Теорема Карлесона является фундаментальным результатом математического анализа , устанавливающим поточечную ( лебеговскую ) сходимость почти всюду рядов Фурье функций L 2 , доказанную Леннартом Карлесоном ( 1966 ). Это имя также часто используется для обозначения распространения результата Ричарда Ханта ( 1968 ) на функции L p для p ∈ (1, ∞] (также известного как теорема Карлесона–Ханта) .) и аналогичные результаты для поточечной почти всюду сходимости интегралов Фурье , эквивалентность которых можно показать методами переноса.
Фундаментальный вопрос о рядах Фурье, заданный самим Фурье в начале XIX века, заключается в том, сходится ли ряд Фурье непрерывной функции поточечно к этой функции.
Слегка усилив предположение о непрерывности, легко показать, что ряд Фурье сходится всюду. Например, если функция имеет ограниченную вариацию , то ее ряд Фурье всюду сходится к локальному среднему значению функции. В частности, если функция непрерывно дифференцируема, то ее ряд Фурье сходится к ней всюду. Это было доказано Дирихле, который выразил уверенность, что вскоре сможет распространить свой результат на все непрерывные функции. Другой способ добиться сходимости всюду — изменить метод суммирования. Например, теорема Фейера показывает, что если заменить обычное суммирование суммированием Чезарото ряд Фурье любой непрерывной функции сходится равномерно к этой функции. Далее, легко показать, что ряд Фурье любой L2 - функции сходится к ней по L2 - норме .
После результата Дирихле несколько экспертов, в том числе Дирихле, Риман, Вейерштрасс и Дедекинд, заявили о своей вере в то, что ряд Фурье любой непрерывной функции будет сходиться везде. Это было опровергнуто Полом дю Буа-Реймоном , показавшим в 1876 году, что существует непрерывная функция, ряд Фурье которой расходится в одной точке .
Сходимость почти всюду рядов Фурье для функций L 2 была постулирована Н. Н. Лузиным ( 1915 ), и проблема была известна как гипотеза Лузина (до ее доказательства Карлесоном (1966) ). Колмогоров (1923) показал, что аналог результата Карлесона для L 1 неверен, найдя такую функцию, ряд Фурье которой расходится почти всюду (немного улучшенный в 1926 году до расходящегося везде). До результата Карлесона наилучшей известной оценкой частных сумм s n ряда Фурье функции из L p была
Первоначальное доказательство Карлесона исключительно трудно читать, и, хотя несколько авторов упростили аргументацию, до сих пор нет простых доказательств его теоремы. Экспозиции оригинальной статьи Карлесона (1966) включают Кахане (1995) , Моццочи (1971) , Йорсбо и Мейлбро (1982) и Ариас де Рейна (2002) .Чарльз Фефферман ( 1973 ) опубликовал новое доказательство расширения Ханта, основанное на ограничении максимального оператора . Это, в свою очередь, вдохновило Майкла Лейси и Кристофа Тиле на сильно упрощенное доказательство результата L2 ( 2000 ).), более подробно объясненный в Lacey (2004) . Книги Fremlin (2003) и Grafakos (2014) также содержат доказательства теоремы Карлесона.