Лог-полярные координаты

В математике , лог-полярные координаты (или логарифмические полярные координаты ) представляют собой систему координат в двух измерениях, где точка идентифицируются два числами, один для логарифма расстояния до определенной точки, и один для угла . Лог-полярные координаты тесно связаны с полярными координатами , которые обычно используются для описания областей на плоскости с некоторой вращательной симметрией . В таких областях, как гармонический и комплексный анализ , лог-полярные координаты более каноничны, чем полярные.

Преобразования определений и координат [ править ]

Лог-полярные координаты на плоскости состоят из пары действительных чисел (ρ, θ), где ρ - логарифм расстояния между данной точкой и началом координат, а θ - угол между линией отсчета ( осью x ) и линия, проходящая через начало координат и точку. Угловая координата такая же, как для полярных координат, а радиальная координата преобразуется по правилу

${\ Displaystyle г = е ^ {\ rho}}$.

где - расстояние до начала координат. Формулы для преобразования декартовых координат в лог-полярные координаты имеют вид${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ rho = \ log {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}, \\\ theta = \ arctan y / x {\ hbox {if}} x > 0. \ end {case}}}$^{[ сомнительно - обсудить ]}

а формулы для преобразования лог-полярных координат в декартовы имеют вид

${\ displaystyle {\ begin {cases} x = e ^ {\ rho} \ cos \ theta, \\ y = e ^ {\ rho} \ sin \ theta. \ end {cases}}}$

Используя комплексные числа ( x ,  y ) =  x  +  iy , последнее преобразование можно записать как

${\ Displaystyle х + iy = е ^ {\ rho + я \ тета}}$

т.е. комплексная экспоненциальная функция. Из этого следует, что основные уравнения в гармоническом и комплексном анализе будут иметь такую ​​же простую форму, что и в декартовых координатах. Это не относится к полярным координатам.

Некоторые важные уравнения в лог-полярных координатах [ править ]

Уравнение Лапласа [ править ]

Уравнение Лапласа в двух измерениях дается выражением

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} = 0 }$

в декартовых координатах. Запись того же уравнения в полярных координатах дает более сложное уравнение

${\ displaystyle r {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} \ right) + {\ frac {\ partial ^ {2} u } {\ partial \ theta ^ {2}}} = 0}$

или эквивалентно

${\ displaystyle \ left (r {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ right) ^ {2} u + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial \ theta ^ {2}} } = 0}$

Однако из соотношения следует, что так уравнение Лапласа в лог-полярных координатах,${\ Displaystyle г = е ^ {\ rho}}$${\ displaystyle r {\ frac {\ partial} {\ partial r}} = {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial \rho ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}=0}$

имеет то же простое выражение, что и в декартовых координатах. Это верно для всех систем координат, где преобразование в декартовы координаты задается конформным отображением . Таким образом, при рассмотрении уравнения Лапласа для части плоскости с вращательной симметрией, например кругового диска, лог-полярные координаты являются естественным выбором.

Уравнения Коши – Римана [ править ]

Аналогичная ситуация возникает при рассмотрении аналитических функций . Аналитическая функция, записанная в декартовых координатах, удовлетворяет уравнениям Коши – Римана:${\displaystyle f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},\ \ \ \ \ \ {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$

Если вместо этого функция выражается в полярной форме , уравнения Коши – Римана принимают более сложный вид${\displaystyle f(re^{i\theta })=Re^{i\Phi }}$

${\displaystyle r{\frac {\partial \log R}{\partial r}}={\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\ \ \ \ \ \ {\frac {\partial \log R}{\partial \theta }}=-r{\frac {\partial \Phi }{\partial r}},}$

Как и в случае с уравнением Лапласа, простая форма декартовых координат восстанавливается путем преобразования полярных координат в логополярные (let ):${\displaystyle P=\log R}$

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial \rho }}={\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\ \ \ \ \ \ {\frac {\partial P}{\partial \theta }}=-{\frac {\partial \Phi }{\partial \rho }}}$

Уравнения Коши – Римана также можно записать в одном уравнении в виде

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)f(x+iy)=0}$

Выражая и через и, это уравнение можно записать в эквивалентной форме${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \rho }}}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial \rho }}+i{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)f(e^{\rho +i\theta })=0}$

Уравнение Эйлера [ править ]

Когда кто-то хочет решить задачу Дирихле в области с вращательной симметрией, обычно следует использовать метод разделения переменных для уравнений в частных производных для уравнения Лапласа в полярной форме. Это значит, что вы пишете . Уравнение Лапласа затем разделяется на два обыкновенных дифференциальных уравнения${\displaystyle u(r,\theta )=R(r)\Theta (\theta )}$

${\displaystyle {\begin{cases}\Theta ''(\theta )+\nu ^{2}\Theta (\theta )=0\\r^{2}R''(r)+rR'(r)-\nu ^{2}R(r)=0\end{cases}}}$

где - постоянная. Первый из них имеет постоянные коэффициенты и легко решается. Второй - частный случай уравнения Эйлера${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle r^{2}R''(r)+crR'(r)+dR(r)=0}$

где - константы. Это уравнение обычно решается анзацем , но с помощью лог-полярного радиуса его можно преобразовать в уравнение с постоянными коэффициентами:${\displaystyle c,d}$${\displaystyle R(r)=r^{\lambda }}$

${\displaystyle P''(\rho )+(c-1)P'(\rho )+dP(\rho )=0}$

При рассмотрении уравнения Лапласа, и поэтому уравнение для принимает простую форму${\displaystyle c=1}$${\displaystyle d=-\nu ^{2}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle P''(\rho )-\nu ^{2}P(\rho )=0}$

При решении задачи Дирихле в декартовых координатах это в точности уравнения для и . Таким образом, снова естественным выбором для области с вращательной симметрией являются не полярные, а скорее лог-полярные координаты.${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Дискретная геометрия [ править ]

Дискретная система координат в круглом диске, заданная логополярными координатами ( n  = 25)

Дискретная система координат в круглом диске, которая может быть легко выражена в логополярных координатах ( n  = 25)

Часть фрактала Мандельброта, демонстрирующая спиральное поведение

Чтобы решить УЧП численно в области, в этой области должна быть введена дискретная система координат. Если домен имеет вращательную симметрию и вам нужна сетка, состоящая из прямоугольников, полярные координаты - плохой выбор, поскольку в центре круга они образуют треугольники, а не прямоугольники. Однако это можно исправить, введя лог-полярные координаты следующим образом. Разделите плоскость на сетку квадратов со стороной 2 / n , где n - целое положительное число. Используйте комплексную экспоненциальную функцию, чтобы создать лог-полярную сетку на плоскости. Затем левая полуплоскость отображается на единичный диск с числом радиусов, равным  n.${\displaystyle \pi }$. Может быть даже более выгодно вместо этого отобразить диагонали в этих квадратах, что дает дискретную систему координат в единичном диске, состоящем из спиралей, см. Рисунок справа.

Оператор Дирихле-Неймана [ править ]

Последняя система координат подходит, например, для решения задач Дирихле и Неймана. Если дискретная система координат интерпретируется как неориентированный граф в единичном диске, ее можно рассматривать как модель для электрической сети. Каждому отрезку линии на графике соответствует проводимость, заданная функцией . Затем электрическая сеть будет служить дискретной моделью для задачи Дирихле в единичном диске, где уравнение Лапласа принимает форму закона Кирхгофа. В узлах на границе круга определяется электрический потенциал (данные Дирихле), который индуцирует электрический ток (данные Неймана) через граничные узлы. Линейный оператор преобразования данных Дирихле в данные Неймана называется оператором Дирихле-Неймана.${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \Lambda _{\gamma }}$, и зависит от топологии и проводимости сети.

В случае непрерывного диска следует, что если проводимость однородна, скажем везде, то оператор Дирихле-Неймана удовлетворяет следующему уравнению${\displaystyle \gamma =1}$

${\displaystyle \Lambda _{\gamma }^{2}+{\frac {\partial ^{2}\ }{\partial \theta ^{2}}}=0}$

Чтобы получить хорошую дискретную модель задачи Дирихле, было бы полезно найти граф в единичном круге, чей (дискретный) оператор Дирихле-Неймана обладает тем же свойством. Несмотря на то, что полярные координаты не дают нам никакого ответа, это приблизительно / асимптотически, то, что нам дает осесимметричная сеть, заданная логополярными координатами. ^[1]

Анализ изображения [ править ]

Уже в конце 1970-х годов приложения для дискретной спиральной системы координат были даны в анализе изображений. Представление изображения в этой системе координат, а не в декартовых координатах, дает вычислительные преимущества при повороте или масштабировании изображения. Кроме того, фоторецепторы в сетчатке глаза человека распределены таким образом, чтобы иметь большое сходство со спиральной системой координат. ^[2] Его также можно найти во фрактале Мандельброта (см. Рисунок справа).

Лог-полярные координаты также могут использоваться для построения быстрых методов преобразования Радона и его обратного. ^[3]

См. Также [ править ]

• Полярные координаты
• Декартовы координаты
• Цилиндрические координаты
• Сферические координаты

Внешние ссылки [ править ]

• Сайт неньютоновского исчисления

Ссылки [ править ]