Логистическая функция

Стандартная логистическая сигмовидная функция, где

L=1,k=1,x_{0}=0

Логистическая функция или логистическая кривая представляет общую S-образной кривой ( сигмовидной кривой ) с уравнением

f(x)={\frac {L}{1+e^{-k(x-x_{0})}}},

где

x_{0}

, значение средней точки сигмовидной кишки;

x

L

- максимальное значение кривой;

k

, скорость логистического роста или крутизна кривой. ^[1]

Для значений в области действительных чисел от до получена S-образная кривая, показанная справа, с графиком приближения по мере приближения и приближения к нулю по мере приближения . $x$ $-\infty$ $+\infty$ $f$ $L$ $x$ $+\infty$ $x$ $-\infty$

Логистическая функция находит применения в ряде областей, включая биологию (особенно экологию ), биоматематику , химию , демографию , экономику , геонауки , математическую психологию , вероятность , социологию , политологию , лингвистику , статистику и искусственные нейронные сети . Обобщение логистической функции является hyperbolastic функции типа I .

История [ править ]

Исходное изображение логистической кривой в сравнении с логарифмической кривой

Логистическая функция была представлена в серии из трех статей Пьером Франсуа Ферхюльстом в период с 1838 по 1847 год, который разработал ее как модель роста населения путем корректировки модели экспоненциального роста под руководством Адольфа Кетле . ^[2] Ферхюльст впервые разработал функцию в середине 1830-х годов, опубликовав краткую заметку в 1838 году, ^[1] затем представил расширенный анализ и назвал функцию в 1844 году (опубликовано в 1845 году); ^[a]^[3] третий документ скорректировал поправочный член в своей модели роста населения Бельгии. ^[4]

Начальная стадия роста примерно экспоненциальная (геометрическая); затем, когда начинается насыщение, рост замедляется до линейного (арифметического), а по достижении зрелости рост прекращается. Ферхюльст не объяснил выбор термина «логистический» (фр. Logistique ), но он предположительно отличается от логарифмической кривой ^[5]^[b] и по аналогии с арифметикой и геометрической. Его модель рост предшествует обсуждение арифметического роста и геометрического рост (чей кривым он называет логарифмическую кривым , а современный термином экспоненциальными кривым ), и , таким образом , «логистический рост», предположительно , назван по аналогии, логистическое существо изДревнегреческий : λογῐστῐκός , латинизированный : logistikós , традиционный раздел греческой математики . ^[c] Этот термин не имеет отношения к военному и управленческому термину « логистика» , который вместо французского : logis «жилье», хотя некоторые считают, что греческий термин также повлиял на логистику ; подробнее см. раздел «Логистика» .

Математические свойства [ править ]

Стандартная логистическая функция является логистическая функция с параметрами , , , что дает $k=1$ $x_{0}=0$ $L=1$

f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\tanh \left({\frac {x}{2}}\right).

На практике, из-за природы экспоненциальной функции , часто бывает достаточно вычислить стандартную логистическую функцию для небольшого диапазона действительных чисел, такого как диапазон, содержащийся в [−6, +6], поскольку он быстро сходится очень быстро. близко к его значениям насыщения 0 и 1. $e^{-x}$ $x$

Логистическая функция обладает свойством симметрии, что

1-f(x)=f(-x).

Таким образом, это нечетная функция . $x\mapsto f(x)-1/2$

Логистическая функция - это функция смещения и масштабированного гиперболического тангенса :

f(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\tanh \left({\frac {x}{2}}\right),

или же

\tanh(x)=2f(2x)-1.

Это следует из

{\begin{aligned}\tanh(x)&={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{x}\cdot \left(1-e^{-2x}\right)}{e^{x}\cdot \left(1+e^{-2x}\right)}}\\&=f(2x)-{\frac {e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}=f(2x)-{\frac {e^{-2x}+1-1}{1+e^{-2x}}}=2f(2x)-1.\end{aligned}}

Производная [ править ]

Стандартная логистическая функция имеет легко вычисляемую производную . Производная называется логистическим распределением :

f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}},

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)={\frac {e^{x}\cdot (1+e^{x})-e^{x}\cdot e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}={\frac {e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}=f(x){\big (}1-f(x){\big )}

Интегральный [ править ]

И наоборот, его первообразная может быть вычислена путем подстановки , так как , так (отбрасывая константу интегрирования ) $u=1+e^{x}$ $f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}}$

\int {\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\,dx=\int {\frac {1}{u}}\,du=\ln u=\ln(1+e^{x}).

В искусственных нейронных сетей , это известно как Softplus функции и (с масштабированием) является гладкой аппроксимацией функции рампы , так же , как логистической функции (с масштабированием) гладкая аппроксимация ступенчатой функции Хевисайда .

Логистическое дифференциальное уравнение [ править ]

Стандартная логистическая функция - это решение простого нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

{\frac {d}{dx}}f(x)=f(x){\big (}1-f(x){\big )}

с граничным условием . Это уравнение представляет собой непрерывную версию логистической карты . Обратите внимание, что обратная логистическая функция является решением простого линейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка . ^[6] $f(0)=1/2$

Качественное поведение легко понять в терминах фазовой линии : производная равна 0, когда функция равна 1; а производная положительна для значений от 0 до 1 и отрицательна для значений более 1 или менее 0 (хотя отрицательные совокупности обычно не согласуются с физической моделью). Это приводит к неустойчивому равновесию при 0 и устойчивому равновесию при 1, и, таким образом, для любого значения функции больше 0 и меньше 1 оно возрастает до 1. $f$ $f$

Логистическое уравнение является частным случаем дифференциального уравнения Бернулли и имеет следующее решение:

f(x)={\frac {e^{x}}{e^{x}+C}}.

Выбор постоянной интеграции дает другую хорошо известную форму определения логистической кривой: $C=1$

f(x)={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}={\frac {1}{1+e^{-x}}}.

Более количественно, как видно из аналитического решения, логистическая кривая показывает ранний экспоненциальный рост для отрицательного аргумента, который замедляется до линейного роста с наклоном 1/4 для аргумента, близкого к 0, затем приближается к 1 с экспоненциально убывающим зазором.

Логистическая функция является обратной функцией натурального логита и поэтому может использоваться для преобразования логарифма шансов в вероятность . В математической записи логистическая функция иногда записывается как expit ^[7] в той же форме, что и logit . Преобразование из логарифмического отношения правдоподобия двух альтернатив также принимает форму логистической кривой.

Полученное выше дифференциальное уравнение является частным случаем общего дифференциального уравнения, которое моделирует только сигмовидную функцию для . Во многих приложениях для моделирования используется более общая форма ^[8] $x>0$

{\frac {df(x)}{dx}}={\frac {k}{a}}f(x){\big (}a-f(x){\big )},\quad f(0)=a/(1+e^{kr})

может быть желательно. Ее решение - смещенная и масштабированная сигмовидная кишка . $aS{\big (}k(x-r){\big )}$

Отношение гиперболического тангенса приводит к другой форме производной логистической функции:

{\frac {d}{dx}}f(x)={\frac {1}{4}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right),

который связывает логистическую функцию с логистическим распределением .

Вращательная симметрия относительно (0, 1/2) [ править ]

Сумма логистической функции и ее отражения относительно вертикальной оси , равна $f(-x)$

{\frac {1}{1+e^{-x}}}+{\frac {1}{1+e^{-(-x)}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}+{\frac {1}{e^{x}+1}}=1.

Таким образом, логистическая функция осесимметрична относительно точки (0, 1/2). ^[9]

Приложения [ править ]

Линк ^[10] создал расширение теории последовательного анализа Вальда для накопления случайных величин без распределения до тех пор, пока сначала не сравняется или не будет превышена положительная или отрицательная граница. Ссылка ^[11] выводит вероятность первого достижения или превышения положительной границы как логистическая функция. Это первое доказательство того, что логистическая функция может иметь в основе стохастический процесс. Ссылка ^[12] предоставляет столетие примеров «логистических» экспериментальных результатов и недавно выведенное соотношение между этой вероятностью и временем поглощения на границах. $(1+e^{-\theta A})$

В экологии: моделирование роста населения [ править ]

Пьер-Франсуа Верхюльст (1804–1849)

Типичное применение логистического уравнения - это общая модель роста населения (см. Также динамику населения ), первоначально созданную Пьером-Франсуа Ферхюльстом в 1838 году, где скорость воспроизводства пропорциональна как существующему населению, так и количеству доступных ресурсов. при прочих равных. Уравнение Ферхюльста было опубликовано после того, как Ферхюльст прочитал « Очерк принципа народонаселения» Томаса Мальтуса , в котором описывается мальтузианская модель роста простого (неограниченного) экспоненциального роста. Ферхюльст вывел свое логистическое уравнение для описания самоограничивающегося роста биологической популяции. Уравнение было переоткрыто в 1911 г.А.Г. Маккендрику за рост бактерий в бульоне и экспериментальные испытания с использованием метода нелинейной оценки параметров. ^[13] Уравнение также иногда называют уравнением Ферхульста-Перла после его повторного открытия в 1920 году Раймондом Перлом (1879–1940) и Лоуэллом Ридом (1888–1966) из Университета Джона Хопкинса . ^[14] Другой ученый, Альфред Дж. Лотка, снова вывел это уравнение в 1925 году, назвав его законом роста населения .

Если обозначить размер популяции ( часто используется в экологии) и время, эта модель формализуется дифференциальным уравнением : $P$ $N$ $t$

{\frac {dP}{dt}}=rP\left(1-{\frac {P}{K}}\right),

где константа определяет скорость роста, а - пропускная способность . $r$ $K$

В уравнении ранний, беспрепятственный темп роста моделируется первым членом . Величина ставки представляет собой пропорциональный прирост населения за одну единицу времени. Позже, по мере роста населения, модуль второго члена (который при умножении равен ) становится почти таким же большим, как и первый, поскольку некоторые члены населения мешают друг другу, конкурируя за какой-то критический ресурс, такой как еда или жилое пространство. . Этот антагонистический эффект называется узким местом и моделируется значением параметра . Конкуренция снижает совокупные темпы роста до тех пор, пока ценность не перестанет расти (это называется зрелостью $+rP$ $r$ $P$ $-rP^{2}/K$ $P$ $K$ $P$ населения). Решение уравнения (с начальным населением): $P_{0}$

P(t)={\frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}={\frac {K}{1+\left({\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}\right)e^{-rt}}},

где

\lim _{t\to \infty }P(t)=K.

Другими словами, это предельное значение : наивысшего значения, которого может достичь популяция за бесконечное время (или близко к достижению за конечное время). Важно подчеркнуть, что несущая способность достигается асимптотически независимо от начального значения , а также в том случае, если это . $K$ $P$ $P(0)>0$ $P(0)>K$

В экологии видов иногда называют -strategist или -strategist в зависимости от селективных процессов, которые сформировали их истории жизни стратегии. Выбор переменных размеров таким образом, чтобы численность населения измерялась в единицах несущей способности, а время измерялось в единицах , дает безразмерное дифференциальное уравнение r {\displaystyle r} K {\displaystyle K} $n$ $\tau$ $1/r$

{\frac {dn}{d\tau }}=n(1-n).

Пропускная способность, изменяющаяся во времени [ править ]

Поскольку условия окружающей среды влияют на несущую способность, она может изменяться во времени , что приводит к следующей математической модели: $K(t)>0$

{\frac {dP}{dt}}=rP\cdot \left(1-{\frac {P}{K(t)}}\right).

Особенно важным случаем является пропускная способность, которая периодически меняется в зависимости от периода : $T$

K(t+T)=K(t).

Можно показать ^{[ цитата ],} что в таком случае, независимо от начального значения , будет стремиться к единственному периодическому решению с периодом . $P(0)>0$ $P(t)$ $P_{*}(t)$ $T$

Типичное значение составляет один год: в таком случае может отражаться периодическое изменение погодных условий. $T$ $K(t)$

Еще одно интересное обобщение состоит в том, чтобы учесть, что пропускная способность является функцией популяции в более раннее время, фиксируя задержку в том, как популяция изменяет свою среду. Это приводит к уравнению логистической задержки ^[15], которое имеет очень богатое поведение, с бистабильностью в некотором диапазоне параметров, а также монотонным спадом до нуля, плавным экспоненциальным ростом, прерывистым неограниченным ростом (то есть множественными S-образными формами), прерывистый рост или переход к стационарному уровню, колебательный подход к стационарному уровню, устойчивые колебания, сингулярности за конечное время, а также за конечное время смерти. $K(t)$

В статистике и машинном обучении [ править ]

Логистические функции используются в статистике в нескольких ролях. Например, они являются кумулятивной функцией распределения в логистическом семействе распределений , и они, немного упрощено, используется для моделирования шанс шахматист должен бить свой противник в рейтинговой системе Эла . Теперь следуют более конкретные примеры.

Логистическая регрессия [ править ]

Логистические функции используются в логистической регрессии для моделирования того, как на вероятность события могут повлиять одна или несколько независимых переменных : примером может служить модель. $p$

p=f(a+bx),

где - объясняющая переменная, и - параметры модели, которые необходимо подогнать, - стандартная логистическая функция. $x$ $a$ $b$ $f$

Логистическая регрессия и другие лог-линейные модели также широко используются в машинном обучении . Обобщением логистической функции на несколько входов является функция активации softmax , используемая в полиномиальной логистической регрессии .

Еще одно применение логистической функции - это модель Раша , используемая в теории отклика товара . В частности, модель Раша формирует основу для оценки максимального правдоподобия местоположения объектов или людей в континууме на основе наборов категориальных данных, например способностей людей в континууме на основе ответов, которые были классифицированы как правильные и правильные. неверно.

Нейронные сети [ править ]

Логистические функции часто используются в нейронных сетях для внесения нелинейности в модель или для ограничения сигналов в пределах заданного интервала . Популярный элемент нейронной сети вычисляет линейную комбинацию своих входных сигналов и применяет ограниченную логистическую функцию в качестве функции активации к результату; эту модель можно рассматривать как «сглаженный» вариант классического порогового нейрона .

Обычный выбор для функций активации или «сжатия», используемых для отсечения больших величин, чтобы ограничить отклик нейронной сети ^[16], является

g(h)={\frac {1}{1+e^{-2\beta h}}},

что является логистической функцией.

Эти отношения приводят к упрощенной реализации искусственных нейронных сетей с искусственными нейронами . Практики предупреждают, что сигмоидальные функции, которые антисимметричны относительно начала координат (например, гиперболический тангенс ), приводят к более быстрой сходимости при обучении сетей с обратным распространением . ^[17]

Логистическая функция сама по себе является производной от другой предлагаемой функции активации - softplus .

В медицине: моделирование роста опухолей [ править ]

Еще одно применение логистической кривой - медицина, где логистическое дифференциальное уравнение используется для моделирования роста опухолей. Это приложение можно рассматривать как расширение вышеупомянутого использования в рамках экологии (см. Также Обобщенную логистическую кривую , учитывающую больше параметров). Обозначая размер опухоли во времени , ее динамика определяется $X(t)$ $t$

X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X,

который относится к типу

X'=F(X)X,\quad F'(X)\leq 0,

где - скорость разрастания опухоли. $F(X)$

Если химиотерапия начинается с эффекта логарифмического уничтожения, уравнение может быть изменено на

X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X-c(t)X,

где - коэффициент смертности от терапии. В идеализированном случае очень длительной терапии, можно смоделировать как периодическую функцию (периода ) или (в случае непрерывной инфузионной терапии) как постоянную функцию, и мы получаем, что $c(t)$ $c(t)$ $T$

{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}c(t)\,dt>r\to \lim _{t\to +\infty }x(t)=0,

т. е. если средний уровень смертности, вызванной терапией, выше, чем исходный уровень распространения, то это означает искоренение болезни. Конечно, это слишком упрощенная модель как роста, так и терапии (например, она не принимает во внимание феномен клональной резистентности).

В медицине: моделирование пандемии [ править ]

Новый инфекционный патоген, к которому у населения нет иммунитета, обычно будет распространяться экспоненциально на ранних стадиях, в то время как количество восприимчивых людей в изобилии. Вирус SARS-CoV-2, вызывающий COVID-19, демонстрировал экспоненциальный рост на ранних этапах инфицирования в нескольких странах в начале 2020 года. ^[18] Многие факторы, начиная от отсутствия восприимчивых людей (либо из-за продолжающегося распространения инфекции, пока она не пройдет). порог коллективного иммунитета или снижение доступности восприимчивых за счет мер физического дистанцирования), экспоненциально выглядящие эпидемические кривые могут сначала линеаризоваться (воспроизводя «логарифмический» переход к «логистическому», впервые отмеченный Пьером-Франсуа Верхюльстом, как указано выше), а затем достичь максимального предела. ^[19]

Логистическая функция или связанные с ней функции (например, функция Гомперца ) обычно используются в описательной или феноменологической манере, потому что они хорошо подходят не только для раннего экспоненциального роста, но и для возможного выравнивания пандемии по мере того, как у населения развивается коллективный иммунитет. . Это контрастирует с реальными моделями пандемий, которые пытаются сформулировать описание, основанное на динамике пандемии (например, частота контактов, время инкубации, социальное дистанцирование и т. Д.). Однако было разработано несколько простых моделей, которые дают логистическое решение. ^[20]^[21]^[22]

Обобщенная логистическая функция (кривая роста Ричардса) в эпидемиологическом моделировании

Обобщенная логистическая функция , которая также называется Ричардс кривой роста, широко используется при моделировании COVID-19 инфекции траектории. ^[23] Траектория заражения представляет собой данные ежедневного временного ряда для совокупного числа инфицированных случаев для такого субъекта, как страна, город, штат и т. Д. В литературе есть варианты перенараметрирования: одна из часто используемых форм -

f(t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\xi )={\frac {\theta _{1}}{[1+\xi \exp(-\theta _{2}\cdot (t-\theta _{3}))]^{1/\xi }}}

где - действительные числа, а - положительное действительное число. Гибкость кривой обусловлена параметром : (i) если тогда кривая сводится к логистической функции, и (ii) если сходится к нулю, то кривая сходится к функции Гомперца . В эпидемиологических моделях, , и представляют окончательный размер эпидемии, уровень инфекции, и отставание фазы, соответственно. Примерную траекторию заражения см. На правой панели, если они обозначены значком . $\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}$ $\xi$ $f$ $\xi$ $\xi =1$ $\xi$ $\theta _{1}$ $\theta _{2}$ $\theta _{3}$ $(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})$ $(10,000,0.2,40)$

Экстраполированные траектории распространения инфекции в 40 странах, серьезно пострадавших от COVID-19, и в среднем по населению до 14 мая

Одним из преимуществ использования функции роста, такой как обобщенная логистическая функция, в эпидемиологическом моделировании, является ее относительно простое расширение до многоуровневой модели за счет использования функции роста для описания траекторий заражения от нескольких субъектов (стран, городов, штатов и т. Д.). Такую структуру моделирования можно также широко назвать нелинейной моделью смешанных эффектов или иерархической нелинейной моделью. См. Рисунок выше. Примером использования обобщенной логистической функции в байесовской многоуровневой модели является байесовская иерархическая модель Ричардса .

В химии: модели реакций [ править ]

Концентрация реагентов и продуктов в автокаталитических реакциях соответствует логистической функции. Деградация катализатора реакции восстановления кислорода (ORR), не содержащего металлов платиновой группы (без МПГ), в катодах топливных элементов следует за функцией логистического распада ^[24], предполагая механизм автокаталитического разложения.

В физике: распределение Ферми – Дирака [ править ]

Логистическая функция определяет статистическое распределение фермионов по энергетическим состояниям системы в тепловом равновесии. В частности, это распределение вероятностей того, что каждый возможный энергетический уровень занят фермионом, согласно статистике Ферми – Дирака .

В материаловедении: фазовые диаграммы [ править ]

См. Раздел " Диффузионное связывание" .

В лингвистике: изменение языка [ править ]

В лингвистике логистическая функция может использоваться для моделирования языковых изменений : ^[25] нововведение, которое сначала является маргинальным, начинает распространяться быстрее со временем, а затем медленнее по мере того, как оно становится более универсальным.

В сельском хозяйстве: моделирование реакции сельскохозяйственных культур [ править ]

Логистическая S-образная кривая может использоваться для моделирования реакции сельскохозяйственных культур на изменения факторов роста. Есть два типа функций отклика: положительные и отрицательные кривые роста. Например, урожайность сельскохозяйственных культур может увеличиваться с увеличением значения фактора роста до определенного уровня (положительная функция) или может уменьшаться с увеличением значений фактора роста (отрицательная функция из-за отрицательного фактора роста), что требует перевернутого S-образная кривая.

Модель перевернутой S-образной кривой для зависимости урожайности от засоления почвы . ^[27]

В экономике и социологии: распространение инноваций [ править ]

Логистическая функция может использоваться для иллюстрации процесса распространения инновации на протяжении ее жизненного цикла.

В «Законах подражания» (1890) Габриэль Тард описывает возникновение и распространение новых идей через цепочки подражания . В частности, Тард выделяет три основных этапа распространения инноваций: первый соответствует сложным начинаниям, в течение которых идея должна бороться во враждебной среде, полной противоположных привычек и убеждений; второй соответствует экспоненциальному взлету идеи с ; наконец, третья стадия - логарифмическая, с и соответствует времени, когда импульс идеи постепенно замедляется и одновременно появляются новые идеи оппонента. Возникающая в результате ситуация останавливает или стабилизирует прогресс инновации, которая приближается к асимптоте. $f(x)=2^{x}$ $f(x)=\log(x)$

В суверенном государстве субнациональные единицы (составляющие государства или города) могут использовать ссуды для финансирования своих проектов. Однако этот источник финансирования обычно подчиняется строгим правовым нормам, а также ограничениям нехватки экономики , особенно тем ресурсам, которые банки могут ссудить (из-за их собственного капитала или лимитов Базеля ). Эти ограничения, которые представляют собой уровень насыщения, наряду с экспоненциальным ростом экономической конкуренции за деньги, создают диффузию кредитных требований из государственных финансов, и совокупный национальный ответ представляет собой сигмовидную кривую . ^[28]

В истории экономики, когда появляются новые продукты, проводятся интенсивные исследования и разработки, которые приводят к значительному повышению качества и снижению затрат. Это приводит к периоду быстрого роста отрасли. Некоторые из наиболее известных примеров: железные дороги, лампы накаливания, электрификация , автомобили и авиаперелеты. В конце концов, возможности кардинального улучшения и снижения затрат исчерпаны, продукт или процесс широко используются с небольшим оставшимся потенциальным новым потребителем, и рынки становятся насыщенными.

Логистический анализ использовался в статьях нескольких исследователей Международного института прикладного системного анализа ( IIASA ). Эти документы касаются распространения различных инноваций, инфраструктуры и замены источников энергии, а также роли труда в экономике, а также длительного экономического цикла. Длинные экономические циклы исследовал Роберт Эйрес (1989). ^[29] Чезаре Маркетти опубликовал статьи о длительных экономических циклах и распространении инноваций. ^[30]^[31] Книга Арнульфа Грюблера (1990) дает подробный отчет о распространении инфраструктуры, включая каналы, железные дороги, автомагистрали и авиалинии, показывая, что их распространение следовало кривым логистической формы. ^[32]

Карлота Перес использовала логистическую кривую, чтобы проиллюстрировать длинный ( Кондратьев ) деловой цикл следующими ярлыками: начало технологической эры как вторжение , восхождение как безумие , быстрое развитие как синергия и завершение как зрелость . ^[33]

См. Также [ править ]

Экспоненциальный рост
Гиперболический рост
Распространение инноваций
Обобщенная логистическая функция
Кривая Гомперца
Ступенчатая функция Хевисайда
Кривая Хабберта
Логистическая дистрибуция
Логистическая карта
Логистическая регрессия
Логистическая модель плавной передачи
Logit
Отношение логарифма правдоподобия
Мальтузианская модель роста
Динамика населения
теория выбора р / к
Сдвинутое распределение Гомперца
Переломный момент (социология)
Выпрямитель (нейронные сети)
Перекрестная жидкость
Уравнение Хилла (биохимия)
Уравнение Михаэлиса – Ментен

Заметки [ править ]

↑ Статья была представлена в 1844 году и опубликована в 1845 году: «(Lu à la séance du 30 novembre 1844)». «(Прочтите на заседании 30 ноября 1844 г.)», с. 1.
^ Ферхюльст сначала обращается к арифметической прогрессии и геометрической прогрессии и относится к геометрической кривой роста как к логарифмической кривой (что сбивает с толку, современный термин вместо этого - экспоненциальная кривая, которая является обратной). Затем он называет свою кривую логистической , в отличие от логарифмической , и сравнивает логарифмическую кривую и логистическую кривую на рисунке в своей статье.
^ В Древней Греции, λογῐστῐκός называют практического вычисления и учета, в отличие от ἀριθμητική ( arithmētikḗ ), теоретическое или философское исследование чисел. Что сбивает с толку, в английском языке арифметика относится к практическим вычислениям, хотя она происходит от ἀριθμητική , а не от λογῐστῐκός . См., Например, Луи Чарльз Карпинский , Никомах Герасийский: Введение в арифметику (1926), стр. 3: «Современные читатели, особенно ученые и математики, в основном связывают арифметику с искусством вычислений. Для древних греков после ПифагораОднако арифметика была прежде всего философским исследованием, не имевшим необходимой связи с практическими делами. Действительно, греки дали отдельное название арифметике бизнеса, λογιστική [бухгалтерский учет или практическая логистика] ... В целом философы и математики Греции, несомненно, считали ниже своего достоинства трактовать эту отрасль, которая, вероятно, составляла часть элементарное обучение детей ".

Ссылки [ править ]

^ a b Verhulst, Пьер-Франсуа (1838). "Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement" (PDF) . Соответствие Mathématique et Physique . 10 : 113–121 . Проверено 3 декабря 2014 .
Перейти ↑ Cramer 2002 , pp. 3–5.
^ Verhulst, Пьер-Франсуа (1845). "Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement de la Population" [Математические исследования закона увеличения роста населения]. Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles . 18 : 8 . Проверено 18 февраля 2013 года . Nous donnerons le nom de logistique à la Courbe [Мы дадим кривой название логистический ]
↑ Verhulst, Пьер-Франсуа (1847). "Deuxième mémoire sur la loi d'accroissement de la Population" . Mémoires de l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique . 20 : 1–32 . Проверено 18 февраля 2013 года .
^ Шульман, Бонни (1998). «Живая математика! Использование первоисточников для обучения математике в социальном контексте» . ПРИМУС . 8 (март): 1–14. DOI : 10.1080 / 10511979808965879 . Диаграмма убедила меня в этом: две кривые, обозначенные как «Логистика» и «Логарифмический», нарисованы на одних и тех же осях, и можно видеть, что есть область, где они почти точно совпадают, а затем расходятся. Я пришел к выводу, что намерение Ферхюльста при названии кривой действительно состояло в том, чтобы предложить это сравнение, и что «логистический» имел в виду передать «логарифмическое» качество кривой.
^ Kocian, Александр; Кармасси, Джулия; Села, Фатьон; Incrocci, Лука; Милаццо, Паоло; Чесса, Стефано (7 июня 2020 г.). «Байесовское прогнозирование временных рядов сигмовидного типа с отсутствующими данными для тепличных культур» . Датчики . 20 (11): 3246. DOI : 10,3390 / s20113246 . PMC 7309099 . PMID 32517314 .
^ expit документация для пакета R clusterPower .
^ Kyurkchiev, Николай и Святослав Марков. «Сигмовидные функции: некоторые аспекты аппроксимации и моделирования». LAP LAMBERT Academic Publishing, Саарбрюккен (2015).
^ Рауль Рохас. Нейронные сети - систематическое введение (PDF) . Проверено 15 октября +2016 .
^ SW Link, Psychometrika, 1975, 40, 1, 77-105
^ SW Link, внимание и производительность VII, 1978, 619-630
^ SW Link, Волновая теория различия и подобия (книга), Тейлор и Фрэнсис, 1992
^ AG McKendricka; М. Кесава Паиа1 (январь 1912 г.). "XLV. - Скорость размножения микроорганизмов: математическое исследование" . Труды Королевского общества Эдинбурга . 31 : 649–653. DOI : 10.1017 / S0370164600025426 .
↑ Раймонд Перл и Лоуэлл Рид (июнь 1920 г.). «О темпах роста населения США» (PDF) . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 6 (6). п. 275.
^ Юкалы, В.И.; Юкалова Е.П .; Сорнетт, Д. (2009). «Прерывистая эволюция из-за задержки несущей способности». Physica D: нелинейные явления . 238 (17): 1752–1767. arXiv : 0901.4714 . Bibcode : 2009PhyD..238.1752Y . DOI : 10.1016 / j.physd.2009.05.011 . S2CID 14456352 .
^ Гершенфельд 1999, стр. 150.
^ LeCun, Y .; Bottou, L .; Orr, G .; Мюллер, К. (1998). Orr, G .; Мюллер, К. (ред.). Эффективный BackProp (PDF) . Нейронные сети: хитрости торговли . Springer. ISBN 3-540-65311-2.
^ Worldometer: COVID-19 ПАНДЕМИЯ КОРОНАВИРУСА
↑ Вильялобос-Ариас, Марио (2020). «Использование обобщенной логистической регрессии для прогнозирования населения, инфицированного Covid-19». arXiv : 2004.02406 [ q-bio.PE ].
↑ Постников, Евгений Б. (июнь 2020 г.). «Оценка динамики COVID-19« на обратной стороне конверта »: дает ли простейшая модель SIR количественные параметры и прогнозы?» . Хаос, солитоны и фракталы . 135 : 109841. DOI : 10.1016 / j.chaos.2020.109841 . PMC 7252058 . PMID 32501369 .
^ Сайто, Takesi (июнь 2020). «Логистическая кривая в модели SIR и ее применение к смертям от COVID-19 в Японии» . MedRxiv . DOI : 10.1101 / 2020.06.25.20139865 . S2CID 220068969 . Проверено 20 июля 2020 .
^ Райзер, Пол А. (2020). «Модифицированная модель SIR, дающая логистическое решение». arXiv : 2006.01550 [ q-bio.PE ].
↑ Ли, Се Юн; Лей, Боуэн; Маллик, Бани (2020). «Оценка кривых распространения COVID-19 с учетом глобальных данных и информации о заимствованиях» . PLOS ONE . 15 (7): e0236860. arXiv : 2005.00662 . Bibcode : 2020PLoSO..1536860L . DOI : 10.1371 / journal.pone.0236860 . PMC 7390340 . PMID 32726361 .
^ Инь, Си; Зеленай, Петр (13 июля 2018 г.). "Кинетические модели механизмов деградации катализаторов ORR без МПГ" . Транзакции ECS . 85 (13): 1239–1250. DOI : 10.1149 / 08513.1239ecst . ОСТИ 1471365 .
^ Бод, Hay, Jennedy (ред.) 2003, стр. 147-156
^ Сбор данных по урожайности и глубине уровня грунтовых вод разных авторов. В сети: [1]
^ Сбор данных по растениеводству и засолению почв разных авторов. В сети: [2]
^ Rocha, Leno S .; Роча, Фредерико С.А.; Соуза, Thársis TP (5 октября 2017 г.). «Является ли государственный сектор вашей страны диффузным заемщиком? Эмпирические данные из Бразилии» . PLOS ONE . 12 (10): e0185257. arXiv : 1604.07782 . Bibcode : 2017PLoSO..1285257R . DOI : 10.1371 / journal.pone.0185257 . ISSN 1932-6203 . PMC 5628819 . PMID 28981532 .
^ Эйрес, Роберт (1989). «Технологические преобразования и длинные волны» (PDF) . Cite journal requires |journal= (help)
^ Маркетти, Чезаре (1996). "Широко распространенные длинные волны: общество циклотимично" (PDF) . Архивировано 5 марта 2012 года из оригинального (PDF) . Cite journal requires |journal= (help)
^ Маркетти, Чезаре (1988). «Возвращение к Кондратьеву - после одного цикла» (PDF) . Cite journal requires |journal= (help)
^ Grübler, Арнульф (1990). Взлет и падение инфраструктуры: динамика развития и технологических изменений на транспорте (PDF) . Гейдельберг и Нью-Йорк: Physica-Verlag.
^ Перес, Карлотта (2002). Технологические революции и финансовый капитал: динамика пузырей и золотых веков . Великобритания: Эдвард Элгар Паблишинг Лимитед. ISBN 1-84376-331-1.

Крамер, JS (2002). Истоки логистической регрессии (PDF) (Технический отчет). 119 . Институт Тинбергена. С. 167–178. DOI : 10.2139 / ssrn.360300 .
- Опубликовано как: Cramer, JS (2004). «Ранние истоки логит-модели». Исследования по истории и философии науки Часть C: Исследования по истории и философии биологических и биомедицинских наук . 35 (4): 613–626. DOI : 10.1016 / j.shpsc.2004.09.003 .
Яннеди, Стефани; Бод, Ренс; Хэй, Дженнифер (2003). Вероятностная лингвистика . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 0-262-52338-8.
Гершенфельд, Нил А. (1999). Природа математического моделирования . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-57095-4.
Кингсленд, Шарон Э. (1995). Моделирование природы: эпизоды истории популяционной экологии . Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-43728-0.
Вайсштейн, Эрик В. «Логистическое уравнение» . MathWorld .

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с логистическими функциями .

LJ Linacre, Почему логистическая оживляющая, а не автокаталитическая кривая? , дата обращения 12 сентября 2009 г.
https://web.archive.org/web/20060914155939/http://luna.cas.usf.edu/~mbrannic/files/regression/Logistic.html
Вайсштейн, Эрик В. "Сигмовидная функция" . MathWorld .
Онлайн-эксперименты с JSXGraph
Эссес повсюду.
Видеть s-образную кривую - это все.
Ограниченный логарифмический рост с введением

[3] Статья была представлена в 1844 году и опубликована в 1845 году: «(Lu à la séance du 30 novembre 1844)». «(Прочтите на заседании 30 ноября 1844 г.)», с. 1.

[7] Ферхюльст сначала обращается к арифметической прогрессии и геометрической прогрессии и относится к геометрической кривой роста как к логарифмической кривой (что сбивает с толку, современный термин вместо этого - экспоненциальная кривая, которая является обратной). Затем он называет свою кривую логистической , в отличие от логарифмической , и сравнивает логарифмическую кривую и логистическую кривую на рисунке в своей статье.

[8] В Древней Греции, λογῐστῐκός называют практического вычисления и учета, в отличие от ἀριθμητική ( arithmētikḗ ), теоретическое или философское исследование чисел. Что сбивает с толку, в английском языке арифметика относится к практическим вычислениям, хотя она происходит от ἀριθμητική , а не от λογῐστῐκός . См., Например, Луи Чарльз Карпинский , Никомах Герасийский: Введение в арифметику (1926), стр. 3: «Современные читатели, особенно ученые и математики, в основном связывают арифметику с искусством вычислений. Для древних греков после ПифагораОднако арифметика была прежде всего философским исследованием, не имевшим необходимой связи с практическими делами. Действительно, греки дали отдельное название арифметике бизнеса, λογιστική [бухгалтерский учет или практическая логистика] ... В целом философы и математики Греции, несомненно, считали ниже своего достоинства трактовать эту отрасль, которая, вероятно, составляла часть элементарное обучение детей ".

[verhulst1838-1] Verhulst, Пьер-Франсуа (1838). "Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement" (PDF) . Соответствие Mathématique et Physique . 10 : 113–121 . Проверено 3 декабря 2014 .

[FOOTNOTECramer20023–5-2] Перейти ↑ Cramer 2002 , pp. 3–5.

[4] Verhulst, Пьер-Франсуа (1845). "Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement de la Population" [Математические исследования закона увеличения роста населения]. Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles . 18 : 8 . Проверено 18 февраля 2013 года . Nous donnerons le nom de logistique à la Courbe [Мы дадим кривой название логистический ]

[5] Verhulst, Пьер-Франсуа (1847). "Deuxième mémoire sur la loi d'accroissement de la Population" . Mémoires de l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique . 20 : 1–32 . Проверено 18 февраля 2013 года .

[6] Шульман, Бонни (1998). «Живая математика! Использование первоисточников для обучения математике в социальном контексте» . ПРИМУС . 8 (март): 1–14. DOI : 10.1080 / 10511979808965879 . Диаграмма убедила меня в этом: две кривые, обозначенные как «Логистика» и «Логарифмический», нарисованы на одних и тех же осях, и можно видеть, что есть область, где они почти точно совпадают, а затем расходятся. Я пришел к выводу, что намерение Ферхюльста при названии кривой действительно состояло в том, чтобы предложить это сравнение, и что «логистический» имел в виду передать «логарифмическое» качество кривой.

[9] Kocian, Александр; Кармасси, Джулия; Села, Фатьон; Incrocci, Лука; Милаццо, Паоло; Чесса, Стефано (7 июня 2020 г.). «Байесовское прогнозирование временных рядов сигмовидного типа с отсутствующими данными для тепличных культур» . Датчики . 20 (11): 3246. DOI : 10,3390 / s20113246 . PMC 7309099 . PMID 32517314 .

[10] xpit документация для пакета R clusterPower .

[11] Kyurkchiev, Николай и Святослав Марков. «Сигмовидные функции: некоторые аспекты аппроксимации и моделирования». LAP LAMBERT Academic Publishing, Саарбрюккен (2015).

[12] Рауль Рохас. Нейронные сети - систематическое введение (PDF) . Проверено 15 октября +2016 .

[A_sequential_theory_of_psychological_discrimination-13] SW Link, Psychometrika, 1975, 40, 1, 77-105

[The_Relative_Judgment_Theory_of_the_Psychometric_Function-14] SW Link, внимание и производительность VII, 1978, 619-630

[The_wave_theory_of_difference_and_similarity-15] SW Link, Волновая теория различия и подобия (книга), Тейлор и Фрэнсис, 1992

[McKendric_Logistic-16] AG McKendricka; М. Кесава Паиа1 (январь 1912 г.). "XLV. - Скорость размножения микроорганизмов: математическое исследование" . Труды Королевского общества Эдинбурга . 31 : 649–653. DOI : 10.1017 / S0370164600025426 .

[17] Раймонд Перл и Лоуэлл Рид (июнь 1920 г.). «О темпах роста населения США» (PDF) . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 6 (6). п. 275.

[delay_carrying-18] Юкалы, В.И.; Юкалова Е.П .; Сорнетт, Д. (2009). «Прерывистая эволюция из-за задержки несущей способности». Physica D: нелинейные явления . 238 (17): 1752–1767. arXiv : 0901.4714 . Bibcode : 2009PhyD..238.1752Y . DOI : 10.1016 / j.physd.2009.05.011 . S2CID 14456352 .

[Gershenfeld-1999-19] Гершенфельд 1999, стр. 150.

[LeCun-1998-20] LeCun, Y .; Bottou, L .; Orr, G .; Мюллер, К. (1998). Orr, G .; Мюллер, К. (ред.). Эффективный BackProp (PDF) . Нейронные сети: хитрости торговли . Springer. ISBN 3-540-65311-2.

[21] Worldometer: COVID-19 ПАНДЕМИЯ КОРОНАВИРУСА

[22] Вильялобос-Ариас, Марио (2020). «Использование обобщенной логистической регрессии для прогнозирования населения, инфицированного Covid-19». arXiv : 2004.02406 [ q-bio.PE ].

[23] Постников, Евгений Б. (июнь 2020 г.). «Оценка динамики COVID-19« на обратной стороне конверта »: дает ли простейшая модель SIR количественные параметры и прогнозы?» . Хаос, солитоны и фракталы . 135 : 109841. DOI : 10.1016 / j.chaos.2020.109841 . PMC 7252058 . PMID 32501369 .

[24] Сайто, Takesi (июнь 2020). «Логистическая кривая в модели SIR и ее применение к смертям от COVID-19 в Японии» . MedRxiv . DOI : 10.1101 / 2020.06.25.20139865 . S2CID 220068969 . Проверено 20 июля 2020 .

[Reiser2020-25] Райзер, Пол А. (2020). «Модифицированная модель SIR, дающая логистическое решение». arXiv : 2006.01550 [ q-bio.PE ].

[26] Ли, Се Юн; Лей, Боуэн; Маллик, Бани (2020). «Оценка кривых распространения COVID-19 с учетом глобальных данных и информации о заимствованиях» . PLOS ONE . 15 (7): e0236860. arXiv : 2005.00662 . Bibcode : 2020PLoSO..1536860L . DOI : 10.1371 / journal.pone.0236860 . PMC 7390340 . PMID 32726361 .

[27] Инь, Си; Зеленай, Петр (13 июля 2018 г.). "Кинетические модели механизмов деградации катализаторов ORR без МПГ" . Транзакции ECS . 85 (13): 1239–1250. DOI : 10.1149 / 08513.1239ecst . ОСТИ 1471365 .

[probabilistic_linguistics-28] Бод, Hay, Jennedy (ред.) 2003, стр. 147-156

[29] Сбор данных по урожайности и глубине уровня грунтовых вод разных авторов. В сети: [1]

[30] Сбор данных по растениеводству и засолению почв разных авторов. В сети: [2]

[31] Rocha, Leno S .; Роча, Фредерико С.А.; Соуза, Thársis TP (5 октября 2017 г.). «Является ли государственный сектор вашей страны диффузным заемщиком? Эмпирические данные из Бразилии» . PLOS ONE . 12 (10): e0185257. arXiv : 1604.07782 . Bibcode : 2017PLoSO..1285257R . DOI : 10.1371 / journal.pone.0185257 . ISSN 1932-6203 . PMC 5628819 . PMID 28981532 .

[32] Эйрес, Роберт (1989). «Технологические преобразования и длинные волны» (PDF) . Cite journal requires |journal= (help)

[33] Маркетти, Чезаре (1996). "Широко распространенные длинные волны: общество циклотимично" (PDF) . Архивировано 5 марта 2012 года из оригинального (PDF) . Cite journal requires |journal= (help)

[34] Маркетти, Чезаре (1988). «Возвращение к Кондратьеву - после одного цикла» (PDF) . Cite journal requires |journal= (help)

[Grubler1990-35] Grübler, Арнульф (1990). Взлет и падение инфраструктуры: динамика развития и технологических изменений на транспорте (PDF) . Гейдельберг и Нью-Йорк: Physica-Verlag.

[Perez2002-36] Перес, Карлотта (2002). Технологические революции и финансовый капитал: динамика пузырей и золотых веков . Великобритания: Эдвард Элгар Паблишинг Лимитед. ISBN 1-84376-331-1.

[1]