Махавира (математик)

Махавира (или Махавирачарья , «Махавира Учитель») был математиком - джайном 9-го века, возможно, родившимся в современном городе Майсур на юге Индии или недалеко от него . ^{[1] [2] [3]} Он является автором Ганитасарасанграха ( Ганита Сара Санграха ) или Компендиума по сути математики в 850 году нашей эры. ^[4] Ему покровительствовал царь Раштракута Амогхаварша . ^[4] Он отделил астрологию от математики. Это самый ранний индийский текст, полностью посвященный математике. ^[5]Он разъяснял те же вопросы, по которым спорили Арьябхата и Брахмагупта , но выразил их более ясно. Его работа представляет собой сильно синкопированный подход к алгебре, и в большей части его текста акцент делается на разработке методов, необходимых для решения алгебраических задач. ^[6] Он пользуется большим уважением среди индийских математиков из-за его создания терминологии для таких понятий, как равносторонний и равнобедренный треугольник; ромб; круг и полукруг. ^[7] Известность Махавиры распространилась по всей Южной Индии, и его книги оказались источником вдохновения для других математиков Южной Индии . ^[8] Это было переведено на язык телугу.по Павулери Маллана как Saara Санграха Ganitamu . ^[9]

Он открыл алгебраические тождества типа a ³ = a ( a + b ) ( a - b ) + b ² ( a - b ) + b ³ . ^[3] Он также нашел формулу для ⁿ C _r как
[ n ( n - 1) ( n - 2) ... ( n - r + 1)] / [ r ( r - 1) ( r - 2) ... 2 * 1]. ^[10]Он разработал формулу, которая аппроксимирует площадь и периметры эллипсов, и нашел методы вычисления квадрата числа и кубических корней из числа. ^[11] Он утверждал, что квадратного корня из отрицательного числа не существует. ^[12]

Правила разложения на дроби [ править ]

В « Ганита-сара-самграха» Махавиры даны систематические правила выражения дроби как суммы долей единицы . ^[13] Это следует за использованием единичных дробей в индийской математике в ведический период и за сутрами Шульба , дающими приближение √ 2, эквивалентное . ^[13]${\ displaystyle 1 + {\ tfrac {1} {3}} + {\ tfrac {1} {3 \ cdot 4}} - {\ tfrac {1} {3 \ cdot 4 \ cdot 34}}}$

В « Ганита-сара-самграха» ( ОСШ ) второй раздел главы, посвященный арифметике, называется кала-саварша-вьявахара (букв. «Операция сокращения дробей»). В этом разделе бхагаджати (стихи 55–98) приводятся следующие правила: ^[13]

• Чтобы выразить 1 как сумму n единичных дробей (GSS kalāsavar 75a 75, примеры в 76): ^[13]

rūpāṃśakarāśīnāṃ rūpādyās triguṇitā harāḥ kramaśaḥ /
dvidvitryaṃśābhyastāv ādimacaramau phale rūpe //

Когда результат равен единице, знаменатели величин, имеющих единицу в числителе, - это [числа], начинающиеся с единицы и умноженные на три по порядку. Первое и последнее умножаются на две и две трети [соответственно].

${\ displaystyle 1 = {\ frac {1} {1 \ cdot 2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + \ dots + {\ гидроразрыв {1} {3 ^ {n-2}}} + {\ frac {1} {{\ frac {2} {3}} \ cdot 3 ^ {n-1}}}}$

• Чтобы выразить 1 как сумму нечетного числа долей единицы (GSS kalāsavarṇa 77): ^[13]

${\displaystyle 1={\frac {1}{2\cdot 3\cdot 1/2}}+{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 1/2}}+\dots +{\frac {1}{(2n-1)\cdot 2n\cdot 1/2}}+{\frac {1}{2n\cdot 1/2}}}$

• Чтобы выразить единичную дробь как сумму n других дробей с заданными числителями (GSS kalāsavarṇa 78, примеры на 79):${\displaystyle 1/q}$${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$

${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {a_{1}}{q(q+a_{1})}}+{\frac {a_{2}}{(q+a_{1})(q+a_{1}+a_{2})}}+\dots +{\frac {a_{n-1}}{(q+a_{1}+\dots +a_{n-2})(q+a_{1}+\dots +a_{n-1})}}+{\frac {a_{n}}{a_{n}(q+a_{1}+\dots +a_{n-1})}}}$

• Чтобы выразить любую дробь как сумму единичных дробей (GSS kalāsavarṇa 80, примеры в 81): ^[13]${\displaystyle p/q}$

Выберите целое число i такое, что это целое число r , затем напишите${\displaystyle {\tfrac {q+i}{p}}}$

${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {1}{r}}+{\frac {i}{r\cdot q}}}$

и повторить процесс для второго члена рекурсивно. (Обратите внимание, что если i всегда выбирается как наименьшее такое целое число, это идентично жадному алгоритму для египетских дробей .)

• Чтобы выразить единичную дробь как сумму двух других единичных дробей (GSS kalāsavarṇa 85, пример в 86): ^[13]

${\displaystyle {\frac {1}{n}}={\frac {1}{p\cdot n}}+{\frac {1}{\frac {p\cdot n}{n-1}}}}$где должно быть выбрано целое число (для которого должно быть кратно ).${\displaystyle p}$${\displaystyle {\frac {p\cdot n}{n-1}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n-1}$

${\displaystyle {\frac {1}{a\cdot b}}={\frac {1}{a(a+b)}}+{\frac {1}{b(a+b)}}}$

• Чтобы выразить дробь как сумму двух других дробей с заданными числителями и (GSS kalāsavarṇa 87, пример в 88): ^[13]${\displaystyle p/q}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {a}{{\frac {ai+b}{p}}\cdot {\frac {q}{i}}}}+{\frac {b}{{\frac {ai+b}{p}}\cdot {\frac {q}{i}}\cdot {i}}}}$где должно быть выбрано такое, что делит${\displaystyle i}$${\displaystyle p}$${\displaystyle ai+b}$

Некоторые дополнительные правила были приведены в Gaṇita-kaumudi из Нараяны в 14 - м веке. ^[13]

См. Также [ править ]

• Список индийских математиков

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бибхутибхусан Датта и Авадхеш Нараян Сингх (1962). История индуистской математики: сборник .
• Пингри, Дэвид (1970). «Махавира». Словарь научной биографии . Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера. ISBN 978-0-684-10114-9.CS1 maint: ref=harv (link)(Доступно, наряду со многими другими статьями из других энциклопедий для других Махавир, в Интернете .)
• Селин, Хелайн (2008), Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах , Springer, Bibcode : 2008ehst.book ..... S , ISBN 978-1-4020-4559-2
• Хаяси, Такао (2013), «Махавира» , Британская энциклопедия
• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. (2000), "Махавира" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
• Табак, Джон (2009), Алгебра: множества, символы и язык мысли , публикация информационной базы, ISBN 978-0-8160-6875-3
• Кребс, Роберт Э. (2004), Новаторские научные эксперименты, изобретения и открытия средневековья и эпохи Возрождения , издательство Greenwood Publishing Group, ISBN 978-0-313-32433-8
• Путтасвами, Т.К. (2012), Математические достижения до-современных индийских математиков , Newnes, ISBN 978-0-12-397938-4
• Кусуба, Таканори (2004), «Индийские правила разбиения на дроби», у Чарльза Бернетта; Ян П. Хогендейк; Ким Плофкер ; и другие. (ред.), Исследования по истории точных наук в честь Дэвида Пингри , Брилл , ISBN 9004132023, ISSN  0169-8729