Принцип равномерной ограниченности

В математике , то принцип равномерной ограниченности или Банаха- Штейнгауз теорема является одним из фундаментальных результатов в функциональном анализе . Вместе с теоремой Хана – Банаха и теоремой об открытом отображении она считается одним из краеугольных камней этой области. В своей основной форме он утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов (и, следовательно, ограниченных операторов), область определения которых является банаховым пространством , точечная ограниченность эквивалентна равномерной ограниченности по операторной норме .

Теорема была впервые опубликована в 1927 году Стефаном Банахом и Хьюго Штайнхаусом , но также была независимо доказана Гансом Ханом .

Теорема [ править ]

Равномерное Ограниченность Принцип - Пусть X будет банахово пространство и Y нормированное векторное пространство . Предположим , что F представляет собой совокупность непрерывных линейных операторов из X в Y . Если

{\ Displaystyle \ sup \ nolimits _ {T \ in F} \ | T (x) \ | _ {Y} <\ infty,}

для всех $x \in X$ , то

{\ Displaystyle \ sup \ nolimits _ {T \ in F, \ | x \ | = 1} \ | T (x) \ | _ {Y} = \ sup \ nolimits _ {T \ in F} \ | T \ | _ {B (X, Y)} <\ infty.}

Полнота X позволяет следующее короткое доказательство, использующее теорему Бэра о категории .

Доказательство

Пусть $X$ - банахово пространство. Предположим , что для любого $х \in X$ ,

{\ Displaystyle \ sup \ nolimits _ {T \ in F} \ | T (x) \ | _ {Y} <\ infty.}

Для каждого целого числа пусть ${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {N}}$

{\ displaystyle X_ {n} = \ left \ {x \ in X \: \ \ sup \ nolimits _ {T \ in F} \ | T (x) \ | _ {Y} \ leq n \ right \}. }

Каждый набор является замкнутым и по предположению ${\ displaystyle X_ {n}}$

{\ displaystyle \ bigcup \ nolimits _ {n \ in \ mathbf {N}} X_ {n} = X \ neq \ varnothing.}

По теореме Бэра о категории для непустого полного метрического пространства X существует такое $m$ , которое имеет непустую внутренность ; то есть существуют и $ε> 0$ такие, что ${\ displaystyle X_ {m}}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ in X_ {m}}$

{\overline {B_{\varepsilon }(x_{0})}}:=\{x\in X\,:\,\|x-x_{0}\|\leq \varepsilon \}\subseteq X_{m}.

Пусть $¯u \in X$ с $ǁ ¯u ǁ \leq 1$ и $T \in F$ . У одного есть это:

{\begin{aligned}\|T(u)\|_{Y}&=\varepsilon ^{-1}\left\|T\left(x_{0}+\varepsilon u\right)-T(x_{0})\right\|_{Y}&[{\text{by linearity of }}T]\\&\leq \varepsilon ^{-1}\left(\left\|T(x_{0}+\varepsilon u)\right\|_{Y}+\left\|T(x_{0})\right\|_{Y}\right)\\&\leq \varepsilon ^{-1}(m+m).&[{\text{since}}\ x_{0}+\varepsilon u,\ x_{0}\in X_{m}]\\\end{aligned}}

Взяв супремум по u в единичном шаре X и по $T \in F,$ получаем, что

\sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}\leq 2\varepsilon ^{-1}m<\infty .

Существуют также простые доказательства, не использующие теорему Бэра ( Sokal 2011 ).

Следствия [ править ]

Следствие - Если последовательность ограниченных операторов $(Т п)$ сходится точечно, то есть предел ${Т п (х)}$ существует для всех $х \in Х$ , то эти пределы поточечные определить ограниченный оператор Т .

Приведенное выше следствие не утверждает, что $T n$ сходится к T по операторной норме, т.е. равномерно на ограниченных множествах. Однако, поскольку ${T n}$ ограничен по операторной норме, а предельный оператор T непрерывен, стандартная оценка «3-ε» показывает, что $T n$ сходится к T равномерно на компактах .

Следствие - Любое слабо ограниченное подмножество S в нормированном пространстве Y ограничено.

Действительно, элементы S определим точечно ограниченное семейство непрерывных линейных форм на банаховом пространстве $X = Y *$ , непрерывный двойственный Y . По принципу равномерной ограниченности нормы элементов S как функционалов на X , т. Е. Нормы во втором двойственном $Y **$ , ограничены. Но для любого $s \in S$ норма во втором двойственном элементе совпадает с нормой в Y по следствию теоремы Хана – Банаха .

Пусть $L (X, Y)$ обозначает непрерывные операторы из X в Y с операторной нормой. Если набор F неограничен в $L (X, Y)$ , то по принципу равномерной ограниченности имеем:

R=\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F}\|Tx\|_{Y}=\infty \right\}\neq \varnothing

В самом деле, R плотно в X . Дополнением к R в X является счетное объединение замкнутых множеств $\cup X n$ . К аргументу используется при доказательстве теоремы, каждый из $X п$ не является нигде не плотным , то есть подмножество $\cup X п$ является первой категории . Следовательно, R является дополнением к подмножеству первой категории в пространстве Бэра. По определению пространства Бэра такие множества (называемые остаточными множествами ) плотны. Такое рассуждение приводит к принципу конденсации особенностей, который можно сформулировать следующим образом:

Теорема - Пусть Х банахово пространство, ${У п}$ последовательность нормированных векторных пространств, а $Р п$ неограниченная семейство в $L (X, Y п)$ . Тогда набор

R=\left\{x\in X\ :\ \forall n\in \mathbf {N} :\sup \nolimits _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y_{n}}=\infty \right\}

представляет собой остаточное множество, и , таким образом , плотно в X .

Доказательство

Дополнением к R является счетное объединение

\bigcup \nolimits _{n,m}\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y_{n}}\leq m\right\}

комплектов первой категории. Следовательно, его остаточное множество R плотно.

Пример: поточечная сходимость рядов Фурье [ править ]

Позвольте быть окружностью , и пусть быть банаховым пространством непрерывных функций на с равномерной нормой . Используя принцип равномерной ограниченности, можно показать, что существует элемент, для которого ряд Фурье поточечно не сходится. $\mathbb {T}$ $C(\mathbb {T} )$ $\mathbb {T} ,$ $C(\mathbb {T} )$

Ибо его ряд Фурье определяется выражением $f\in C(\mathbb {T} ),$

\sum _{k\in \mathbf {Z} }{\hat {f}}(k)e^{ikx}=\sum _{k\in \mathbf {Z} }{\frac {1}{2\pi }}\left(\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-ikt}dt\right)e^{ikx},

а N -я симметричная частичная сумма равна

S_{N}(f)(x)=\sum _{k=-N}^{N}{\hat {f}}(k)e^{ikx}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)D_{N}(x-t)\,dt,

где D _N - N -ое ядро Дирихле . Зафиксируем и рассмотрим сходимость { S _N ( f ) ( x )}. Функционал, определяемый $x\in \mathbb {T}$ $\varphi _{N,x}:C(\mathbb {T} )\to \mathbb {C}$

\varphi _{N,x}(f)=S_{N}(f)(x),\qquad f\in C(\mathbb {T} ),

ограничен. Норма $φ N, x$ в двойственном к равенству - это норма знаковой меры $(2π)$ $-1$ $D$ $N$ $($ $x$ $-$ $t$ $) d$ $t$ , а именно $C(\mathbb {T} )$

\left\|\varphi _{N,x}\right\|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(x-t)\right|\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(s)\right|\,ds=\left\|D_{N}\right\|_{L^{1}(\mathbb {T} )}.

Можно убедиться, что

{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|D_{N}(t)|\,dt\geq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|\sin \left((N+{\tfrac {1}{2}})t\right)\right|}{t/2}}\,dt\to \infty .

Таким образом, набор ${φ N, x}$ неограничен в двойственном к. Следовательно, по принципу равномерной ограниченности для любого множества непрерывных функций, ряд Фурье которых расходится в x , плотен в $C(\mathbb {T} )^{\ast },$ $C(\mathbb {T} ).$ $x\in \mathbb {T} ,$ $C(\mathbb {T} ).$

К большему выводу можно прийти, применив принцип сгущения сингулярностей. Пусть ${x m}$ будет плотной последовательностью в Определите $φ$ $N$ $,$ $x$ $m$ аналогично тому, как указано выше. Тогда принцип уплотнения особенностей гласит, что множество непрерывных функций, ряд Фурье которых расходится в каждом $x$ $m$ , плотно в (однако ряд Фурье непрерывной функции f сходится к $f$ $($ $x$ $)$ почти для всех по теореме Карлесона ) . $\mathbb {T} .$ $C(\mathbb {T} )$ $x\in \mathbb {T}$

Обобщения [ править ]

Наименее ограничивающим условием для принципа равномерной ограниченности является пространство с бочками, в котором выполняется следующая обобщенная версия теоремы ( Бурбаки, 1987 , теорема III.2.1) :

Теорема - Учитывая бочечно X и локально выпуклое пространство Y , то любое семейство точечно ограниченных линейных непрерывных отображений из X в Y является эквинепрерывно (даже равномерно эквинепрерывно ).

С другой стороны, утверждение также верно, когда X - пространство Бэра, а Y - локально выпуклое пространство. ^[1]

Дьедонне (1970) доказывает более слабую форму этой теоремы с помощью пространств Фреше, а не обычных банаховых пространств. Конкретно,

Теорема - Пусть X пространство Фреше, Y нормированное пространство, а H множество непрерывных линейных отображений X INTO Y . Если для каждого $х \in X$ ,

\sup \nolimits _{u\in H}\|u(x)\|<\infty

то семейство H равностепенно непрерывно.

См. Также [ править ]

Бочкообразное пространство - топологическое векторное пространство с почти минимальными требованиями для выполнения теоремы Банаха – Штейнхауза.
Теорема Урсеску - теорема, которая одновременно обобщает замкнутый граф, открытое отображение и теоремы Банаха – Штейнгауза.

Цитаты [ править ]

↑ Штерн, 2001 .

Библиография [ править ]

Банах, Стефан ; Steinhaus, Hugo (1927), "Sur Le Принсипе де - ла - де - конденсацию singularités" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 9 : 50-61, DOI : 10,4064 / фм-9-1-50-61. (На французском)
Банах, Стефан (1932). Теорье де операции Linéaires [ Теория линейных операций ] (PDF) . Monografie Matematyczne (на французском языке). 1 . Варшава: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901 . Архивировано из оригинального (PDF) 11 января 2014 года . Проверено 11 июля 2020 .
Бурбаки, Николас (1987) [1981]. Sur some espaces vectoriels topologiques [ Топологические векторные пространства: главы 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Перевод Eggleston, HG; Мадан, С. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
Дьедонне, Жан (1970), Трактат об анализе, Том 2 , Academic Press.
Хусейн, Такдир; Халилулла, С.М. (1978). Бочкообразность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Конспект лекций по математике . 692 . Берлин, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC 4493665 .
Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . 936 . Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370 .
Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Рудин, Уолтер (1966), Реальный и комплексный анализ , McGraw-Hill.
Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .
Штерн, AI (2001) [1994], "Принцип равномерной ограниченности" , Энциклопедия математики , EMS Press.
Сокал, Алан (2011), "Действительно простое элементарное доказательство теоремы о равномерной ограниченности", Amer. Математика. Ежемесячно , 118 (5): 450–452, arXiv : 1005.1585 , doi : 10.4169 / amer.math.monthly.118.05.450 , S2CID 41853641.
Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .

[FOOTNOTEShtern2001-1] Штерн, 2001 .

vтеТопологические векторные пространства (ТВП)
Основные понятия	Банахово пространство Непрерывный линейный оператор Функционалы Гильбертово пространство Линейные операторы Локально выпуклое пространство Гомоморфизм Топологическое векторное пространство Векторное пространство
Основные результаты	Теорема о замкнутом графике Теорема Ф. Рисса Хана – Банаха ( отрыв гиперплоскостей Векторозначный Хан – Банах ) Открытое отображение (Банаха – Шаудера) ( ограниченное обратное ) Равномерная ограниченность (Банаха – Штейнгауза)
Карты	Почти открыто Билинейная ( форма оператор ) и полуторалинейные формы Закрыто Компактный оператор Непрерывные и прерывистые линейные карты Плотно очерченный Гомоморфизм Функционалы Норма Оператор Семинорм Сублинейный Транспонировать
Виды наборов	Абсолютно выпуклый / дисковый Поглощающий / Радиальный Аффинный Сбалансированный / По кругу Банаховые диски Граничные точки Ограниченный Дополненное подпространство Выпуклый Выпуклый конус (подмножество) Линейный конус (подмножество) Крайняя точка Предварительно компактный / полностью ограниченный Радиальный Радиально выпуклый / Звездообразный Симметричный
Установить операции	Аффинная оболочка ( Относительный ) Алгебраический интерьер (основной) Выпуклый корпус Линейный пролет Сложение Минковского Полярный ( Квази ) Относительный интерьер
Типы ТВС	Асплунд Б-полный / Птак Банах ( Счетно ) Barreled ( Ультра- ) Борнологический Браунер Полный (DF) -пространство Выдающийся F-пространство Фреше ( ручной Фреше ) Гротендик Гильберта Infrabarreled Пространство интерполяции LB-пространство LF-пространство Локально выпуклое пространство Макки (Псевдо) Метризуемый Montel Квазибаррельский Почти полный Квазинформированный ( Полиномиально Полу- ) рефлексивный Рис Шварц Полукомплект Смит Стереотип ( B Строго Равномерно выпуклый ( Квази ) Ультрабочий Равномерно гладкий Перепончатый С свойством аппроксимации