Значащие цифры (также известные как значащие цифры , точность или разрешение ) числа в позиционном обозначении - это цифры в числе, которые являются надежными и абсолютно необходимыми для обозначения количества чего-либо. Если число, выражающее результат измерения чего-либо (например, длины, давления, объема или массы), содержит больше цифр, чем количество цифр, разрешенных разрешающей способностью измерения, достоверны только цифры, допускаемые разрешающей способностью измерения, поэтому только они могут быть значащими. Например, если измерение длины дает 114,8 мм, а наименьший интервал между отметками на линейке, используемой при измерении, составляет 1 мм, то первые три цифры (1, 1 и 4, а они показывают 114 мм) являются надежными только поэтому могут быть значащими цифрами. Среди этих цифр есть неопределенность в последней цифре (4, чтобы добавить 0,4 мм), но она также считается значимой цифрой [1], поскольку цифры, которые являются неопределенными, но надежными , считаются значимыми цифрами. Другим примером является измерение объема 2,98 л с погрешностью ± 0,05 л. Фактический объем находится где-то между 2,93 л и 3,03 л. Даже если все три цифры не точны (например, фактический объем может составлять 2,94 л, но также может быть 3,02 л.), но надежными, поскольку они указывают на фактический объем с приемлемой погрешностью. Итак, это значимые цифры. [2]
Следующие цифры не являются значащими цифрами. [3]
- Все ведущие нули . Например, 013 кг имеет две значащие цифры, 1 и 3, и ведущий ноль не имеет значения, поскольку нет необходимости указывать массу; 013 кг = 13 кг, поэтому 0 не требуется. 0,056 м имеет два незначащих начальных нуля, поскольку 0,056 м = 56 мм, поэтому начальные нули не являются абсолютно необходимыми для указания длины.
- Завершающие нули, когда они просто заполнители. Например, конечные нули в 1500 м в качестве измерения длины не имеют значения, если они просто заполнители для единиц и десятков, поскольку разрешение измерения составляет 100 м. В этом случае 1500 м означает, что длина для измерения близка к 1500 м, а не означает, что длина составляет ровно 1500 м.
- Ложные цифры, введенные в результате вычислений, приводящие к получению числа с большей точностью, чем точность используемых данных в вычислениях, или к измерению, сообщаемому с большей точностью, чем разрешение измерения.
Из значащих цифр в числе наиболее значимой является цифра с наивысшим значением показателя степени (просто самая значимая слева цифра), а наименее значимой - цифра с наименьшим значением показателя степени (просто самая значимая справа цифра). . Например, в числе «123» цифра «1» является наиболее значимой, так как она исчисляется сотнями (10 2 ), а «3» - наименее значимой цифрой при подсчете единиц (10 0 ).
Арифметика значимости - это набор приблизительных правил для приблизительного поддержания значимости во время вычислений. Более сложные научные правила известны как распространение неопределенности .
Числа часто округляют, чтобы не сообщать незначительные цифры. Например, если бы весы измерялись только с точностью до грамма , это привело бы к ложной точности, чтобы выразить измерение как 12,34525 кг. В этом случае значащие цифры - это первые 5 цифр от крайней левой цифры (1, 2, 3, 4 и 5), и число необходимо округлить до значащих цифр, чтобы оно составляло 12,345 кг, как надежное значение. Числа также могут быть округлены просто для простоты, а не для указания точности измерения, например, чтобы числа быстрее произносились в выпусках новостей.
Далее предполагается основание системы счисления 10.
Определение значащих цифр
Правила определения значащих цифр в числе
Обратите внимание, что для идентификации значащих цифр в номере необходимо знать, какие цифры являются надежными (например, зная разрешение измерения или отчета, с которым число получено или обработано), поскольку только надежные цифры могут быть значимыми; например, 3 и 4 в 0,00234 г не имеют значения, если измеряемый наименьший вес составляет 0,001 г. [4]
- Ненулевые цифры в пределах данного измерения или разрешения имеют значение .
- 91 имеет две значащие цифры (9 и 1), если это цифры, разрешенные для измерения.
- 123.45 имеет пять значащих цифр (1, 2, 3, 4 и 5), если они находятся в пределах разрешающей способности измерения. Если разрешение 0,1, то последняя цифра 5 не имеет значения.
- Нули между двумя существенными ненулевыми цифрами являются значительными ( существенными запертыми нулями) .
- 101.12003 состоит из значащих цифр при разрешении до 0,00001.
- 125.340006 имеет семь значащих цифр, если разрешение составляет 0,0001: 1, 2, 5, 3, 4, 0 и 0.
- Нули слева от первой ненулевой цифры ( ведущие нули ) не имеют значения .
- Если измерение длины дает 0,052 км, тогда 0,052 км = 52 м, поэтому значения 5 и 2 имеют значение только; ведущие нули появляются или исчезают в зависимости от того, какая единица используется, поэтому они не являются абсолютно необходимыми для обозначения шкалы измерения.
- 0,00034 имеет 4 значащих нуля, если разрешение равно 0,001. (3 и 4 выходят за рамки разрешения, поэтому не имеют значения.)
- Нули справа от последней ненулевой цифры ( конечные нули ) в числе с десятичной точкой имеют значение, если они находятся в пределах разрешающей способности измерения или отчета.
- 1.200 состоит из четырех значащих цифр (1, 2, 0 и 0), если это допускается разрешающей способностью измерения.
- 0,0980 имеет три значащих цифры (9, 8 и последний ноль), если они находятся в пределах разрешающей способности измерения.
- 120.000 состоит из значащих цифр, за исключением последнего нуля. Если разрешение составляет 0,01.
- Завершающие нули в целых числах могут иметь значение , а могут и не иметь значения , в зависимости от измерения или разрешения отчетов.
- 45600 имеет 3, 4 или 5 значащих цифр в зависимости от того, как используются последние нули. Например, если длина дороги сообщается как 45600 м без информации об отчетах или разрешении измерений, тогда неясно, точно ли измерена длина дороги как 45600 м или это приблизительная оценка. Если это приблизительная оценка, то значимы только первые три ненулевые цифры, так как конечные нули не являются ни надежными, ни необходимыми; 45600 м можно выразить как 45,6 км или как 4,56 × 10 4 м в экспоненциальном представлении , и оба выражения не требуют завершающих нулей.
- Точное число имеет бесконечное количество значащих цифр.
- Если количество яблок в мешке равно 4 (точное число), то это число равно 4,0000 ... (с бесконечными нулями в конце справа от десятичной точки). В результате число 4 не влияет на количество значащих цифр или цифр в результате вычислений с ним.
- Математическая или физическая константа имеет значащие цифры перед известными цифрами.
- π , как отношение длины окружности к диаметру круга, составляет 3,14159265358979323 ... до 50 триллионов цифр [5], рассчитанных по состоянию на 2020-01-29, поэтому количество значащих цифр π и есть эта сумма.
- Постоянная Планка равна и определяется как точное значение, поэтому его более правильно определить как . [6]
Способы обозначения значащих цифр в целых числах с завершающими нулями
Значение конечных нулей в числе, не содержащем десятичной точки, может быть неоднозначным. Например, не всегда может быть ясно, является ли число 1300 точным с точностью до ближайшей единицы (просто случайно оказывается, что оно является точным кратным сотне) или оно отображается только с точностью до ближайших сотен из-за округления или неопределенности. Для решения этой проблемы существует множество соглашений. Однако они не используются повсеместно и будут эффективны только в том случае, если читатель знаком с соглашением:
- Overline , иногда также называют Черта, или менее точно, A винкулум , может быть размещен над последней значащей цифры; любые конечные нули, следующие за ним, не имеют значения. Например, 13 0 0 состоит из трех значащих цифр (и, следовательно, указывает на то, что число является точным с точностью до десяти).
- Реже, используя тесно связанные соглашения, последняя значащая цифра числа может быть подчеркнута ; например, «1 3 00» состоит из двух значащих цифр.
- После числа можно поставить десятичную точку; например «1300». указывает, в частности, что конечные нули должны иметь значение. [7]
Поскольку приведенные выше условные обозначения не являются общедоступными, для обозначения значимости числа с конечными нулями доступны следующие более широко признанные варианты:
- Устраните неоднозначные или незначительные нули, изменив префикс единицы измерения в числе с единицей измерения . Например, точность измерения, указанная как 1300 г, является неоднозначной, а если указано как 1,30 кг, это не так. Аналогично 0,0123 л можно переписать как 12,3 мл.
- Устранение неоднозначных или незначительных нулей с помощью научной нотации: например, 1300 с тремя значащими цифрами становится 1,30 × 10 3 . Аналогично 0,0123 можно переписать как1,23 × 10 −2 . Часть представления , которая содержит значительные цифры (1,30 или 1,23) известен как мантиссы или мантиссы. Цифры в основании и экспоненте (10 3 или10 −2 ) считаются точными числами, поэтому для этих цифр значащие цифры не имеют значения.
- Четко укажите количество значащих цифр (иногда используется сокращение sf): например, «от 20 000 до 2 sf» или «20 000 (2 sf)».
- Четко укажите ожидаемую изменчивость (точность) со знаком плюс-минус , например, 20 000 ± 1%. Это также позволяет указать диапазон точности между степенями десяти.
Округление до значащих цифр
Округление до значащих цифр - это более универсальный метод, чем округление до n цифр, поскольку он обрабатывает числа разного масштаба одинаково. Например, население города может быть известно с точностью до ближайшей тысячи и может быть указано как 52 000, в то время как население страны может быть известно только с точностью до ближайшего миллиона и может быть указано как 52 000 000. Первые могут быть ошибочными на сотни, а вторые - на сотни тысяч, но оба имеют две значащие цифры (5 и 2). Это отражает тот факт, что значимость ошибки одинакова в обоих случаях относительно размера измеряемой величины.
Чтобы округлить число до n значащих цифр: [8] [9]
- Если n + 1 цифра больше 5 или 5, за которой следуют другие ненулевые цифры, добавьте 1 к n цифре. Например, если мы хотим округлить 1,2459 до 3 значащих цифр, то на этом шаге получится 1,2559. (Цифры после цифры n будут удалены на более позднем этапе.)
- Если n + 1 цифра - это 5, за которой не следуют другие цифры или за ней следуют только нули, тогда для округления требуется правило разрешения конфликтов. Например, чтобы округлить 1,25 до 2 значащих цифр:
- Округление половины от нуля (также известное как «5/4») [ необходима цитата ] округляет до 1,3. Это метод округления по умолчанию, применяемый во многих дисциплинах [ необходима ссылка ], если требуемый метод округления не указан.
- Округлить половину до четного , чтобы округлить до ближайшего четного числа. С помощью этого метода 1,25 округляется до 1,2. Если этот метод применяется к 1,35, то он округляется до 1,4. Этот метод предпочитают многие научные дисциплины, потому что, например, он позволяет избежать искажения среднего значения длинного списка значений вверх.
- Для целого числа в округлении замените цифры после n цифрой нулями. Например, если 1254 округляется до 2 значащих цифр, тогда 5 и 4 заменяются на 0, чтобы получилось 1300. Для числа с десятичной запятой в округлении удалите цифры после n цифры. Например, если 14,895 округляется до 3 значащих цифр, то цифры после 8 удаляются, и получается 14,9.
В финансовых расчетах число часто округляется до заданного количества знаков. Например, до двух знаков после десятичного разделителя для многих мировых валют. Это делается потому, что большая точность несущественна, и обычно невозможно погасить задолженность меньше наименьшей денежной единицы.
В налоговых декларациях Великобритании доход округляется до ближайшего фунта, а уплаченный налог рассчитывается до ближайшего пенни.
В качестве иллюстрации десятичная величина 12,345 может быть выражена различным количеством значащих цифр или десятичных знаков. Если доступна недостаточная точность, то число округляется каким-либо образом, чтобы соответствовать имеющейся точности. В следующей таблице показаны результаты для различной общей точности при двух способах округления («Н / Д» означает «Неприменимо»).
Точность | Округлено до значащих цифр | Округлено до десятичных знаков |
---|---|---|
6 | 12,3450 | 12,345000 |
5 | 12,345 | 12,34500 |
4 | 12,34 или 12,35 | 12,3450 |
3 | 12,3 | 12,345 |
2 | 12 | 12,34 или 12,35 |
1 | 10 | 12,3 |
0 | N / A | 12 |
Другой пример для 0,012345 . (Помните, что ведущие нули не имеют значения.)
Точность | Округлено до значащих цифр | Округлено до десятичных знаков |
---|---|---|
7 | 0,01234500 | 0,0123450 |
6 | 0,0123450 | 0,012345 |
5 | 0,012345 | 0,01234 или 0,01235 |
4 | 0,01234 или 0,01235 | 0,0123 |
3 | 0,0123 | 0,012 |
2 | 0,012 | 0,01 |
1 | 0,01 | 0,0 |
0 | N / A | 0 |
Представление ненулевого числа x с точностью до p значащих цифр имеет числовое значение, которое дается формулой: [ необходима ссылка ]
- где
который может потребоваться написать с особой маркировкой, как описано выше, чтобы указать количество значащих нулей в конце.
Написание неопределенности и подразумеваемой неопределенности
Значимые цифры в письменной неопределенности
Рекомендуется, чтобы результат измерения включал неопределенность измерения, такую как , где x best и σ x - наилучшая оценка и погрешность измерения соответственно. [10] x best может быть средним измеренным значением, а σ x может быть стандартным отклонением или кратным отклонению измерения. Правила писатьявляются: [11]
- σ x имеет только одну или две значащие цифры, так как более точная погрешность не имеет значения.
- 1,79 ± 0,06 (правильно), 1,79 ± 0,96 (правильно), 1,79 ± 1,96 (неправильно).
- Позиции последних значащих цифр в x best и σ x совпадают, в противном случае согласованность теряется. Например, в 1,79 ± 0,067 (неверно) нет смысла иметь более точную неопределенность, чем лучшая оценка. 1,79 ± 0,9 (неверно) также не имеет смысла, поскольку в приведенных ниже рекомендациях по округлению для сложения и вычитания указано, что границы диапазона истинных значений составляют 2,7 и 0,9, что менее точно, чем наилучшая оценка.
- 1,79 ± 0,06 (правильно), 1,79 ± 0,96 (правильно), 1,79 ± 0,067 (неправильно), 1,79 ± 0,9 (неправильно).
Подразумеваемая неопределенность
В химии (а также в других областях науки) неопределенность может подразумеваться последней значащей цифрой, если она не выражена явно. [2] Предполагаемая погрешность составляет ± половину минимальной шкалы в последней значащей позиции. Например, если объем воды в бутылке указан как 3,78 л без упоминания погрешности, то может подразумеваться погрешность измерения ± 0,005 л. Если измеряется 2,97 ± 0,07 кг, то есть фактический вес находится в пределах от 2,90 до 3,04 кг, и желательно указать его одним числом, тогда 3,0 кг - лучшее число для отчета, поскольку его подразумеваемая погрешность ± 0,05 кг говорит о диапазон веса от 2,95 до 3,05 кг, что близко к диапазону измерения. Если 2,97 ± 0,09 кг, то 3,0 кг по-прежнему является лучшим, поскольку, если указано 3 кг, подразумеваемая погрешность ± 0,5 указывает на диапазон от 2,5 до 3,5 кг, который является слишком широким по сравнению с диапазоном измерения.
Если есть необходимость записать подразумеваемую неопределенность числа, то ее можно записать как с указанием его как подразумеваемой неопределенности (чтобы читатели не могли распознать ее как неопределенность измерения), где x и σ x - это число с одной дополнительной нулевой цифрой (чтобы следовать правилам записи неопределенности выше) и подразумеваемая неопределенность этого соответственно. Например, 6 кг с предполагаемой погрешностью ± 0,5 кг можно указать как 6,0 ± 0,5 кг.
Арифметика
Поскольку существуют правила для определения значащих цифр в непосредственно измеряемых величинах, существуют также руководящие принципы (не правила) для определения значащих цифр в количествах, рассчитанных на основе этих измеренных величин.
Значимые числа в измеренных величинах наиболее важны при определении вместе с ними значащих цифр в вычисленных величинах . Математическая или физическая константа (например, π в формуле для площади круга с радиусом r как π r 2 ) не влияет на определение значащих цифр в результате вычисления с ней, если ее известные цифры равны до или более значащих цифр в измеренных величинах, используемых в расчетах. Точное число, такое как ½ в формуле для кинетической энергии массы m со скоростью v как ½ mv 2, не имеет отношения к значащим цифрам в вычисленной кинетической энергии, поскольку его количество значащих цифр бесконечно (0,500000 ...) .
Приведенные ниже рекомендации предназначены для того, чтобы избежать получения более точного результата расчета, чем измеренные величины, но они не гарантируют, что полученная подразумеваемая погрешность достаточно близка к измеренным погрешностям. Эту проблему можно увидеть при преобразовании единиц измерения. Если в руководящих принципах подразумеваемая неопределенность слишком далека от измеренных, тогда может потребоваться определение значащих цифр, которые дают сопоставимую неопределенность.
Умножение и деление
Для величин, созданных из измеренных величин посредством умножения и деления , результат вычисления должен иметь столько значащих цифр, сколько наименьшее количество значащих цифр среди измеренных величин, используемых в вычислении. [12] Например,
- 1,234 × 2 = 2 0,468 ≈ 2
- 1,234 × 2,0 = 2. 4 68 ≈ 2.5
- 0,01234 × 2 = 0,0 2 468 ≈ 0,02
с одной , двумя и одной значащими цифрами соответственно. (Здесь предполагается, что 2 не является точным числом.) В первом примере первый коэффициент умножения имеет четыре значащих цифры, а второй - одну значащую цифру. Фактор с наименьшим или наименьшим числом значащих цифр - это второй фактор, имеющий только одно значение, поэтому окончательный расчетный результат также должен иметь одно значащее число.
Исключение
Для преобразования единиц предполагаемая неопределенность результата может быть неудовлетворительно выше, чем в предыдущей единице, если следовать этому правилу округления; Например, для 8 дюймов подразумеваемая погрешность составляет ± 0,5 дюйма = ± 1,27 см. Если преобразовать его в сантиметровую шкалу и соблюдать правила округления для умножения и деления, то 2 0,32 см ≈ 20 см с предполагаемой погрешностью ± 5 см. Если это подразумеваемое неопределенность рассматривается как слишком занижены, то более правильные значащие цифры в результате преобразования блока может быть 2 0 .32 см ≈ 20. см с подразумеваемой погрешностью ± 0,5 см.
Другим исключением из применения приведенного выше правила округления является умножение числа на целое число, например 1,234 × 9. Если следовать приведенному выше правилу, то результат округляется до 1,234 × 9.000 .... = 11,1 0 6 ≈ 11,11. Однако это умножение, по сути, добавляет 1,234 к самому себе в 9 раз, например, 1,234 + 1,234 + ... + 1,234, поэтому рекомендации по округлению для сложения и вычитания, описанные ниже, являются более правильным подходом к округлению. [13] В результате окончательный ответ будет 1,234 + 1,234 + ... + 1,234 = 11,10 6 = 11,106 (увеличение на одну значащую цифру).
Сложение и вычитание
Для величин, созданных из измеренных величин путем сложения и вычитания , позиция последней значащей цифры (например, сотни, десятки, единицы, десятые, сотые и т. Д.) В вычисленном результате должна совпадать с позицией самой левой или самой большой цифры среди последние значащие цифры измеряемых величин в расчете. Например,
- 1,234 + 2 = 3 0,234 ≈ 3
- 1,234 + 2,0 = 3 2 34 ≈ 3.2
- 0,01234 + 2 = 2. 01234 ≈ 2
с последними значащими цифрами на единичном , десятом и единичном месте соответственно. (Здесь предполагается, что 2 не является точным числом.) В первом примере последний член первого члена имеет свою последнюю значащую цифру на разряде тысячных, а второй член имеет последнюю значащую цифру в разряде единиц . Самая левая или самая большая цифра среди последних значащих цифр этих терминов - это единицы, поэтому в вычисленном результате также должна быть последняя значащая цифра на разряде единиц.
Правило вычисления значащих цифр для умножения и деления не то же самое, что правило для сложения и вычитания. Для умножения и деления имеет значение только общее количество значащих цифр в каждом из факторов при расчете; позиция последней значащей цифры в каждом множителе не имеет значения. Для сложения и вычитания имеет значение только позиция последней значащей цифры в каждом из членов вычисления; общее количество значащих цифр в каждом термине не имеет значения. [ необходима цитата ] Тем не менее, большая точность часто достигается, если некоторые незначительные цифры сохраняются в промежуточных результатах, которые используются в последующих вычислениях. [ необходима цитата ]
Логарифм и антилогарифм
Основание 10 логарифм из нормализованного числа (то есть, × 10 б с 1 ≤ в <10 и б в виде целого числа), округляется таким образом, что его дробная часть ( так называемые мантиссы ) имеет столько же значащие цифры как значащие цифры в нормализованное число.
- log 10 (3.000 × 10 4 ) = log 10 (10 4 ) + log 10 (3.000) = 4.000000 ... (точное число с бесконечными значащими цифрами) + 0,477 1 212547 ... = 4,477 1 212547 ≈ 4,4771.
При вычислении антилогарифма нормализованного числа результат округляется, чтобы иметь столько значащих цифр, сколько значащих цифр в десятичной части числа, подлежащего антилогарифмической обработке.
- 10 4,4771 = 299 9 8,5318119 ... = 30000 = 3,000 × 10 4 .
Трансцендентные функции
Если трансцендентная функция (например, экспоненциальная функция , логарифм и тригонометрические функции ) дифференцируема по элементу области x , затем по количеству значащих цифр (обозначенных как "значащие цифры") приблизительно связано с количеством значащих цифр в x (обозначаемых как" значащие цифры x ") по формуле
,
где это условие номер . См. « Арифметика значимости», чтобы найти ее вывод.
Округлить только по окончательному результату расчета
При выполнении многоэтапных расчетов не округляйте результаты промежуточных расчетов; сохраняйте столько цифр, сколько возможно (по крайней мере, на одну цифру больше, чем позволяет правило округления для каждого этапа) до конца всех вычислений, чтобы избежать кумулятивных ошибок округления при отслеживании или записи значащих цифр в каждом промежуточном результате. Затем округлите окончательный результат, например, до наименьшего числа значащих цифр (для умножения или деления) или до самой левой позиции последней значащей цифры (для сложения или вычитания) среди входных данных в окончательном вычислении. [14]
- (2,3494 + 1,345) × 1,2 = 3,69 4 4 × 1,2 = 4. 4 3328 ≈ 4.4.
- (2,3494 × 1,345) + 1,2 = 3,15 9 943 + 1,2 = 4. 3 59943 ≈ 4,4.
Оценка дополнительной цифры
При использовании линейки сначала используйте наименьшую отметку в качестве первой оценочной цифры. Например, если наименьшая отметка линейки составляет 0,1 см, а считывается 4,5 см, то это будет 4,5 (± 0,1 см) или 4,4–4,6 см относительно наименьшего интервала между отметками. Однако на практике размер обычно можно оценить на глаз ближе, чем интервал между наименьшей отметкой линейки, например, в приведенном выше случае его можно оценить как от 4,51 см до 4,53 см.
Также возможно, что общая длина линейки может быть неточной до степени наименьшей отметки, и отметки могут быть несовершенно разнесены в пределах каждой единицы. Однако, если принять нормальную линейку хорошего качества, должна быть возможность оценить десятые доли между ближайшими двумя отметками, чтобы получить дополнительный десятичный разряд точности. [15] В противном случае ошибка чтения линейки добавляется к любой ошибке калибровки линейки. [16]
Оценка в статистике
При оценке доли лиц, несущих определенную характеристику в популяции, из случайной выборки этой совокупности, количество значащих цифр не должно превышать максимальную точность, допускаемую этим размером выборки.
Отношение к точности и прецизионности измерения
Традиционно в различных областях техники «точность» означает близость данного измерения к его истинному значению; «точность» относится к стабильности этого измерения при многократном повторении. В надежде отразить то, как термин «точность» на самом деле используется в научном сообществе, недавно появился стандарт ISO 5725, который сохраняет то же определение точности, но определяет термин «правильность» как близость данного измерения. истинное значение и использует термин «точность» как сочетание правдивости и точности. ( Полное обсуждение см. В статье « Точность и точность» .) В любом случае количество значащих цифр примерно соответствует точности , а не точности или новой концепции правильности.
В вычислениях
Компьютерные представления чисел с плавающей запятой используют форму округления до значащих цифр, как правило, с двоичными числами . Количество правильных значащих цифр тесно связано с понятием относительной погрешности (которое имеет то преимущество, что является более точной мерой точности и не зависит от системы счисления , также известной как основание, используемой системы счисления).
Смотрите также
- Закон Бенфорда (закон первых цифр)
- Инженерная нотация
- Панель ошибок
- Ложная точность
- IEEE754 (стандарт IEEE с плавающей запятой)
- Интервальная арифметика
- Алгоритм суммирования Кахана
- Точность (информатика)
- Ошибка округления
Рекомендации
- ^ «Значимые числа - написание чисел для отражения точности» . Химия - Libretexts . 2019-09-04.
- ^ а б Нижний, Стивен (2021-03-31). «Значимые цифры и округление» . Химия - LibreTexts .
- ^ Химия в сообществе ; Кендалл-Хант: Дубьюк, ИА 1988
- ^ Дать точное определение количества правильных значащих цифр на удивление сложно, см. Хайэм, Николас (2002). Точность и стабильность численных алгоритмов (PDF) (2-е изд.). СИАМ. С. 3–5.
- ^ Наиболее точное значение числа пи
- ^ «Постановления 26-го ГКБП» (PDF) . BIPM . 2018-11-16. Архивировано из оригинального (PDF) на 2018-11-19 . Проверено 20 ноября 2018 .
- ^ Майерс, Р. Томас; Олдхэм, Кейт Б.; Токчи, Сальваторе (2000). Химия . Остин, Техас: Холт Райнхарт Уинстон. п. 59 . ISBN 0-03-052002-9.
- ^ Энгельбрехт, Нэнси; и другие. (1990). «Округление десятичных чисел с заданной точностью» (PDF) . Вашингтон, округ Колумбия: Министерство образования США.
- ^ Вычислительная математика и вычисления, Чейни и Кинкейд .
- ^ Луна, Эдуардо. «Неопределенности и значительные цифры» (PDF) . Колледж ДеАнза .
- ^ «Значимые фигуры» . Университет Пердью - факультет физики и астрономии .
- ^ «Правила значимой фигуры» . Государственный университет Пенсильвании.
- ^ «Неопределенность в измерениях - значимые цифры» . Химия - LibreTexts . 2017-06-16.
- ^ де Оливейра Саннибале, Вирджиниу (2001). «Измерения и значащие цифры (черновик)» (PDF) . Физическая лаборатория первокурсников . Калифорнийский технологический институт, отделение физики, математики и астрономии. Архивировано из оригинального (PDF) 18 июня 2013 года.
- ^ Экспериментальные электрические испытания . Ньюарк, Нью-Джерси: Weston Electrical Instruments Co., 1914. стр. 9 . Проверено 14 января 2019 .
Экспериментальные электрические испытания.
- ^ «Измерения» . slc.umd.umich.edu . Мичиганский университет . Проверено 3 июля 2017 .
Внешние ссылки
- Видео со значительными фигурами от Академии Хана