Константа Лежандра является математической константой , происходящей в формуле предположила по Лежандр , чтобы захватить асимптотическое поведение в функции прайма-счетах . Теперь известно, что его значение равно 1 .
Изучение имеющихся числовых свидетельств известных простых чисел привело Лежандра к подозрению, что удовлетворяет приближенной формуле.
Лежандр в 1808 г. предположил, что
Или аналогично,
где B - постоянная Лежандра. Он предположил, что B составляет около 1,08366, но независимо от его точного значения из существования B следует теорема о простых числах .
Пафнутый Чебышев доказал в 1849 г. [2], что если предел B существует, он должен быть равен 1. Более простое доказательство было дано Пинцем в 1980 г. [3]
Это непосредственное следствие теоремы о простых числах в точной форме с явной оценкой погрешности.
(для некоторой положительной константы а , где O (...) является большой нотации O ), как было доказано в 1899 году Шарль - де - Ла Валле Пуссен , [4] , что B действительно равен 1. (простое число теорема была доказана в 1896 г., независимо Жаком Адамаром [5] и Ла Валле Пуссеном [6], но без какой-либо оценки вовлеченного члена ошибки).
При оценке такого простого числа термин «константа Лежандра» в основном имеет историческое значение, при этом он часто (технически неправильно) используется для обозначения первого предположения Лежандра 1.08366 ... вместо этого.
Пьер Дюзар доказал в 2010 году
- для , а также
- для . [7] Имеет ту же форму, что и
- с участием .
Рекомендации
- ^ Ribenboim Пауло (2004). Маленькая книга больших простых чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 188. ISBN 0-387-20169-6.
- ^ Эдмунд Ландау . Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, стр. 17. Третье (исправленное) издание, два тома в одном, 1974, Челси, 1974
- ^ Дж. Пинц. О формуле простого числа Лежандра. Амер. Математика. Ежемесячно 87 (1980), 733-735.
- ↑ La Vallée Poussin, C. Mém. Couronnés Acad. Рой. Belgique 59, 1–74, 1899 г.
- ^ Sur la distribution des zéros de la fonctionet ses conséquences arithmétiques , Bulletin de la Société Mathématique de France, Vol. 24, 1896, стр. 199-220 Интернет архивации 2012-07-17 в Wayback Machine
- ^ «Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers», Annales de la société scientifique de Bruxelles, vol. 20, 1896, стр. 183-256 и 281-361
- ^ Дюзар, Пьер (2010). «Оценки некоторых функций над простыми числами без RH». arXiv : 1002.0442 [ math.NT ].