Члены первого порядка (или поправки ) в математическом уравнении , выражении или модели - это члены с наибольшим порядком величины . [1] [2] Размеры различных членов в уравнении (ах) будут изменяться по мере изменения переменных , и, следовательно, члены в старшем порядке также могут измениться.
Распространенный и эффективный способ упрощения и понимания большого количества сложных математических моделей - исследовать, какие члены являются наибольшими (и, следовательно, наиболее важными) для конкретных размеров переменных и параметров, и анализировать поведение, производимое только этими терминами ( считая другие более мелкие условия незначительными). [3] [4] Это дает основное поведение - истинное поведение лишь незначительно отклоняется от него. Это основное поведение может быть достаточно хорошо охвачено только терминами строго ведущего порядка, или может быть решено, что следует также включить несколько меньшие термины. В этом случае фраза в началеможет использоваться неформально для обозначения всей этой группы терминов. Поведение, производимое только группой терминов ведущего порядка, называется поведением модели ведущего порядка .
Икс | 0,001 | 0,1 | 0,5 | 2 | 10 |
---|---|---|---|---|---|
х 3 | 0,000000001 | 0,001 | 0,125 | 8 | 1000 |
5 х | 0,005 | 0,5 | 2,5 | 10 | 50 |
0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,1 |
у | 0.105000001 | 0,601 | 2,725 | 18,1 | 1050,1 |
Рассмотрим уравнение y = x 3 + 5 x + 0,1. Для пяти различных значений x в таблице показаны размеры четырех членов в этом уравнении и какие члены являются ведущими. При дальнейшем увеличении x члены ведущего порядка остаются как x 3 и y , но по мере того, как x уменьшается и затем становится все более и более отрицательным, какие члены ведущего порядка снова меняются.
Не существует строгого ограничения, когда два члена должны или не должны рассматриваться как примерно одинаковые по порядку или величине. Одно возможное практическое правилосостоит в том, что два члена, которые находятся в пределах 10 раз (один порядок) друг от друга, должны рассматриваться как примерно одного порядка, а два члена, которые не находятся в пределах 100 раз (два порядка) друг от друга не должна. Однако между ними находится серая область, поэтому нет фиксированных границ, где термины должны рассматриваться как приблизительно ведущие, а где нет. Вместо этого термины появляются и исчезают по мере изменения переменных. Решение о том, являются ли термины в модели ведущими (или приблизительно ведущими), а если нет, достаточно ли они малы, чтобы их можно было рассматривать как незначительные (два разных вопроса), часто является вопросом исследования и суждения, и будет зависят от контекста.
Уравнения только с одним старшим членом возможны, но редко [ сомнительно ] . Например, уравнение 100 = 1 + 1 + 1 + ... + 1 (где правая часть состоит из ста единиц). Для любой конкретной комбинации значений переменных и параметров уравнение обычно будет содержать по крайней мере два члена старшего порядка и другие члены более низкого порядка . В этом случае, если предположить, что члены более низкого порядка и части членов высшего порядка, которые имеют тот же размер, что и члены более низкого порядка (возможно, вторая или третья значащая цифраи далее) пренебрежимо малы, новое уравнение можно сформировать, отбросив все эти члены более низкого порядка и части членов старшего порядка. Остальные члены обеспечивают уравнение главного порядка , или баланс главного порядка , [5] или доминирующий баланс , [6] [7] [8], и создание нового уравнения, включающего только эти члены, известно как приведение уравнения к ведущему - заказ . Решения этого нового уравнения называются решениями первого порядка [9] [10] исходного уравнения. Анализ поведения, задаваемого этим новым уравнением, дает поведение ведущего порядка [11] [12]модели для этих значений переменных и параметров. Размер ошибки при построении этого приближения обычно примерно равен размеру наибольшего игнорируемого члена.
Предположим, мы хотим понять поведение ведущего порядка в приведенном выше примере.
Таким образом, основное поведение y можно исследовать при любом значении x . Поведение при начальном порядке усложняется, когда в ведущем порядке больше терминов. При x = 2 существует баланс первого порядка между кубической и линейной зависимостями y от x .
Обратите внимание, что это описание поиска балансов и поведения ведущего порядка дает только общее описание процесса - оно не является математически строгим.
Конечно, y на самом деле не является полностью постоянным при x = 0,001 - это только его основное поведение в окрестности этой точки. Может случиться так, что сохранение только членов первого порядка (или приблизительно ведущего порядка) и рассмотрение всех других более мелких членов как незначительных является недостаточным (например, при использовании модели для будущего прогнозирования), и поэтому может потребоваться также сохранить набор следующих по величине условий. Их можно назвать условиями или исправлениями следующего порядка (NLO). [13] [14] Следующий набор терминов после этого может называться терминами или поправками в порядке « следующий за следующим за ведущим» (NNLO). [15]
Методы упрощения ведущего порядка используются вместе с методом согласованных асимптотических разложений , когда точное приближенное решение в каждой подобласти является решением ведущего порядка. [3] [16] [17]
Для конкретных сценариев течения жидкости (очень общие) уравнения Навье – Стокса можно значительно упростить, рассматривая только компоненты старшего порядка. Например, уравнения Стокса . [18] Также, уравнения тонкой пленки теории смазки .