Математическое моделирование инфекционного заболевания

Математические модели могут спрогнозировать, как развиваются инфекционные заболевания, чтобы показать вероятный исход эпидемии и помочь в принятии мер общественного здравоохранения . В моделях используются базовые допущения или собранная статистика наряду с математическими расчетами, чтобы найти параметры для различных инфекционных заболеваний и использовать эти параметры для расчета эффектов различных вмешательств, таких как программы массовой вакцинации . Моделирование может помочь решить, каких вмешательств следует избегать и какие испытать, или может спрогнозировать будущие модели роста и т. Д.

История [ править ]

Моделирование инфекционных заболеваний - это инструмент, который использовался для изучения механизмов распространения болезней, прогнозирования будущего развития вспышки и оценки стратегий борьбы с эпидемией. ^[1]

Первым ученым, систематически пытавшимся количественно определить причины смерти, был Джон Граунт в своей книге « Естественные и политические наблюдения, сделанные на счетах смертности» в 1662 году. Счета, которые он изучал, представляли собой списки чисел и причин смерти, публикуемые еженедельно. Проведенный Граунтом анализ причин смерти считается началом «теории конкурирующих рисков», которая, согласно Дейли и Гани ^[1], является «теорией, которая в настоящее время прочно закрепилась среди современных эпидемиологов».

Самое раннее описание математического моделирования распространения болезни было выполнено в 1760 году Даниэлем Бернулли . По образованию врач, Бернулли создал математическую модель для защиты практики прививки от оспы . ^[2] Расчеты по этой модели показали, что универсальная вакцинация против оспы увеличит ожидаемую продолжительность жизни с 26 лет 7 месяцев до 29 лет 9 месяцев. ^[3] Работа Даниэля Бернулли предшествовала современному пониманию теории микробов .

В начале 20 века Уильям Хамер ^[4] и Рональд Росс ^[5] применили закон массовых действий для объяснения эпидемического поведения.

В 20-х годах прошлого века появились компартментные модели. Модель Kermack-Маккендрик эпидемии (1927) и модель эпидемии Reed-Frost (1928) оба описывают связь между чувствительными , инфицированной и иммунными особями в популяции. Модель эпидемии Кермака – МакКендрика успешно предсказывала поведение вспышек, очень похожих на те, что наблюдались во многих зарегистрированных эпидемиях. ^[6]

В последнее время агент-ориентированные модели (ABM) использовались взамен более простых компартментных моделей , например. ^[7] Например, эпидемиологические ПРО использовались для информирования (нефармацевтических) мероприятий общественного здравоохранения против распространения SARS-CoV-2 . ^[8] Эпидемиологические ПРО, несмотря на их сложность и требующие высокой вычислительной мощности, подвергались критике за упрощение и нереалистичность предположений. ^{[9] [10]} Тем не менее, они могут быть полезны при принятии решений относительно мер по смягчению и подавлению в случаях, когда ПРО точно откалиброваны. ^[11]

Предположения [ править ]

Модели хороши ровно настолько, насколько хороши предположения, на которых они основаны. Если модель делает прогнозы, которые не соответствуют наблюдаемым результатам, а математика верна, первоначальные предположения должны измениться, чтобы модель стала полезной.

• Прямоугольное и стационарное возрастное распределение , т. Е. Все в популяции доживают до возраста L, а затем умирают, и для каждого возраста (до L ) существует одинаковое количество людей в популяции. Это часто оправдано для развитых стран, где низкая младенческая смертность и большая часть населения доживает до ожидаемой продолжительности жизни.
• Однородное смешение популяции, т. Е. Особи исследуемой популяции сортируются и вступают в контакт наугад и не смешиваются в основном в меньшую подгруппу. Это предположение редко бывает оправданным, поскольку социальная структура широко распространена. Например, большинство жителей Лондона контактируют только с другими лондонцами. Кроме того, в Лондоне есть более мелкие подгруппы, такие как турецкая община или подростки (просто чтобы привести два примера), которые общаются друг с другом больше, чем люди за пределами своей группы. Тем не менее, однородное перемешивание - стандартное допущение, позволяющее сделать математику податливой.

Типы моделей эпидемий [ править ]

Стохастик [ править ]

«Стохастик» означает наличие или наличие случайной величины. Стохастическая модель - это инструмент для оценки распределений вероятностей потенциальных результатов с учетом случайного изменения одного или нескольких входных данных с течением времени. Стохастические модели зависят от случайных изменений в динамике риска заражения, болезни и других заболеваний.

Детерминированный [ править ]

При работе с большими группами населения, как в случае туберкулеза, часто используются детерминированные или компартментальные математические модели. В детерминированной модели люди в популяции распределяются по разным подгруппам или компартментам, каждая из которых представляет определенную стадию эпидемии.

Скорость перехода от одного класса к другому математически выражается в виде производных, поэтому модель формулируется с использованием дифференциальных уравнений. При построении таких моделей следует исходить из того, что размер популяции в компартменте дифференцируем во времени и что эпидемический процесс детерминирован. Другими словами, изменения в населении компартмента можно рассчитать, используя только историю, которая использовалась для разработки модели. ^[6]

Номер репродукции [ править ]

Основное число воспроизведения (обозначается R ₀ ) является мерой того , как передана болезнь есть. Это среднее количество людей, которых один инфекционный человек заразит в течение своего заражения. Это количество определяет, будет ли инфекция распространяться экспоненциально, исчезнет или останется неизменной: если R ₀ > 1, то каждый человек в среднем заражает более одного человека, так что болезнь будет распространяться; если R ₀ <1, то каждый человек заражает в среднем менее одного человека, поэтому болезнь исчезнет; а если R ₀ = 1, то каждый человек заразит в среднем ровно одного другого человека, поэтому болезнь станет эндемической: он будет перемещаться среди населения, но не увеличиваться или уменьшаться.

Эндемическое устойчивое состояние [ править ]

Инфекционное заболевание считается эндемическим, если оно может поддерживаться в популяции без необходимости внешнего воздействия. Это означает, что в среднем каждый инфицированный человек заражает ровно еще одного человека (если больше, то число инфицированных будет расти в геометрической прогрессии, и возникнет эпидемия , если меньше, то болезнь исчезнет). С математической точки зрения это:

${\ Displaystyle \ R_ {0} S \ = 1.}$

Основной номер воспроизводства ( R ₀ ) заболевания, предполагая , что каждый восприимчив, умноженной на долю населения , которая на самом деле подвержены ( S ) должен быть один (так как те , кто не подвержены не особенность в наших расчетах , поскольку они не могут заразиться болезнью). Обратите внимание на то, что это соотношение означает, что для того, чтобы болезнь находилась в устойчивом эндемическом состоянии , чем выше базовый показатель воспроизводства, тем ниже должна быть доля восприимчивого населения, и наоборот. Это выражение имеет ограничения, касающиеся пропорции восприимчивости, например, R _0, равное 0,5, подразумевает, что S должно быть 2, однако эта пропорция превышает размер популяции.

Предположим, что прямоугольное стационарное возрастное распределение и пусть также возраст заражения имеет одинаковое распределение для каждого года рождения. Пусть средний возраст инфицирования равен A , например, когда люди моложе A восприимчивы, а люди старше A иммунны (или заразны). Тогда с помощью простого аргумента можно показать, что доля восприимчивого населения определяется выражением:

${\ displaystyle S = {\ frac {A} {L}}.}$

Мы повторяем, что L - это возраст, в котором в этой модели предполагается, что каждый человек умрет. Но математическое определение эндемичного устойчивого состояния можно переформулировать следующим образом:

${\ displaystyle S = {\ frac {1} {R_ {0}}}.}$

Следовательно, в силу транзитивности :

${\ displaystyle {\ frac {1} {R_ {0}}} = {\ frac {A} {L}} \ Rightarrow R_ {0} = {\ frac {L} {A}}.}$

Это обеспечивает простой способ оценки параметра R ₀ с использованием легко доступных данных.

Для населения с экспоненциальным распределением возраста ,

${\ displaystyle R_ {0} = 1 + {\ frac {L} {A}}.}$

Это позволяет определить базовое воспроизводимое число болезни с учетом A и L в любом типе распределения населения.

Компартментные модели в эпидемиологии [ править ]

Компартментные модели формулируются как цепи Маркова . ^[12] Классической компартментальной моделью в эпидемиологии является модель SIR, которую можно использовать как простую модель для моделирования эпидемий. Также используется множество других типов компартментных моделей.

Модель SIR [ править ]

Диаграмма модели SIR с начальными значениями и коэффициентами заражения и выздоровления${\ textstyle S (0) = 997, I (0) = 3, R (0) = 0}$${\ textstyle \ beta = 0,4}$${\ textstyle \ gamma = 0,04}$

Анимация модели SIR с начальными значениями и скоростью восстановления . Анимация показывает эффект снижения скорости заражения с до . Если нет доступных лекарств или вакцинации, снизить уровень инфицирования (часто называемое « сглаживанием кривой ») можно только с помощью соответствующих мер, таких как социальное дистанцирование.${\ textstyle S (0) = 997, I (0) = 3, R (0) = 0}$${\ textstyle \ gamma = 0,04}$${\ textstyle \ beta = 0,5}$${\ textstyle \ beta = 0,12}$

В 1927 году, WO Kermack и AG Маккендрик создали модель , в которой они считали фиксированное население только с тремя отделениями: восприимчивыми, ; инфицированных, ; и извлекают, . Отсеки, используемые в этой модели, состоят из трех классов: ^[13]${\ Displaystyle S (т)}$${\ Displaystyle I (т)}$${\ Displaystyle R (т)}$

• ${\ Displaystyle S (т)}$ используется для представления людей, еще не инфицированных заболеванием в момент времени t, или людей, восприимчивых к заболеванию в популяции.
• ${\ Displaystyle I (т)}$ обозначает людей из населения, которые были инфицированы этим заболеванием и способны распространить болезнь среди лиц, относящихся к уязвимой категории.
• ${\ Displaystyle R (т)}$это отделение, используемое для людей из популяции, которые были инфицированы, а затем удалены от болезни, либо из-за иммунизации, либо из-за смерти. Люди из этой категории не могут снова заразиться или передать инфекцию другим.

Другие модели компартмента [ править ]

Существует множество модификаций модели SIR, в том числе те, которые включают рождение и смерть, где после выздоровления нет иммунитета (модель SIS), где иммунитет длится только в течение короткого периода времени (SIRS), где есть латентный период заболевание, при котором человек не заразен ( SEIS и SEIR ) и при котором младенцы могут родиться с иммунитетом (MSIR). Для оценки эпидемического порога в модели SIS в сетях см. Parshani et al. ^[14]

Динамика инфекционных заболеваний [ править ]

Математические модели необходимо интегрировать увеличивающийся объем данных генерируется на хост - патоген взаимодействий. Многие теоретические исследования динамики популяций , структуры и эволюции инфекционных заболеваний из растений и животных, включая людей, которые связаны с этой проблемой. ^{[ необходима цитата ]} Модель для оценки вероятности глобального распространения и объявления пандемии была недавно разработана Valdez et al. ^[15] Темы исследования включают:

• Пандемия
• передача , распространение и борьба с инфекцией
• эпидемиологические сети
• пространственная эпидемиология
• сохранение патогенов внутри хозяев
• динамика внутри хоста
• иммуно -epidemiology
• вирулентность
• Структура штамма (биология) и взаимодействия
• антигенный сдвиг
• филодинамика
• популяционная генетика патогенов
• эволюция и распространение сопротивления
• роль генетических факторов хозяина
• статистический и математический аппарат и инновации
• роль и выявление резервуаров инфекции

Математика массовой вакцинации [ править ]

Если доля населения, обладающего иммунитетом, превышает уровень коллективного иммунитета к болезни, то болезнь больше не может сохраняться в популяции. Таким образом, если этот уровень может быть превышен путем вакцинации, болезнь может быть устранена. Примером того, что это было успешно достигнуто во всем мире, является глобальная ликвидация оспы , последний случай которой был зафиксирован в 1977 году. ВОЗ проводит аналогичную кампанию вакцинации для ликвидации полиомиелита . ^{[ необходима цитата ]}

Обозначим уровень коллективного иммунитета q . Напомним, что для стабильного состояния:

${\ Displaystyle R_ {0} \ cdot S = 1.}$

В очереди,

${\displaystyle R_{0}={\frac {N}{S}}={\frac {\mu N\operatorname {E} (T_{L})}{\mu N\operatorname {E} [\min(T_{L},T_{S})]}}={\frac {\operatorname {E} (T_{L})}{\operatorname {E} [\min(T_{L},T_{S})]}},}$

что примерно составляет:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {\operatorname {E} } (T_{L})}{\operatorname {\operatorname {E} } (T_{S})}}=1+{\frac {\lambda }{\mu }}={\frac {\beta N}{v}}.}$

S будет (1 -  q ), так как q - это доля иммунной популяции, а q  +  S должно равняться единице (поскольку в этой упрощенной модели все являются либо восприимчивыми, либо иммунными). Потом:

${\displaystyle {\begin{aligned}&R_{0}\cdot (1-q)=1,\\[6pt]&1-q={\frac {1}{R_{0}}},\\[6pt]&q=1-{\frac {1}{R_{0}}}.\end{aligned}}}$

Помните, что это пороговый уровень. Если доля иммунных людей превысит этот уровень из-за программы массовой вакцинации, болезнь исчезнет.

Мы только что рассчитали критический порог иммунизации (обозначенный q _c ). Это минимальная часть населения, которая должна быть иммунизирована при рождении (или незадолго до рождения), чтобы инфекция исчезла среди населения.

${\displaystyle q_{c}=1-{\frac {1}{R_{0}}}.}$

Поскольку часть окончательного размера популяции p, которая никогда не заражается, может быть определена как:

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }S(t)=e^{-\int _{0}^{\infty }\lambda (t)\,dt}=1-p.}$

Следовательно,

${\displaystyle p=1-e^{-\int _{0}^{\infty }\beta I(t)\,dt}=1-e^{-R_{0}p}.}$

Решая для , получаем:${\displaystyle R_{0}}$

${\displaystyle R_{0}={\frac {-\ln(1-p)}{p}}.}$

Когда массовая вакцинация не может превышать коллективный иммунитет [ править ]

Если используемая вакцина недостаточно эффективна или невозможно обеспечить требуемый охват (например, из-за массового сопротивления ), программа может не превысить q _c . Однако такая программа может нарушить баланс инфекции, не устраняя ее, часто вызывая непредвиденные проблемы.

Предположим, что часть населения q (где q < q _c ) иммунизируется при рождении против инфекции с R ₀  > 1. Программа вакцинации меняет R ₀ на R _q, где

${\displaystyle R_{q}=R_{0}(1-q)}$

Это изменение происходит просто потому, что теперь среди населения стало меньше восприимчивых людей, которые могут заразиться. R _q - это просто R ₀ минус те, которые обычно были бы инфицированы, но этого не может быть сейчас, поскольку они обладают иммунитетом.

Вследствие этого более низкого базового репродуктивного показателя средний возраст инфицирования A также изменится до некоторого нового значения A _q у тех, кто остался невакцинированным.

Напомним , что соотношение связаны R ₀ , и л . Предполагая, что продолжительность жизни не изменилась, теперь:

${\displaystyle R_{q}={\frac {L}{A_{q}}},}$

${\displaystyle A_{q}={\frac {L}{R_{q}}}={\frac {L}{R_{0}(1-q)}}.}$

Но R ₀ = L / A, поэтому:

${\displaystyle A_{q}={\frac {L}{(L/A)(1-q)}}={\frac {AL}{L(1-q)}}={\frac {A}{1-q}}.}$

Таким образом, программа вакцинации повысит средний возраст инфицирования, что является еще одним математическим обоснованием результата, который мог быть интуитивно очевиден. Теперь у непривитых людей сила заражения снижается из- за присутствия вакцинированной группы.

Однако важно учитывать этот эффект при вакцинации против более тяжелых заболеваний у пожилых людей. Программа вакцинации против такой болезни, которая не превышает q _c, может привести к большему количеству смертей и осложнений, чем было до того, как программа вступила в силу, поскольку люди будут заражаться этой болезнью в более позднем возрасте. Эти непредвиденные результаты программы вакцинации называются порочными эффектами . ^{[ необходима цитата ]}

Когда массовая вакцинация превышает коллективный иммунитет [ править ]

Если программа вакцинации приводит к тому, что доля иммунных индивидуумов в популяции превышает критический порог в течение значительного периода времени, передача инфекционного заболевания в этой популяции прекращается. Это называется устранением инфекции и отличается от искоренения . ^{[ необходима цитата ]}

Устранение

Прекращение эндемической передачи инфекционного заболевания, которое происходит, если каждый инфицированный человек заражает меньше, чем один другой, достигается за счет поддержания охвата вакцинацией, чтобы доля иммунных лиц превышала критический порог иммунизации.

Искоренение

Сведение к нулю инфекционных организмов в дикой природе во всем мире. Пока этого удалось добиться только в отношении оспы и чумы крупного рогатого скота . Чтобы добиться искоренения, необходимо добиться ликвидации во всех регионах мира.

Надежность [ править ]

Преимущество моделей заключается в одновременном изучении нескольких результатов, а не в построении единого прогноза. Модели показали высокую степень надежности в прошлых пандемиях, таких как атипичная пневмония , свиной грипп , MERS и лихорадка Эбола . ^[16]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Программное обеспечение

• Построитель моделей : интерактивное (на основе графического интерфейса) программное обеспечение для построения, моделирования и анализа моделей ODE.
• GLEaMviz Simulator : позволяет моделировать возникающие инфекционные заболевания, распространяющиеся по всему миру.
• STEM : среда с открытым исходным кодом для эпидемиологического моделирования, доступная через Eclipse Foundation.
• Пакетный надзор R : временное и пространственно-временное моделирование и мониторинг эпидемических явлений