В абстрактной алгебре внутренняя алгебра — это определенный тип алгебраической структуры , которая кодирует идею топологической внутренней части множества. Внутренние алгебры относятся к топологии и модальной логике S4 так же, как булевы алгебры относятся к теории множеств и обычной логике высказываний . Внутренние алгебры образуют множество модальных алгебр .
является булевой алгеброй, а постфикс I обозначает унарный оператор , внутренний оператор , удовлетворяющий тождествам:
Двойственный внутреннему оператору является оператор замыкания C , определяемый как x C = (( x ′) I )′. x C называется замыканием x . _ По принципу двойственности оператор замыкания удовлетворяет тождествам:
Если оператор замыкания считается примитивным, внутренний оператор может быть определен как x I = (( x ′) C )′. Таким образом, теория внутренних алгебр может быть сформулирована с использованием оператора замыкания вместо внутреннего оператора, и в этом случае рассматриваются алгебры замыкания вида ⟨ S , ·, +, ′, 0, 1, C ⟩, где ⟨ S , · , +, ′, 0, 1⟩ снова является булевой алгеброй, и C удовлетворяет приведенным выше тождествам для оператора замыкания. Замкнутость и внутренние алгебры образуют дуальныепары и являются парадигматическими примерами «булевых алгебр с операторами». Ранняя литература по этому вопросу (в основном польская топология) использовала операторы замыкания, но формулировка внутреннего оператора в конечном итоге стала нормой после работы Вима Блока .
Элементы внутренней алгебры, удовлетворяющие условию x I = x , называются открытыми . Дополнения открытых элементов называются замкнутыми и характеризуются условием x C = x . Внутренняя часть элемента всегда открыта, а закрытие элемента всегда закрыто. Внутренности закрытых элементов называются правильными открытыми , а замыкания открытых элементов называются правильными закрытыми . Элементы, которые одновременно открыты и закрыты, называются cloopen . 0 и 1 закрыты.
Внутренняя алгебра называется булевой , если все ее элементы открыты (и, следовательно, замкнуто-открыты). Булевы внутренние алгебры можно идентифицировать с обычными булевыми алгебрами, поскольку их внутренние операторы и операторы замыкания не обеспечивают значимой дополнительной структуры. Особым случаем является класс тривиальных внутренних алгебр, которые представляют собой одноэлементные внутренние алгебры, характеризующиеся тождеством 0 = 1.