Черная модель

Эта статья включает в себя список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Март 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Модель Блэка (иногда известная как модель Блэка-76 ) представляет собой вариант модели ценообразования опционов Блэка – Шоулза . Его основные приложения для ценообразования опционы на фьючерсные контракты , опционы на облигации , колпачком процентной ставки и полов , а также свопционов . Впервые он был представлен в статье, написанной Фишером Блэком в 1976 году.

Модель Блэка может быть обобщена на класс моделей, известных как логарифмически нормальные форвардные модели, также называемые рыночной моделью LIBOR .

Формула Блэка [ править ]

Формула Блэка аналогична формуле Блэка – Шоулза для оценки опционов на акции, за исключением того, что спотовая цена базового актива заменяется дисконтированной ценой фьючерса F.

Предположим, что существует постоянная безрисковая процентная ставка r и фьючерсная цена F (t) конкретного базового актива логнормальна с постоянной волатильностью σ . Тогда формула Блэка утверждает, что цена европейского опциона колл со сроком погашения T на фьючерсный контракт с ценой исполнения K и датой поставки T ' (с ) равна${\ displaystyle T '\ geq T}$

${\ displaystyle c = e ^ {- rT} [FN (d_ {1}) - KN (d_ {2})]}$

Соответствующая цена пут составляет

${\ displaystyle p = e ^ {- rT} [KN (-d_ {2}) - FN (-d_ {1})]}$

куда

${\ displaystyle d_ {1} = {\ frac {\ ln (F / K) + (\ sigma ^ {2} / 2) T} {\ sigma {\ sqrt {T}}}}}$

${\ displaystyle d_ {2} = {\ frac {\ ln (F / K) - (\ sigma ^ {2} / 2) T} {\ sigma {\ sqrt {T}}}} = d_ {1} - \ sigma {\ sqrt {T}},}$

и N (.) - кумулятивная функция нормального распределения .

Обратите внимание , что Т» не в формулах , хотя она может быть больше , чем Т . Это связано с тем, что фьючерсные контракты привязаны к рынку, и поэтому выплата осуществляется при исполнении опциона. Если мы рассмотрим опцион на форвардный контракт, истекающий в момент времени T '> T , выплата не произойдет до T' . Таким образом, коэффициент дисконтирования заменяется на, поскольку необходимо учитывать временную стоимость денег . Разница в двух случаях очевидна из приведенного ниже вывода.${\ displaystyle e ^ {- rT}}$${\ displaystyle e ^ {- rT '}}$

Вывод и предположения [ править ]

Формула Блэка легко выводится из формулы Марграба , которая, в свою очередь, представляет собой простое, но умное применение формулы Блэка – Шоулза .

Выплата по опциону колл по фьючерсному контракту составляет max (0, F (T) - K) . Мы можем рассмотреть этот вариант обмена (Margrabe), рассматривая первый актив быть и второй актив будет безрисковая облигация погашения $ 1 в момент времени T . Затем опцион колл исполняется в момент времени T, когда стоимость первого актива превышает K безрисковых облигаций. Предположения формулы Марграбе удовлетворяются этими активами.${\ Displaystyle е ^ {- г (Тт)} F (т)}$

Единственное, что нужно проверить, это то, что первый актив действительно является активом. Это можно увидеть, рассматривая портфель, сформированный в момент времени 0 путем открытия длинной позиции по форвардному контракту с датой поставки T и короткой позиции по безрисковым облигациям F (0) (обратите внимание, что при детерминированной процентной ставке форвардная и фьючерсная цены равны, поэтому нет двусмысленность здесь). Тогда в любой момент т вы можете отдохнуть ваши обязательства по форвардного контракта на короткое замыкание другой вперед с той же датой доставки , чтобы получить разницу в ценах вперед, но со скидкой до текущей стоимости: . Ликвидация безрисковых облигаций F (0) , каждая из которых стоит , приводит к чистой выплате в размере .${\ Displaystyle е ^ {- г (Tt)} [F (t) -F (0)]}$${\ displaystyle e ^ {- r (Tt)}}$${\ Displaystyle е ^ {- г (Тт)} F (т)}$

См. Также [ править ]

• Финансовая математика
• Блэк – Скоулз
• Описание приложений
  • Вариант облигации # Оценка
  • Фьючерсный контракт # Опционы на фьючерс
  • Верхний и нижний предел процентной ставки # Черная модель
  • Обмен # Оценка

Ссылки [ править ]

• Черный, Фишер (1976). Ценообразование товарных контрактов, Журнал финансовой экономики, 3, 167-179.
• Гарман, Марк Б. и Стивен В. Кольхаген (1983). Стоимость опционов в иностранной валюте, Journal of International Money and Finance, 2, 231-237.
• Милтерсен, К., Сандманн, К. и Зондерманн, Д. (1997): "Решения в закрытой форме для производных срочной структуры с логарифмически нормальными процентными ставками", Journal of Finance, 52 (1), 409-430.

Внешние ссылки [ править ]

Обсуждение

• Варианты облигаций, кепки и черная модель Доктор Милика Кудина, Техасский университет в Остине

Онлайн-инструменты

• Калькулятор Caplet и Floorlet Доктор Шинг Хинг Ман, Управление рисками Thomson-Reuters