Математическая статистика Теория вероятности Теория массового обслуживания Теория обновления Теория разорения Обработка сигналов Статистика Система на чип- дизайне Стохастический анализ Анализ временных рядов Машинное обучение
Список тем Категория