Линейное неравенство

В математике линейное неравенство - это неравенство, которое включает линейную функцию . Линейное неравенство содержит один из символов неравенства :. ^[1] Он показывает данные, которые не равны в форме графика.

• <меньше чем
• > больше чем
• ≤ меньше или равно
• ≥ больше или равно
• ≠ не равно
• = равно

Линейное неравенство выглядит в точности как линейное уравнение , в котором знак неравенства заменен знаком равенства.

Линейные неравенства действительных чисел [ править ]

Двумерные линейные неравенства [ править ]

График линейного неравенства:
x + 3y <9

Двумерные линейные неравенства - это выражения с двумя переменными вида:

${\ displaystyle ax + by <c {\ text {and}} ax + by \ geq c,}$

где неравенства могут быть как строгими, так и нет. Множество решений такого неравенства можно графически представить полуплоскостью (все точки на одной «стороне» фиксированной прямой) в евклидовой плоскости. ^[2] Линия, определяющая полуплоскости ( ax + by = c ), не включается в набор решений, если неравенство строгое. Простая процедура для определения, какая полуплоскость находится в наборе решений, состоит в том, чтобы вычислить значение ax + by в точке ( x ₀ , y ₀ ), которая не находится на линии, и наблюдать, выполняется ли неравенство.

Например, ^[3], чтобы нарисовать набор решений x + 3 y <9, сначала рисуется линия с уравнением x + 3 y = 9 в виде пунктирной линии, чтобы указать, что линия не включена в набор решений, поскольку неравенство строгое. Затем выберите удобную точку не на линии, например (0,0). Поскольку 0 + 3 (0) = 0 <9, эта точка находится в множестве решений, поэтому полуплоскость, содержащая эту точку (полуплоскость «ниже» линии), является множеством решений этого линейного неравенства.

Линейные неравенства в общих измерениях [ править ]

В R ⁿ линейные неравенства - это выражения, которые можно записать в виде

${\ displaystyle f ({\ bar {x}}) <b}$ или же ${\ displaystyle f ({\ bar {x}}) \ leq b,}$

где f - линейная форма (также называемая линейным функционалом ), а b - постоянное действительное число.${\displaystyle {\bar {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

Более конкретно, это можно записать как

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<b}$

или же

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leq b.}$

Здесь называются неизвестными, а называются коэффициентами.${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$

В качестве альтернативы их можно записать как

${\displaystyle g(x)<0\,}$ или же ${\displaystyle g(x)\leq 0,}$

где g - аффинная функция . ^[4]

То есть

${\displaystyle a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<0}$

или же

${\displaystyle a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leq 0.}$

Обратите внимание, что любое неравенство, содержащее знак «больше» или «больше или равно», можно переписать со знаком «меньше» или «меньше или равно», поэтому нет необходимости определять линейные неравенства с использованием этих знаков.

Системы линейных неравенств [ править ]

Система линейных неравенств - это набор линейных неравенств с одинаковыми переменными:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}}$

Вот неизвестные, - коэффициенты системы и - постоянные члены.${\displaystyle x_{1},\ x_{2},...,x_{n}}$${\displaystyle a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn}}$${\displaystyle b_{1},\ b_{2},...,b_{m}}$

Кратко это можно записать как матричное неравенство

${\displaystyle Ax\leq b,}$

где A - матрица размера m × n , x - вектор-столбец переменных n × 1 , а b - вектор-столбец констант размером m × 1. ^{[ необходима цитата ]}

В указанных выше системах могут использоваться как строгие, так и нестрогие неравенства.

• Не все системы линейных неравенств имеют решения.

Переменные можно исключить из систем линейных неравенств методом исключения Фурье – Моцкина . ^[5]

Приложения [ править ]

Многогранники [ править ]

Множество решений действительного линейного неравенства составляет полупространство n-мерного реального пространства, одно из двух, определяемых соответствующим линейным уравнением.

Множество решений системы линейных неравенств соответствует пересечению полупространств, определяемых отдельными неравенствами. Это выпуклое множество , поскольку полупространства являются выпуклыми множествами, и пересечение множества выпуклых множеств также является выпуклым. В невырожденных случаях это выпуклое множество представляет собой выпуклый многогранник (возможно, неограниченный, например, полупространство, плита между двумя параллельными полупространствами или многогранный конус ). Он также может быть пустым или выпуклый многогранник меньшей размерности ограничена к аффинного подпространства в п - мерном пространстве R ^п .

Линейное программирование [ править ]

Задача линейного программирования направлена ​​на оптимизацию (поиск максимального или минимального значения) функции (называемой целевой функцией ) с учетом ряда ограничений на переменные, которые, как правило, являются линейными неравенствами. ^[6] Список ограничений представляет собой систему линейных неравенств.

Обобщение [ править ]

Приведенное выше определение требует четко определенных операций сложения , умножения и сравнения ; поэтому понятие линейного неравенства может быть распространено на упорядоченные кольца и, в частности, на упорядоченные поля .

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Ангел, Аллен Р .; Портер, Стюарт Р. (1989), Обзор математики с приложениями (3-е изд.), Addison-Wesley, ISBN 0-201-13696-1
• Миллер, Чарльз Д .; Херен, Верн Э. (1986), Математические идеи (5-е изд.), Скотт, Форесман, ISBN 0-673-18276-2

Внешние ссылки [ править ]

• Khan Academy: линейное неравенство, бесплатные микролекции онлайн