В математике , то многочлен Бернштейна-Сато является многочленом , связанные с дифференциальными операторами , введенных независимо друг от друга Джозефа Бернштейн ( 1971 ) и Микио Сато и Такеро Шинтани ( 1972 , 1974 ), Sato (1990) . Он также известен как b-функция , b-многочлен и многочлен Бернштейна , хотя не имеет отношения к многочленам Бернштейна, используемым в теории приближений . Она имеет приложение к теории особенностей , теория монодромии, и квантовая теория поля .
Северино Коутиньо ( 1995 ) дает элементарное введение, в то время как Арманд Борел ( 1987 ) и Масаки Кашивара ( 2003 ) дают более сложные оценки.
Определение и свойства
Если является многочленом от нескольких переменных, то существует ненулевой многочлен и дифференциальный оператор с полиномиальными коэффициентами такими, что
Многочлен Бернштейна – Сато - это монический многочлен наименьшей степени среди таких многочленов.. Его существование можно показать, используя понятие голономных D-модулей .
Кашивара (1976) доказал, что все корни многочлена Бернштейна – Сато являются отрицательными рациональными числами .
Многочлен Бернштейна – Сато также может быть определен для произведений степеней нескольких многочленов ( Sabbah 1987 ). В данном случае это произведение линейных факторов с рациональными коэффициентами. [ необходима цитата ]
Неро Будур, Мирча Мустаца и Морихико Сайто ( 2006 ) обобщили многочлен Бернштейна – Сато на произвольные многообразия.
Обратите внимание, что полином Бернштейна – Сато можно вычислить алгоритмически. Однако такие вычисления в целом сложны. Есть реализации связанных алгоритмов в системах компьютерной алгебры RISA / Asir, Macaulay2 и SINGULAR .
Даниэль Андрес, Виктор Левандовский и Хорхе Мартин-Моралес ( 2009 ) представили алгоритмы для вычисления многочлена Бернштейна – Сато аффинного многообразия вместе с реализацией в системе компьютерной алгебры SINGULAR .
Кристина Беркеш и Антон Лейкин ( 2010 ) описали некоторые алгоритмы вычисления многочленов Бернштейна – Сато на компьютере.
Примеры
- Если тогда
- так что многочлен Бернштейна – Сато равен
- Если тогда
- так
- Многочлен Бернштейна – Сато от x 2 + y 3 равен
- Если t ij - n 2 переменных, то многочлен Бернштейна – Сато для det ( t ij ) имеет вид
- что следует из
- где Ω - омега-процесс Кэли , что, в свою очередь, следует из тождества Капелли .
Приложения
- Если неотрицательный многочлен, то , Изначально определенные для й с неотрицательной вещественной частью, может быть аналитический продолжаются до мероморфного распределения -значной функцию с повторным использованием функционального уравнения
- Он может иметь полюсы всякий раз, когда b ( s + n ) равно нулю для неотрицательного целого числа n .
- Если f ( x ) является многочленом, отличным от тождественного нуля, то он имеет обратный g, который является распределением; [a] другими словами, f g = 1 как распределения. Если f ( x ) неотрицательна, обратная величина может быть построена с использованием полинома Бернштейна – Сато, взяв постоянный член разложения Лорана функции f ( x ) s при s = −1. Для произвольного f ( x ) возьмем раз обратное
- Теорема Мальгранжа – Эренпрейса утверждает, что каждый дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами имеет функцию Грина . При преобразовании Фурье это следует из того факта, что каждый многочлен имеет обратный по распределению, что доказано в предыдущем абзаце.
- Павел Этингоф ( 1999 ) показал, как использовать полином Бернштейна для строгого определения размерной регуляризации в массивном евклидовом случае.
- Функциональное уравнение Бернштейна-Сато используется в вычислениях некоторых из более сложных видов сингулярных интегралов, встречающихся в квантовой теории поля Федор Ткачев ( 1997 ). Такие вычисления необходимы для прецизионных измерений в физике элементарных частиц, как это практикуется, например, в ЦЕРНе (см. Цитируемые статьи ( Tkachov 1997 )). Однако наиболее интересные случаи требуют простого обобщения функционального уравнения Бернштейна-Сато на произведение двух многочленов, где x имеет 2-6 скалярных компонентов, а пара многочленов имеет порядки 2 и 3. К сожалению, определение соответствующих дифференциальных операторов методом перебора а также поскольку такие случаи до сих пор оказались чрезмерно громоздкими. Разработка способов обойти комбинаторный взрыв алгоритма грубой силы будет иметь большое значение в таких приложениях.
Заметки
- ^ Предупреждение: обратное значение не является уникальным в общем случае, потому что если f имеет нули, то существуют распределения, произведение которых на f равно нулю, и добавление одного из них к обратному к f является другим обратным к f .
Рекомендации
- Андрес, Даниэль; Левандовский Виктор; Мартин-Моралес, Хорхе (2009), "Главное пересечение и многочлен Бернштейна-Сато аффинного многообразия", Proc. ISSAC 2009 , Ассоциация вычислительной техники : 231, Arxiv : 1002.3644 , DOI : 10,1145 / 1576702,1576735 , ISBN 9781605586090, S2CID 2747775
- Беркеш, Кристина; Лейкин, Антон (2010). «Алгоритмы для многочленов Бернштейна-Сато и идеалы множителей». Proc. ISSAC 2010 . arXiv : 1002,1475 . Bibcode : 2010arXiv1002.1475B .
- Бернштейн, Джозеф (1971). «Модули над кольцом дифференциальных операторов. Исследование фундаментальных решений уравнений с постоянными коэффициентами». Функциональный анализ и его приложения . 5 (2): 89–101. DOI : 10.1007 / BF01076413 . Руководство по ремонту 0290097 . S2CID 124605141 .
- Будур, Нерон; Мустаца, Мирча ; Сайто, Морихико (2006). «Многочлены Бернштейна-Сато произвольных многообразий». Compositio Mathematica . 142 (3): 779–797. arXiv : math / 0408408 . Bibcode : 2004math ...... 8408B . DOI : 10.1112 / S0010437X06002193 . Руководство по ремонту 2231202 . S2CID 6955564 .
- Борель, Арман (1987). Алгебраические D-модули . Перспективы в математике. 2 . Бостон, Массачусетс: Academic Press . ISBN 0-12-117740-8.
- Коутиньо, Северино С. (1995). Праймер алгебраических D-модулей . Тексты студентов Лондонского математического общества. 33 . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-55908-1.
- Этингоф, Павел (1999). «Замечание о размерной регуляризации». Квантовые поля и струны: курс математиков . 1 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 597–607. ISBN 978-0-8218-2012-4. Руководство по ремонту 1701608 . (Принстон, Нью-Джерси, 1996/1997)
- Касивара, Масаки (1976). «B-функции и голономные системы. Рациональность корней B-функций». Inventiones Mathematicae . 38 (1): 33–53. Bibcode : 1976InMat..38 ... 33K . DOI : 10.1007 / BF01390168 . Руководство по ремонту 0430304 . S2CID 17103403 .
- Касивара, Масаки (2003). D-модули и микролокальный исчисление . Переводы математических монографий. 217 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-2766-6. Руководство по ремонту 1943036 .
- Саббах, Клод (1987). "Proximité évanescente. I. Структура полярного D-модуля" . Compositio Mathematica . 62 (3): 283–328. Руководство по ремонту 0901394 .
- Сато, Микио ; Синтани, Такуро (1972). «О дзета-функциях, связанных с предоднородными векторными пространствами» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 69 (5): 1081–1082. Bibcode : 1972PNAS ... 69.1081S . DOI : 10.1073 / pnas.69.5.1081 . JSTOR 61638 . Руководство по ремонту 0296079 . PMC 426633 . PMID 16591979 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Сато, Микио ; Синтани, Такуро (1974). «О дзета-функциях, связанных с предоднородными векторными пространствами». Анналы математики . Вторая серия. 100 (1): 131–170. DOI : 10.2307 / 1970844 . JSTOR 1970844 . Руководство по ремонту 0344230 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Сато, Микио (1990) [1970]. «Теория предоднородных векторных пространств (алгебраическая часть)» . Нагойский математический журнал . 120 : 1–34. DOI : 10.1017 / s0027763000003214 . Руководство по ремонту 1086566 .
английский перевод лекции Сато из записки Шинтани
CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Ткачев, Федор В. (1997). «Алгебраические алгоритмы для многопетлевых вычислений. Первые 15 лет. Что дальше?». Nucl. Instrum. Методы . 389 (1-2): 309-313. arXiv : hep-ph / 9609429 . Bibcode : 1997NIMPA.389..309T . DOI : 10.1016 / S0168-9002 (97) 00110-1 . S2CID 37109930 .