В математике , магия гиперкуба является к - мерное обобщение магических квадратов и магических кубов , то есть, п × п × п × ... × п массив целых чисел , таких , что сумма чисел на каждом столбе (по любой оси), как и на диагоналях основного пространства , все одинаковы. Общая сумма называется магической постоянной гиперкуба и иногда обозначается M k ( n ). Если магический гиперкуб состоит из чисел 1, 2, ..., n k, то у него есть магическое число
- .
При k = 4 магический гиперкуб можно назвать магическим тессерактом с последовательностью магических чисел, заданной OEIS : A021003 .
Длина стороны n магического гиперкуба называется его порядком . Дж . Р. Хендрикс построил четырех-, пяти-, шести-, семи- и восьмимерные магические гиперкубы третьего порядка .
Мариан Тренклер доказал следующую теорему: p -мерный магический гиперкуб порядка n существует тогда и только тогда, когда p > 1 и n отлично от 2 или p = 1. Конструкция магического гиперкуба следует из доказательства.
Язык программирования R включает модуль, библиотеку (magic) , которая будет создавать волшебные гиперкубы любой размерности с n кратным 4.
Волшебные гиперкубы Perfect и Nasik
Если, кроме того, числа на каждой диагонали поперечного сечения также суммируются с магическим числом гиперкуба, гиперкуб называется совершенным магическим гиперкубом ; в противном случае он называется полусовершенным магическим гиперкубом . Число n называется порядком магического гиперкуба.
Приведенное выше определение «совершенного» предполагает, что используется одно из старых определений совершенных волшебных кубиков. См. « Классы волшебного куба» . Универсальная система классификации Гиперкубы (John R. Hendricks) требует , чтобы для любой размерности гиперкуба, все возможные линии просуммировать правильно для гиперкуба будет считаться совершенной магией. Из - за путаницы с термином совершенен , Назик теперь предпочтительный термин для любого магического гиперкуба , где все возможно линий сумма к S . Насик был определен таким образом Ч. Планком в 1905 году. Магический гиперкуб насика имеет1/2(3 n - 1) строк по m чисел, проходящих через каждую из m n ячеек.
Обозначения
Для того, чтобы держать вещи под рукой, были разработаны специальные обозначения:
- : позиции в гиперкубе
- : вектор через гиперкуб
Примечание. Обозначение позиции также может использоваться для значения в этой позиции. Затем, где это уместно, к нему можно добавить размер и порядок, образуя таким образом: n [ k i] m
Как указано, 'k' проходит через размеры, в то время как координата 'i' проходит через все возможные значения, когда значения 'i' выходят за пределы диапазона, она просто перемещается обратно в диапазон, добавляя или вычитая соответствующие кратные m, как магический гиперкуб находится в n-мерном модульном пространстве.
Между скобками может быть несколько 'k', они не могут иметь одинаковое значение, хотя и в неопределенном порядке, что объясняет равенство:
Конечно, при заданном «k» также упоминается одно значение «i».
Когда упоминается конкретное значение координаты, другие значения могут быть приняты как 0, что особенно актуально, когда количество 'k ограничено с помощью pe. # k = 1 как в:
(«осевой» - сосед )
(# j = n-1 можно оставить неопределенным) j теперь проходит через все значения в [0..k-1, k + 1..n-1].
Далее: без ограничений указанные «k» и «i» проходят через все возможные значения, в комбинациях одинаковые буквы принимают одинаковые значения. Таким образом можно указать конкретную строку внутри гиперкуба (см. R-agonal в разделе поиска пути)
Примечание: насколько мне известно, эта нотация еще не используется повсеместно (?). Гиперкубы обычно не анализируются таким образом.
Далее: « perm (0..n-1) » задает перестановку n чисел 0..n-1.
Строительство
Помимо более специфических конструкций, можно выделить еще два общих способа построения:
Конструкция KnightJump
Эта конструкция обобщает движение лошадей на шахматной доске (векторов ) к более общим движениям (векторам ). Метод начинается с позиции P 0, и последующие числа последовательно помещаются в позициидалее до тех пор, пока (после m шагов) не будет достигнута позиция, которая уже занята, необходим следующий вектор для поиска следующей свободной позиции. Таким образом, метод определяется матрицей n на n + 1:
Это позиционирует число 'k' в позиции:
Ч. Планк в своей статье 1905 года « Теория Пути Насика » дает условия для создания этим методом «Пути Насика» (или современных {совершенных}) гиперкубов.
Латинская рецептурная конструкция
(модульные уравнения). Этот метод также определяется матрицей n на n + 1. Однако на этот раз он умножает вектор n + 1 [x 0 , .., x n-1 , 1]. После этого умножения результат берется по модулю m для получения n (латинских) гиперкубов:
LP k = ( l = 0 Σ n-1 LP k, l x l + LP k, n )% m
чисел с основанием системы счисления m (также называемых " цифрами "). На этих LP k " смена цифр " (? Т.е. базовые манипуляции) обычно применяются до того, как эти LP k объединяются в гиперкуб:
n H m = k = 0 Σ n-1 LP k m k
JRHendricks часто использует модульное уравнение, условия для создания гиперкубов разного качества можно найти на http://www.magichypercubes.com/Encyclopedia в нескольких местах (особенно в p-секции)
Оба метода заполняют гиперкуб числами, прыжок коня гарантирует (при наличии соответствующих векторов), что каждое число присутствует. Латинский рецепт только в том случае, если компоненты ортогональны (нет двух цифр, занимающих одинаковую позицию)
Умножение
Среди различных способов сложения умножение [1] можно рассматривать как самый простой из этих методов. Основное умножение определяется по формуле:
n H m 1 * n H m 2 : n [ k i] m 1 m 2 = n [[[ k i \ m 2 ] m 1 m 1 n ] m 2 + [ k i% m 2 ] m 2 ] m 1 м 2
Большинство методов компаундирования можно рассматривать как вариации вышеперечисленных. Поскольку большинство квалификаторов инвариантны при умножении, можно, например, поместить любой вариант n H m 2 в приведенное выше уравнение, кроме того, что к результату можно применить манипуляции для улучшения качества. . Таким образом, можно указать удвоение Дж. Р. Хендрикса / М. Тренклара. Эти вещи выходят за рамки данной статьи.
Аспекты
Гиперкуб знает ! 2 n Аспективные варианты, которые получаются путем координатного отражения ([ k i] -> [ k (-i)]) и перестановок координат ([ k i] -> [ perm [k] i]), эффективно задающих Аспективный вариант:
n H m ~ R допустимо (0..n-1) ; R = k = 0 Σ n-1 ((отразить (k))? 2 k : 0); perm (0..n-1) перестановка 0..n-1
Где отражать (k) истина, если и только тогда отражается координата k, только тогда 2 k добавляется к R. Как легко видеть, только n координат могут быть отражены, объясняя 2 n , n! перестановка n координат объясняет другой фактор к общему количеству «Аспектных вариантов»!
Аспектные варианты обычно считаются равными. Таким образом, любой гиперкуб можно представить в "нормальном положении" следующим образом:
[ k 0] = min ([ k θ; θ ε {-1,0}]) (отражением)[ k 1; # k = 1] <[ k + 1 1; # k = 1]; k = 0..n-2 (перестановкой координат)
(здесь явно указано: [ k 0] минимум всех угловых точек. Осевой сосед последовательно на основе осевого номера)
Основные манипуляции
Помимо более специфических манипуляций, следующие имеют более общий характер.
- # [perm (0..n-1)] : перестановка компонентов
- ^ [perm (0..n-1)] : перестановка координат (n == 2: транспонировать)
- _2 ось [perm (0..m-1)] : моногональная перестановка (ось ε [0..n-1])
- = [perm (0..m-1)] : изменение цифры
Примечание. '#', '^', '_' И '=' являются неотъемлемой частью записи и используются в качестве селекторов манипуляции.
Перестановка компонентов
Определяется как обмен компонентами, таким образом изменяя множитель m k в m perm (k) , поскольку существует n гиперкубов компонентов, перестановка выполняется по этим n компонентам
Перестановка координат
Замена координаты [ k i] на [ perm (k) i], поскольку из-за n координат требуется перестановка по этим n направлениям.
Термин транспонирование (обычно обозначаемый t ) используется с двумерными матрицами, хотя, возможно, предпочтительнее было бы «перестановка координат».
Монагональная перестановка
Определяется как изменение [ k i ] на [ k perm (i) ] рядом с заданным «осевым» направлением. Равные перестановки по различным осям можно комбинировать, добавляя множители по оси 2 . Таким образом, определяя все виды r-агональных перестановок для любого r. Легко видеть, что все возможности даются соответствующей перестановкой m чисел.
Следует отметить, что отражение - это особый случай:
~ R = _R [n-1, .., 0]
Далее, когда все оси претерпевают одинаковую перестановку (R = 2 n -1), достигается n-агональная перестановка. В этом частном случае 'R' обычно опускается, поэтому:
_ [допустимо (0..n-1)] = _ (2 n -1) [допустимо (0..n-1)]
Изменение цифр
Обычно применяется на уровне компонентов и может рассматриваться как заданное [ k i] в perm ([ k i] ), поскольку компонент заполнен цифрами с основанием системы счисления m, перестановка над m числами является подходящим способом для их обозначения.
Следопыты
Дж. Р. Хендрикс назвал направления внутри гиперкубов « следопытами », эти направления проще всего обозначить в троичной системе счисления как:
Pf p где: p = k = 0 Σ n-1 ( k i + 1) 3 k <==> < k i>; я ε {-1,0,1}
Это дает 3 n направлений. поскольку каждое направление проходит в обе стороны, можно ограничиться верхней половиной [(3 n -1) / 2, .., 3 n -1)] полного диапазона.
С помощью этих указателей пути можно указать любую строку, по которой нужно суммировать (или r-агональную):
[ j 0 k p l q; # j = 1 # k = r-1; k> j] < j 1 k θ l 0; θ ε {-1,1}>; p, q ε [0, .., m-1]
который определяет все (разорванные) r-агонали, диапазоны p и q могут быть опущены в этом описании. Таким образом, основные (неразрывные) r-агоналы даются небольшой модификацией приведенного выше:
[ j 0 k 0 l -1 s p; # j = 1 # k + # l = r-1; k, l> j] < j 1 k 1 l -1 s 0>
Квалификация
Гиперкуб n H m с числами в аналитическом диапазоне чисел [0..m n -1] имеет магическую сумму:
n S m = m (m n - 1) / 2.
Помимо более конкретных квалификаций, наиболее важными являются следующие: «суммирование», конечно, означает «правильное суммирование к магической сумме».
- { r-agonal }: суммируются все основные (непрерывные) r-агоналы.
- { pan r-agonal }: все (неразрывные и сломанные) r-агоналы суммируются.
- { magic }: {1-агональный n-агональный}
- { perfect }: {pan r-agonal; r = 1..n}
Примечание: эта серия не начинается с 0, поскольку не существует агональной нити, цифры соответствуют обычному обзыванию: 1-агональная = моногональная, 2-агональная = диагональ, 3-агональная = треугольная и т. Д. Помимо этого число соответствует количеству «-1» и «1» в соответствующем навигационном указателе.
В случае, если гиперкуб также суммируется, когда все числа возведены в степень p, получается p-мультимагические гиперкубы. Вышеуказанные квалификаторы просто добавляются к квалификатору p-multimagic. Это определяет квалификации как {r-agonal 2-magic}. Здесь также «2-» обычно заменяется на «bi», «3-» на «tri» и т. Д. («1-magic» будет «мономагическим», но «моно» обычно опускается). Сумму для p-Multimagic гиперкубов можно найти, используя формулу Фаульхабера и разделив ее на m n-1 .
Также обычно предполагается «магия» (т. Е. {1-агональный n-агональный}), куб Трампа / Бойера {диагональ} технически рассматривается как {1-агональный 2-агональный 3-агональный}.
Магический гиперкуб Насика приводит аргументы в пользу использования { nasik } как синонима { perfect }. Однако странное обобщение квадратного «совершенного» на использование его как синонима {диагональ} в кубах также разрешается путем помещения в фигурные скобки квалификаторов, так что { perfect } означает {pan r-agonal; r = 1..n} (как упоминалось выше).
некоторые второстепенные квалификации:
- { n compact }: {сумма всех субгиперкубов порядка 2 равна 2 n n S m / m}
- { n complete }: {все пары делят пополам сумму, разделенную на n агональных частей, равную (до (m n - 1)}
{ n compact } можно записать так: (k) Σ [ j i + k 1] = 2 n n S m / m .
{ n complete } может быть просто записано как: [ j i] + [ j i + k (m / 2); # k = n] = m n - 1 .
Где:
(k) Σ является символом для суммирования всех возможных k, есть 2 n возможностей для k 1.
[ j i + k 1] выражает [ j i] и всех его r-агональных соседей.
для {complete} дополнение [ j i] находится в позиции [ j i + k (m / 2); # k = n].
для квадратов: { 2 compact 2 complete } - это "современная / альтернативная квалификация" того, что дама Кэтлин Оллереншоу назвала наиболее совершенным магическим квадратом , { n compact n complete} - квалификатор для признака в более чем двух измерениях.
Внимание: некоторые люди похоже, приравнивает {compact} к { 2 compact} вместо { n compact}. Поскольку эта вводная статья не является местом для обсуждения подобных вопросов, я добавляю размерный пре-индекс n к обоим этим квалификаторам (которые определены, как показано),
следствием { n compact} является то, что несколько цифр также суммируются, поскольку они могут быть формируется путем сложения / вычитания суб-гиперкубов 2-го порядка. Подобные вопросы выходят за рамки данной статьи.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ это n-мерная версия (pe.): умножение магического квадрата Алана Адлера
дальнейшее чтение
- JRHendricks: Magic Squares to Tesseract by Computer, самоиздан, 1998, 0-9684700-0-9
- Планк, К., Массачусетс, MRCS, Theory of Paths Nasik, 1905, напечатано для частного обращения. Вступительное письмо к статье
Внешние ссылки
- Статьи Аале де Винкеля в " Волшебной энциклопедии"
- Волшебные кубики и гиперкубы - ссылки, собранные Мариан Тренклер
- Алгоритм создания волшебных кубиков Мариан Тренклер
- multimagie.com Статьи Кристиана Бойера
- magichypercube.com Генератор волшебных кубов