Логарифмическое распределение

Логарифмический

Вероятностная функция масс Функция определяется только для целочисленных значений. Соединительные линии - это просто ориентиры для глаз.
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\ displaystyle 0 <p <1}$
Служба поддержки	${\displaystyle k\in \{1,2,3,\ldots \}}$
PMF	${\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}{\frac {p^{k}}{k}}}$
CDF	${\displaystyle 1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}}$
Иметь в виду	${\displaystyle {\frac {-1}{\ln(1-p)}}{\frac {p}{1-p}}}$
Режим	${\displaystyle 1}$
Дисперсия	${\displaystyle -{\frac {p^{2}+p\ln(1-p)}{(1-p)^{2}(\ln(1-p))^{2}}}}$
MGF	${\displaystyle {\frac {\ln(1-pe^{t})}{\ln(1-p)}}{\text{ for }}t<-\ln p}$
CF	${\displaystyle {\frac {\ln(1-pe^{it})}{\ln(1-p)}}}$
PGF	${\displaystyle {\frac {\ln(1-pz)}{\ln(1-p)}}{\text{ for }}|z|<{\frac {1}{p}}}$

В вероятности и статистике , то логарифмическое нормальное распределение (также известное как логарифмическое распределение рядов или распределение лога-серии ) является дискретным распределением вероятностей , полученным из серии Маклорена расширения

${\displaystyle -\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .}$

Отсюда получаем тождество

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.}$

Это приводит непосредственно к функции массы вероятности случайной величины с распределением Log ( p ) :

${\displaystyle f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}}$

для k  ≥ 1, и где 0 <  p  <1. В силу указанного выше тождества распределение правильно нормировано.

Кумулятивная функция распределения является

${\displaystyle F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}}$

где B - неполная бета-функция .

Пуассон, составленный с Log ( p ) -распределенными случайными величинами, имеет отрицательное биномиальное распределение . Другими словами, если N - случайная величина с распределением Пуассона , а X _i , i = 1, 2, 3, ... - бесконечная последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, каждая из которых имеет распределение Log ( p ), то

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}X_{i}}$

имеет отрицательное биномиальное распределение. Таким образом, отрицательное биномиальное распределение является сложным распределением Пуассона .

Р. А. Фишер описал логарифмическое распределение в статье, в которой оно использовалось для моделирования относительной численности видов . ^[1]

См. Также [ править ]

• Распределение Пуассона (также полученное из ряда Маклорена)

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Джонсон, Норман Ллойд; Кемп, Эдриен В; Котц, Самуэль (2005). «Глава 7: Логарифмические и лагранжевые распределения». Одномерные дискретные распределения (3-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-471-27246-5.
• Вайсштейн, Эрик В. «Распределение лог-серий» . MathWorld .