Распределение Lomax

Lomax

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\ displaystyle \ alpha> 0}$ форма (реальная) ${\ displaystyle \ lambda> 0}$ масштаб (реальный)
Поддерживать	${\ Displaystyle х \ geq 0}$
PDF	${\ displaystyle {\ alpha \ over \ lambda} \ left [{1+ {x \ over \ lambda}} \ right] ^ {- (\ alpha +1)}}$
CDF	${\ displaystyle 1- \ left [{1+ {x \ over \ lambda}} \ right] ^ {- \ alpha}}$
Иметь в виду	${\ displaystyle {\ lambda \ over {\ alpha -1}} {\ text {for}} \ alpha> 1}$; не определено иначе
Медиана	${\ displaystyle \ lambda \ left ({\ sqrt [{\ alpha}] {2}} - 1 \ right)}$
Режим	0
Дисперсия	${\displaystyle {\begin{cases}{{\lambda ^{2}\alpha } \over {(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}&\alpha >2\\\infty &1<\alpha \leq 2\\{\text{Undefined}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$
Асимметрия	${\displaystyle {\frac {2(1+\alpha )}{\alpha -3}}\,{\sqrt {\frac {\alpha -2}{\alpha }}}{\text{ for }}\alpha >3\,}$
Бывший. эксцесс	${\displaystyle {\frac {6(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}-6\alpha -2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}{\text{ for }}\alpha >4\,}$

Распределение Ломакса , условно также называемое распределением Парето типа II , представляет собой распределение вероятностей с тяжелым хвостом, используемое в бизнесе, экономике, актуарной науке, теории очередей и моделировании интернет-трафика. ^{[1] [2] [3]} Он назван в честь К. С. Ломакса. По сути, это распределение Парето , которое было сдвинуто так, что его поддержка начинается с нуля. ^[4]

Характеристика [ править ]

Функция плотности вероятности [ править ]

Функция плотности вероятности (pdf) для распределения Ломакса определяется выражением

${\displaystyle p(x)={\alpha \over \lambda }\left[{1+{x \over \lambda }}\right]^{-(\alpha +1)},\qquad x\geq 0,}$

с параметром формы и параметром масштаба . Плотность можно переписать таким образом , чтобы более четко показывает отношение к распределению Парето I типа . То есть:${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \lambda >0}$

${\displaystyle p(x)={{\alpha \lambda ^{\alpha }} \over {(x+\lambda )^{\alpha +1}}}}$.

Не центральные моменты [ править ]

Й нецентральная момент существует только , если параметр формы строго превышает , когда момент имеет значение${\displaystyle \nu }$${\displaystyle E\left[X^{\nu }\right]}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle E\left(X^{\nu }\right)={\frac {\lambda ^{\nu }\Gamma (\alpha -\nu )\Gamma (1+\nu )}{\Gamma (\alpha )}}}$

Связанные дистрибутивы [ править ]

Связь с распределением Парето [ править ]

Распределение Ломакса - это распределение Парето типа I, сдвинутое так, что его поддержка начинается с нуля. Конкретно:

${\displaystyle {\text{If }}Y\sim {\mbox{Pareto}}(x_{m}=\lambda ,\alpha ),{\text{ then }}Y-x_{m}\sim {\mbox{Lomax}}(\alpha ,\lambda ).}$

Распределение Ломакса является распределением Парето типа II с x _m = λ и μ = 0: ^[5]

${\displaystyle {\text{If }}X\sim {\mbox{Lomax}}(\alpha ,\lambda ){\text{ then }}X\sim {\text{P(II)}}\left(x_{m}=\lambda ,\alpha ,\mu =0\right).}$

Связь с обобщенным распределением Парето [ править ]

Распределение Ломакса - это частный случай обобщенного распределения Парето . Конкретно:

${\displaystyle \mu =0,~\xi ={1 \over \alpha },~\sigma ={\lambda \over \alpha }.}$

Отношение к бета первичному распределению [ править ]

Распределение Ломакса с масштабным параметром λ = 1 является частным случаем простого бета-распределения . Если X имеет распределение Ломакса, то .${\displaystyle {\frac {X}{\lambda }}\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )}$

Отношение к F-распределению [ править ]

Распределение Ломакса с параметром формы α = 1 и параметром масштаба λ = 1 имеет плотность , такое же распределение, как распределение F (2,2) . Это распределение отношения двух независимых и одинаково распределенных случайных величин с экспоненциальными распределениями . ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{(1+x)^{2}}}}$

Связь с q-экспоненциальным распределением [ править ]

Распределение Ломакса - это частный случай q-экспоненциального распределения . Q-экспонента расширяет это распределение до опоры на ограниченном интервале. Параметры Lomax определяются как:

${\displaystyle \alpha ={{2-q} \over {q-1}},~\lambda ={1 \over \lambda _{q}(q-1)}.}$

Отношение к (лог-) логистическому распределению [ править ]

Логарифм переменной, распределенной по Lomax (форма = 1,0, масштаб = λ), следует логистическому распределению с логарифмом местоположения (λ) и масштабом 1,0. Это означает, что распределение Lomax (форма = 1,0, масштаб = λ) равно лог-логистическому распределению с формой β = 1,0 и масштабом α = log (λ).

Гамма-экспоненциальная (масштабная) связь смеси [ править ]

Распределение Ломакс возникает в смеси из экспоненциальных распределений , где смесительный распределение скорости представляет собой гамма - распределения . Если λ | k, θ ~ Gamma (shape = k, scale = θ) и X | λ ~ Exponential (rate = λ), то предельное распределение X | k, θ равно Lomax (shape = k, scale = 1 / θ ). Поскольку параметр скорости может быть эквивалентным образом изменен на параметр масштаба , распределение Ломакса представляет собой масштабную смесь экспонент (с параметром экспоненциального масштаба, следующим за обратным гамма-распределением ).

См. Также [ править ]

• сила закона
• сложное распределение вероятностей
• гиперэкспоненциальное распределение (конечная смесь экспонент)
• нормально-экспоненциально-гамма-распределение (смесь нормального масштаба с распределением смешения Ломакса)

Ссылки [ править ]