В математике теорема Мальгранжа – Эренпрейса утверждает, что каждый ненулевой линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами имеет функцию Грина . Впервые это независимо доказали Леон Эренпрейс ( 1954 , 1955 ) и Бернар Мальгранж ( 1955–1956 ).
Это означает, что дифференциальное уравнение
где P - многочлен от нескольких переменных, а δ - дельта-функция Дирака , имеет распределительное решение u . Его можно использовать, чтобы показать, что
имеет решение для любого распределения f с компактным носителем . Решение в целом не уникальное.
Аналог для дифференциальных операторов, коэффициенты которых являются многочленами (а не константами), неверен: см . Пример Леви .
Доказательства
Первоначальные доказательства Мальгранжа и Эренпрейса были неконструктивными, поскольку они использовали теорему Хана – Банаха . С тех пор было найдено несколько конструктивных доказательств.
Существует очень короткое доказательство с использованием преобразования Фурье и полинома Бернштейна – Сато , как показано ниже. Используя преобразование Фурье, теорема Мальгранжа – Эренпрейса эквивалентна тому факту, что каждый ненулевой многочлен P имеет обратный по распределению. Заменяя P на произведение с его комплексно сопряженным, можно также считать, что P неотрицательно. Для неотрицательных многочленов P существование обратного распределения следует из существования многочлена Бернштейна – Сато, из которого следует, что P s можно аналитически продолжить как мероморфную функцию распределения комплексной переменной s ; константа член разложения Лорана Р ы в е = -1 является тогда дистрибутивный обратным Р .
Другие доказательства, часто дает лучшие оценки на рост решения, приведены в ( Хермандера 1983а , теорема 7.3.10), ( Reed & Simon 1975 , теорема IX.23, стр. 48) и ( Розея 1991 ). ( Hörmander 1983b , глава 10) подробно обсуждает свойства регулярности фундаментальных решений.
Краткое конструктивное доказательство было представлено в ( Wagner 2009 , Proposition 1, p. 458):
является фундаментальным решением Р (д), т.е. P (∂) E = δ, если Р м является главной частью Р , п ∈ R п с Р т ( п ) ≠ 0, действительные числа Х 0 ,. .., λ m попарно различны, и
Рекомендации
- Эренпрейс, Леон (1954), "Решение некоторых задач деления. I. Деление полиномом дифференцирования.", Amer. J. Math. , 76 (4): 883-903, DOI : 10,2307 / 2372662 , JSTOR 2372662 , МР 0068123
- Эренпрейс, Леон (1955), "Решение некоторых проблем деления. II. Деление точечным распределением", Amer. J. Math. , 77 (2): 286-292, DOI : 10,2307 / 2372532 , JSTOR 2372532 , МР 0070048
- Hörmander, L. (1983a), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I , Grundl. Математика. Wissenschaft., 256 , Springer, doi : 10.1007 / 978-3-642-96750-4 , ISBN 978-3-540-12104-6, Руководство по ремонту 0717035
- Hörmander, L. (1983b), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных II , Grundl. Математика. Wissenschaft., 257 , Springer, doi : 10.1007 / 978-3-642-96750-4 , ISBN 978-3-540-12139-8, MR 0705278
- Мальгранж, Бернар (1955–1956), «Существование и аппроксимация решений для уравнений aux dérivées partielles et des équations de convolution» , Annales de l'Institut Fourier , 6 : 271–355, doi : 10.5802 / aif.65 , MR 0086990
- Рид, Майкл; Саймон, Барри (1975), Методы современной математической физики. II. Анализ Фурье, самосопряженность , Нью-Йорк-Лондон: Academic Press Harcourt Brace Jovanovich, Publishers, стр. Xv + 361, ISBN 978-0-12-585002-5, Руководство по ремонту 0493420
- Розэ, Жан-Пьер (1991), «Очень элементарное доказательство теоремы Мальгранжа-Эренпрейса», Amer. Математика. В месяц , 98 (6): 518-523, DOI : 10,2307 / 2324871 , JSTOR 2324871 , МР 1109574
- Розэ, Жан-Пьер (2001) [1994], "Теорема Мальгранжа – Эренпрейса" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Вагнер, Питер (2009), "Новое конструктивное доказательство теоремы Мальгранжа-Эренпрейса", Amer. Математика. В месяц , 116 (5): 457-462, CiteSeerX 10.1.1.488.6651 , DOI : 10,4169 / 193009709X470362 , МР 2510844