Условие калибровки Лоренца

В электромагнетизме , то калибровочное условие Лоренца или Лоренц датчик (иногда ошибочно называют датчик Лоренца) представляет собой частичное крепление датчика от электромагнитного векторного потенциала . Условие состоит в том, что This не полностью определяет калибровку: можно сделать калибровочное преобразование где - гармоническая скалярная функция (то есть скалярная функция, удовлетворяющая уравнению безмассового скалярного поля ). ${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} = 0.}$ ${\ Displaystyle A ^ {\ mu} \ к A ^ {\ mu} + \ partial ^ {\ mu} f,}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle \ partial _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu} f = 0,}$

Условие Лоренца используется для устранения избыточной компоненты спина 0 в теории представлений (1/2, 1/2) группы Лоренца . Он в равной степени используется для массивных полей со спином 1, где концепция калибровочных преобразований вообще не применима.

Состояние Лоренца названо в честь Людвига Лоренца . Это условие инварианта Лоренца , и его часто называют «условием Лоренца» из-за путаницы с Хендриком Лоренцом , в честь которого названа ковариация Лоренца. ^[1]

Описание [ править ]

В электромагнетизме условие Лоренца обычно используется при расчетах зависящих от времени электромагнитных полей через запаздывающие потенциалы . ^[2] Условие

{\ Displaystyle \ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} \ Equiv A ^ {\ mu} {} _ {, \ mu} = 0,}

где - четырехпотенциал , запятая означает частичное дифференцирование, а повторяющийся индекс указывает, что используется соглашение Эйнштейна о суммировании . Преимущество этого условия в том, что оно инвариантно по Лоренцу . Он по-прежнему оставляет значительные калибровочные степени свободы. ${\ displaystyle A ^ {\ mu}}$

В обычных векторных обозначениях и единицах СИ условие

\nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0,

где это магнитный векторный потенциал , и это электрический потенциал ; ^[3]^[4] см. Также фиксацию калибровки . $\mathbf {A}$ $\varphi$

В гауссовых единицах условие

\nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0.

^[5]^[6]

Быстрое обоснование калибровки Лоренца можно найти, используя уравнения Максвелла и связь между векторным магнитным потенциалом и магнитным полем:

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {A} )}{\partial t}}

Следовательно,

\nabla \times \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=0.

Поскольку ротор равен нулю, это означает, что существует скалярная функция такая, что $\varphi$

-\nabla \varphi =\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}.

Это дает хорошо известное уравнение для электрического поля:

\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}.

Этот результат можно включить в уравнение Ампера – Максвелла:

{\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\mathbf {J} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)&=\\\Rightarrow \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {A} &=\mu _{0}\mathbf {J} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial (\nabla \varphi )}{\partial t}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}.\\\end{aligned}}

Это оставляет,

\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\mathbf {J} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}\mathbf {A} .

Чтобы иметь лоренц-инвариантность, производные по времени и пространственные производные должны рассматриваться одинаково (т. Е. Одного порядка). Поэтому удобно выбрать калибровочное условие Лоренца, которое дает результат

\Box \mathbf {A} =\left[\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right]\mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J} .

Аналогичная процедура с акцентом на электрический скалярный потенциал и с тем же выбором калибровки даст

\Box \varphi =\left[\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right]\varphi =-{\frac {1}{\epsilon _{0}}}\rho .

Это более простые и более симметричные формы неоднородных уравнений Максвелла . Обратите внимание, что кулоновская калибровка также решает проблему лоренц-инвариантности, но оставляет член связи с производными первого порядка.

Здесь

c={\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{0}\mu _{0}}}}

- скорость света в вакууме, - оператор Даламбера . Эти уравнения справедливы не только в условиях вакуума, но и в поляризованных средах ^[7], если и являются соответственно плотностью источника и плотностью циркуляции полей электромагнитной индукции и рассчитываются, как обычно, из и по уравнениям $\Box$ $\rho$ ${\vec {J}}$ ${\vec {E}}$ ${\vec {B}}$ $\varphi$ ${\vec {A}}$

\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}

\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}

Явные решения для и - единственные, если все величины обращаются в нуль достаточно быстро на бесконечности, - известны как запаздывающие потенциалы . $\varphi$ $\mathbf {A}$

История [ править ]

Первоначально опубликованная работа Лоренца не была принята Максвеллом . Максвелл исключил кулоновскую электростатическую силу из своего вывода уравнения электромагнитной волны, так как он работал в том, что в наши дни называется кулоновской калибровкой . Таким образом, калибровка Лоренца противоречила первоначальному выводу Максвелла уравнения электромагнитной волны, вводя эффект запаздывания для кулоновской силы и вводя ее в уравнение электромагнитной волны вместе с изменяющимся во времени электрическим полем , которое было введено в статье Лоренца «Об идентичности колебаний. света с помощью электрического тока ». Работа Лоренца была первой симметричнойсокращение уравнений Максвелла после того, как Максвелл опубликовал свою статью 1865 года. В 1888 году запаздывающие потенциалы стали широко использоваться после экспериментов Генриха Рудольфа Герца с электромагнитными волнами . В 1895 году теория запаздывающих потенциалов получила дальнейшее развитие после интерпретации данных для электронов Дж. Дж. Томсоном (после которой исследования электрических явлений перешли от зависящих от времени распределений электрического заряда и электрического тока на движущиеся точечные заряды ). ^[2]

См. Также [ править ]

Крепление манометра

Ссылки [ править ]

^ Джексон, JD ; Окунь, LB (2001), "Исторические корни калибровочной инвариантности", Reviews of Modern Physics , 73 (3): 663–680, arXiv : hep-ph / 0012061 , Bibcode : 2001RvMP ... 73..663J , doi : 10.1103 / RevModPhys.73.663 , S2CID 8285663
^ a b Макдональд, Кирк Т. (1997), «Связь между выражениями для зависящих от времени электромагнитных полей, приведенных Ефименко и Панофски и Филлипсом» (PDF) , American Journal of Physics , 65 (11): 1074–1076, Bibcode : 1997AmJPh..65.1074M , CiteSeerX 10.1.1.299.9838 , DOI : 10.1119 / 1,18723
^ Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Джон Вили и сыновья. п. 240. ISBN 978-0-471-30932-1.
Перейти ↑ Keller, Ole (2012-02-02). Квантовая теория электродинамики ближнего поля . Springer Science & Business Media. п. 19. Bibcode : 2011qtnf.book ..... K . ISBN 9783642174100.
^ Gbur, Gregory J. (2011). Математические методы для оптической физики и техники . Издательство Кембриджского университета. п. 59. Bibcode : 2011mmop.book ..... G . ISBN 978-0-521-51610-5.
^ Гайтлер, Вальтер (1954). Квантовая теория излучения . Курьерская корпорация. п. 3. ISBN 9780486645582.
^ Например, см. Черемисин, М.В. Окунь, LB (2003). "Представление Римана-Зильберштейна полной системы уравнений Максвелла". arXiv : hep-th / 0310036 .

Внешние ссылки и дальнейшее чтение [ править ]

Общий

Weisstein, EW "Lorenz Gauge" . Wolfram Research .

дальнейшее чтение

Лоренц, Л. (1867). «О тождестве колебаний света с электрическими токами». Философский журнал . Серия 4. 34 (230): 287–301.
ван Блейдел, Дж. (1991). «Лоренц или Лоренц?». Журнал IEEE Antennas and Propagation Magazine . 33 (2): 69. DOI : 10,1109 / MAP.1991.5672647 . S2CID 21922455 .
- См. Также Bladel J. (1991). «Лоренц или Лоренц? [Приложение]». Журнал IEEE Antennas and Propagation Magazine . 33 (4): 56. Bibcode : 1991IAPM ... 33 ... 56B . DOI : 10,1109 / MAP.1991.5672657 .
Беккер, Р. (1982). Электромагнитные поля и взаимодействия . Dover Publications . Глава 3.
О'Рахилли, А. (1938). Электромагнетизм . Лонгманс, Грин и Ко . Глава 6.

История

Nevels, R .; Шин, Чанг-Сок (2001). «Лоренц, Лоренц и калибр». Журнал IEEE Antennas and Propagation Magazine . 43 (3): 70–71. Bibcode : 2001IAPM ... 43 ... 70N . DOI : 10.1109 / 74.934904 .
Уиттакер, ET (1989). История теорий эфира и электричества . 1–2 . Dover Publications . п. 268.

[1] Джексон, JD ; Окунь, LB (2001), "Исторические корни калибровочной инвариантности", Reviews of Modern Physics , 73 (3): 663–680, arXiv : hep-ph / 0012061 , Bibcode : 2001RvMP ... 73..663J , doi : 10.1103 / RevModPhys.73.663 , S2CID 8285663

[mcdonald-2] Макдональд, Кирк Т. (1997), «Связь между выражениями для зависящих от времени электромагнитных полей, приведенных Ефименко и Панофски и Филлипсом» (PDF) , American Journal of Physics , 65 (11): 1074–1076, Bibcode : 1997AmJPh..65.1074M , CiteSeerX 10.1.1.299.9838 , DOI : 10.1119 / 1,18723

[3] Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Джон Вили и сыновья. п. 240. ISBN 978-0-471-30932-1.

[4] Перейти ↑ Keller, Ole (2012-02-02). Квантовая теория электродинамики ближнего поля . Springer Science & Business Media. п. 19. Bibcode : 2011qtnf.book ..... K . ISBN 9783642174100.

[5] Gbur, Gregory J. (2011). Математические методы для оптической физики и техники . Издательство Кембриджского университета. п. 59. Bibcode : 2011mmop.book ..... G . ISBN 978-0-521-51610-5.

[6] Гайтлер, Вальтер (1954). Квантовая теория излучения . Курьерская корпорация. п. 3. ISBN 9780486645582.

[7] Например, см. Черемисин, М.В. Окунь, LB (2003). "Представление Римана-Зильберштейна полной системы уравнений Максвелла". arXiv : hep-th / 0310036 .

[1]